Суть оцінки вартості облігації полягає в тому, що протягом періоду обігу облігації її власник повинен отримати таку саму суму, яку він уклав в облігацію під час купівлі. Проте сукупність платежів, які повинен отримати власник облігацій, розтягнута у часі і, відповідно, всі майбутні платежі необхідно привести до теперішньої вартості (мо менту часу, на який відбувається оцінювання) шляхом дисконтування.
На рис. 3.2 наведено діаграму витрат і доходів у разі інвестування коштів в облігації. Вона розкриває механізм купівлі інвесторами облігацій під час первинного розміщення або на вторинному ринку (?). Як власник він певний час отримує фіксований відсоток від номіналу (В), а поті м погашає її (С).
Рис. 3.2. Діаграма доходів і витрат у разі реінвестування коштів в облігації: а) облігації з фіксованим доходом; б) облігації без купона; в) облігації без погашення; г) облігації зі ставкою купонної дохідності, що змінюється. А — купівля облігації; В — отримання купонного доходу; С — погашення.
Інвестор, який працює на ринку облігацій, повинен вирішити питання про оцінку максимальної ціни купівлі облігації. Вона має бути такою, щоб забезпечити йому хоча б мінімальний рівень дохідності, прийнятний для нього (ставку дисконту).
Облігаційні надходження дорівнюють дисконтованій сумі купонних платежів (В) і платежу, що дорівнює номіналу (С), а разом вони пов инні дорівнювати вартості придбання облігації (А). Однак зазначимо, що розрахунок цієї вартості набагато складніший, ніж наведено тут, оскільки він повинен враховувати, поперше, кількість періодів нарахування відсотків, по-друге, ставку податку на дохід від облігації і за альтернативними вкладеннями, і, по-третє, період часу до отримання наступного купонного платежу.
Сума ма йбутніх грошових потоків за купонними облігаціями складається з відсотків за фінансовим активом і ціни облігації на момент погашення. Для оцінки вартості купонної облігації враховуються такі показники: номінальна вартість, відсоткова ставка, строк до погашення, умови виплати відсотків (періодичність виплат). Таким чином, поточна ринкова вартість купонних облігацій за умо ви, що протягом строку обігу облігації здійснюються періодичні виплати відсотків, а в кінці строку виплачується номінал, розраховується за формулою: де обл — поточна вартість облігації з періодичною виплатою відсотків; С — річні купонні виплати; N — номінальна вартість облігації; r — ринкова відсоткова ставка у періоді t (дохідність до погашення облігації); n — кількість періодів до погашення облігації.
Р
Ця формула є базовою математичною моделлю оцінки грошової вартості відсоткових облігацій.
Дохідність до погашення (ставка дисконту) — це дохідність у розрахунку на рік, яку забезпечить собі інвестор, якщо, купивши облігацію, він буде тримати її до погашення.
Найбільш важливим моментом у розрахунку вартості облігації є визначення ставки дисконтування. Вона повинна відповідати рівню ризику інвестицій. На практиці її можна взяти, наприклад, з котирувань, у брокерських компаній за облігаціями з подібними характеристиками. Її також можна спробувати визначити аналітично, розклавши ставку на складові частини. Ставку дисконтування можна визначити так: (3.3) де r — ставка дисконтування; — ставка без ризику, тобто ставка за інвестиціями, для яких відсутній ризик; як таку ставку беруть дохідність за державними цінними паперами для відповідних строків погашення; — премія за ліквідність; і — темп інфляції; — реальна ставка відсотка. f r l e r якщо інвестор очікує, що інфляція буде розвиватися більш високими темпами, він також врахує це у ставці дисконтування. Купуючи папір, інвестор стикається з ризиком ліквідності, який пов’язаний з тим, наскільки швидко і за якою ціною можна продати папір. Тому ця величина повинна знайти відображення у ставці дисконтування.
, ef rilrr+++=, ef rilrr+++=
Наприклад: тоді r = 15 + 5 + 2 %,3%,2%,5%,15====ilrr ef + 3 = 25%. () f r може враховувати інфляцію. Однак
Наприклад: тоді r = 15 + 5 + 2 + 3 = 25%. %,3%,2%,5%,15====ilrr ef
Ставка без ризику () f r може враховувати інфляцію. Однак
Між курсовою вартістю та дохідністю до погашення облігації існують такі залежності:
1) ціна облігації та дохідність до погашення знаходяться в оберненій залежності. У разі підвищення дохідності ціна облігації падає, у разі зниження — зростає;
2) якщо дохідність до погашення нижче купонного відсотка, облігація продається з премією;
3) якщо дохідність до погаше ння вище купонного відсотка, облігація продається зі знижкою;
4) якщо дохідність до погашення дорівнює купонному відсотку, ціна облігації дорівнює номіналу;
5) у разі зниження дохідності до погашення на 1% ціна облігації зростає більшою мірою порівняно з її падінням у разі збільшення дохідності до погашення на 1%.
У разі виплати су ми купону за облігаціями частіше ніж один раз на рік формулу визначення поточної вартості облігації можна трансформувати так:
Р
1 , /1/1 / (3.4) де k — періодичність виплат відсотків протягом року.
()() ? ? = ? + + + = kn i kni обл kr N krl kC
Якщо вся сума відсотків виплачується під час погашення облігації, формула модифікується так: () ,
Р + + = (3.5) де k — сума відсотків за облігацією, яка буде нарахована під час її погашення за відповідною ставкою. C
1 . n k кобл r CN
Для облігацій з нульовим купоном (дисконтних) поточна ринкова вартість визначається за допомогою формули () ,
Р?= + = (3.6) де n — кількість років, через які відбудеться погашення облігації.
1 ,.nr n добл PVN r N
Якщо строк обігу дисконтних облігацій менше одного року, то поточна ринкова вартість облігації визначається за формулою: ,
Р кдобл (3.7) де Т — кількість днів до погашення облігації.
1 ... ? ? ? ? ? ? ? = Tr N
365
За безстроковими облігаціями передбачений невизначено тривалий період виплати доходів (купонів). За умови фіксованого розміру купону протягом всього строку обігу облігації поточна ринкова вартість розраховується за наведеною нижче формулою і фактично являє собою суму членів нескінченно спадної геометричної прогресії. . . r
С
Р бобл = (3.8)
Для оцінки ефективності вкладень в облігації використовуються такі показники: купонна, поточна та кінцева дохідність.
1. Купонна ставка (Д с ) встановлюється під час емісії облігації, визначається відповідно до номіналу і показує, який відсоток доходу нараховується щорічно власнику облігації. Купонна ставка розраховується за формулою
%,100?= N C
Д с (3.9) де С — річний купонний дохід.
Як правило, цей показник не розраховується, а встановлюється згідно з умовами випуску.
2. Поточна дохідність визначає відсоток доходу, який щорічно отримує власник облігації на інвестований капітал. Вона розраховується як відсоткове співвідношення між річним купонним доходом від облігації і тією ціною, за якою інвестор її при дбав.
Слід розрізняти дохідність, що наводиться у біржових зведеннях, і дохідність для певного інвестора: у першому випадку у знаменнику стоїть поточна вартість цінного папера, у другому — використовується ціна, за якою інвестор купив облігацію. Таким чином поточна дохідність може бути визначена за формулою %,100 P C
Д обл п ?= (3.10) де обл — поточна вартість облігації (ціна, за якою інвестор придбав облігацію). P
Поточна дохідність являє собою ніби фотографію дохідності облігації на даний момент часу. У знаменнику формули стоїть поточна ціна облігації. У наступний момент вона може змінитися, тоді зміниться і значення поточної дохідності.
Показником поточної дохідності зручно користуватися, коли до погашення облігації залишаєт ься небагато часу, оскільки у цьому разі її ціна навряд чи буде потерпати від істотних коливань.
3. Дохідність до погашення (кінцева дохідність облігації) є більш об’єктивним показником дохідності, тому що для її визначення враховуються не тільки купон і ціна папера, а й період часу, який залишається до пога шення, а також знижка або премія відносно номіналу. Дохідність облігації можна вивести з формули оцінки вартості купонної облігації: ()() .
Р + + + = ? = (3.11)
1 n n i i обл r N r C
11
Оскільки формула містить у собі ступені, то одразу можна визначити дохідність тільки за допомогою спеціальної комп’ютерної програми. Можна також скористатися методом
підстановки. Він полягає в тому, що у наведену формулу послідовно підставляють різні значення дохідності до погашення і визначають відповідні їм ціни. Операцію повторюють доти, поки значення розрахованої ціни не буде збігатися з заданою ціною.
Коли ціни збігаються та отримують величину дохідності до погашення. Оскільки ціна і дохідність облігації перебу вають в оберненій залежності, то в процесі підстановки, отримавши ціну вище даної, необхідно збільшити наступну цифру дохідності, що підставляється у формулу. Якщо розрахована ціна буде нижче заданої, то необхідно зменшити значення дохідності.
У деяких випадках для прийняття рішення достатньо визначити тільки орієнтовний рівень дохідності папера. Формула визначення орієнтовної дохідності обліга ції має такий вигляд: () () ,
2/ / PN CnPN r ? +? = (3.12) де r — дохідність до погашення; N — вартість реалізації (номінал) облігації; Р — ціна купівлі облігації (поточна вартість на момент оцінки); n — кількість років до погашення облігації; С — купон.
Недоліком наведеної формули є те, що, якщо облігація продається зі знижкою, то формула дає занижене значення дохідності облігації, а якщо з премією — завищене.
Після того, як інвестор визначив значення дохідності облігації, він може скористатися формулою визначення точної цифри дохідності: () .
1
121 PP PP rrrr ? ? ?+= (3.13)
21
Техніка розрахунку дохідності за формулою зводиться до наступного. Вкладник обирає значення r
1 , що нижче отриманого значення орієнтовної дохідності, і розраховує для нього відповідну ціну облігації Р
1 , скориставшись формулою оцінки вартості купонної облігації. Далі бере значення r
2 , що вище значення орієнтовної дохідності, і розраховує для нього ціну Р
2 . Отримані значення підставляються у формулу визначення точної цифри дохідності.
Наведені вище формули визначення дохідності облігацій передбачали виплату купону один раз на рік. Відповідно у відповідях отримувалося значення r, що дорівнювало простому відсотку
в розрахунку на рік. Якщо за облігацією купон виплачується m разів на рік, то можна скористатися вказаною формулою без будь-яких коригувань, тобто не множити кількість років на m і не ділити купон на m. У цьому разі ми також отримаємо дохідність папера як простий відсоток у розрахунку на рік. У той самий час можна визначити значення дохідності, здійснивши вказане коригування. Наприклад, для облігації, за якою купон виплачується два рази на рік, формула орієнтовної дохідності матиме такий вигляд: () () .
2/2/ PN CnPN r ? +? = (3.14)
2/
Однак у цьому разі r є дохідністю за півроку. Щоб отримати дохідність за рік, необхідно отримане значення помножити на 2.
Дохідність до погашення облігації з нульовим купоном визначається за формулою n r= (3.15)
Якщо більша частина купонних облігацій має купони, що виплачуються m разів на рік, то наведену вище формулу необхідно скоригувати на величину m, тобто: .m r mn ? ? ? ? ? ? ? ? = (3.16)
Слід зазначити, що на практиці інвестора цікавить також питання про дохідність, яку він собі забезпечить, якщо продасть облігацію раніше строку погашення. Інакше кажучи, треба вміти розраховувати дохідність за період, яка визначається як відношення доходу, отриманого за облігацією за цей період, до сплаченої за нею суми.
Здійснюючи фінансові розрах унки за облігаціями зі змінним купонним доходом, особливу увагу слід приділяти розрахунку фактора дюрації (дюрація Макоулі, Macaulay duration) Ця характеристика є критерієм зміни (у роках) чутливості цін облігацій і розміру купона. По суті, це показує вплив купона на строк дії облігації. Облігація без купона матиме дюрацію, що дорівнює строку дії о блігації, але чим вищим є купон, тим меншою буде дюрація відносно до строку погашення. Дюрація є якісною і
кількісною характеристикою ризиків, пов’язаних з володінням облігацією. Чим менше дюрація, тим швидша віддача від облігації і тим менший ризик недоотримання доходів. Крім того, чим більше строк облігації, тим більше дюрація, і навпаки.
Фактично дюрація є нічим іншим як першою похідною функції залежності ціни облігації від її дохідності.
Дюрація ро зраховується як середньозважений строк погашення облігації, і вагами тут виступають дисконтовані грошові потоки за кожний період. Розрахунки можуть бути такі:
Таким чином, купонні виплати зменшують дюрацію, а звідси і ризик. Це можна пояснити так: якщо вторинний ринок підвищує необхідний рівень дохідності, то ціна облігації падає, а інвестор несе потенційні збитки. З другого боку, отриманий купонний дохід можна реінвестувати під відсоток, що збільшився, а це пом’якшує потенційні збитки. Дюрацію портфеля з облігацій можна визначити у той самий спосіб, що і дохідність портфеля.
Рішення про купівлю тієї чи іншої купонної облігації у ряді випадків доцільно приймати на основі значення не дохідності до погашення, а на основі реалізованого відсотка. Він розраховується з урахуванням усіх надходжень, які інвестор зможе отримати за час користування облігацією.
Загальна сума коштів, які вкладник отримає за облігацією, складається з трьох елементі в: 1) суми погашення під час викупу облігації або суми від її продажу; 2) купонних відсотків; 3) відсотків від реінвестованих купонів.
Якщо вкладник тримає облігацію до погашення, то перший елемент доходів відомий з умов випуску облігаційної позики. Другий елемент — купон — також відомий. Третій елемент можна визначити тільки у сукупності з другим за ф ормулою де — сума купонних платежів і відсотків від реінвестованих купонів; С — купон облігації; n — кількість періодів, за які виp C
плачуються купони; r — відсоток, під який вкладник планує реінвестувати купонні платежі.
Реалізований відсоток — це відсоток, який дозволяє прирівняти суму всіх майбутніх надходжень, які інвестор планує отримати за облігацією, до її теперішньої вартості. Він визначається за формулою ,1 ? ? ? ? ? ? ? = n S B r (3.19) де В — усі майбутні надходження; S — ціна придбання облігації.
Реалізований відсоток дозволяє приймати рішення, виходячи з очікувань розвитку кон’юнктури ринку.
До теперішнього часу ми визначали значення ціни і дохідності облігації, не враховуючи той факт, що за нею можуть сплачуватися податки і виплачуватися комісійні винагороди брокерським фірмам.
Ці поправки легко зро бити, скоригувавши формули визначення ціни та дохідності, розглянуті вище. Коригування формул полягає в тому, що отриманий дохід зменшують на розмір стягнутих податків і на розмір сплачених комісійних. В якості витрат розраховується не тільки ціна, за якою купується папір, а й комісійні брокерської фірми. () ()()()() ,
11365/ kTaxktr TaxN P +?++ ? = (3.20) ()() () ,
365
11 tkP kTaxPTaxN r ? ? ? ? ? ? + +??? = (3.21) де Tax — ставка податку на облігації; k — комісійні платежі як відсоток від суми угоди (розраховується у формулі у десяткових значеннях).
1
Під час погашення ощадного (депозитного) сертифіката інвестор отримає суму нарахованих відсоток, що визначається за формулою: ,
365 % tC NI ? = (3.22)
де I — сума нарахованих відсотків; N — номінал сертифіката; C % — купонний відсоток; t — час, на який випущений сертифікат.
Під час погашення сертифіката інвестору також повернуть суму номіналу папера. Загальну суму, яку отримає вкладник під час погашення сертифіката, можна визначити за формулою ,
1 % ? ? ? ? ? ? ? += tC NS (3.23) де S — сума відсотків і номіналу сертифіката.
365
Вартість сертифіката визначається за формулою ( () ) ,
365/1 % s s tr tCN P + ?+ = (3.24) де Р — вартість сертифікату; s — кількість днів з моменту купівлі до погашення сертифікату; r — дохідність, яку бажав би забезпечити собі інвестор. t
365/1
Дохідність сертифіката визначається за формулою .
1 % s t tC P N r ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? += (3.25)
1
365
Дисконтні векселі котируються на основі ставки дисконту. Вона свідчить про величину знижки, яку продавець надає покупцю. Ставка дисконту вказується у відсотках до номіналу векселя як простий відсоток у розрахунку на рік. Ставку дисконту можна перерахувати у гривневий еквівалент за допомогою формули ,
360 dt ND= (3.26) де D — дисконт векселя; N — номінал векселя; d — ставка дисконту; t — кількість днів з моменту придбання векселя до його погашення.
Ставка дисконту визначається за формулою .
360 tN D d?= (3.27)
Ціну векселя можна визначити вирахувавши з номіналу розмір знижки, а саме:
,DNP?= (3.28) де P — ціна векселя.
Якщо відома ставка дисконту, то ціна визначається за формулою .
1 ? ? ? ? ? ? ?= dt NP (3.29)
360
Якщо інвестор визначив для себе значення дохідності, яку б він хотів забезпечити за векселем, то ціну папера можна обчислити за формулою () ,
360/1tr N P + = (3.30) де r
— дохідність, яку має намір забезпечити собі інвестор.
Якщо вкладник порівнює інвестиції у вексель з іншими паперами, для яких фінансовий рік дорівнює 365 днів, то у формулу в знаменник доцільно ставити число 365.
Ставка дисконту являє собою характеристику дохідності векселя. Однак вона не дозволяє безпосередньо порівнювати дохідність векселя з дохідні стю інших цінних паперів, оскільки, поперше, вона розраховується на базі 360 днів, і, по-друге, для її визначення знижка ділиться на номінал, тоді як реально покупець інвестує меншу суму, а саме ціну. Ці обставини занижують дохідність векселя. Тому необхідно визначити формулу для перерахунку ставки дисконту і дохідність на ба зі 365 днів з урахуванням ціни. Її можна знайти з такого рівняння: () ,
360
365/1 ? ? ? ? ? ? ?= + dt N tr N (3.31) де r — еквівалентна ставка дохідності.
Тоді .
360 dt d r ? = (3.32)
Еквівалентну ставку також можна визначити з формули визначення ціни векселя, якщо взяти фінансовий рік у 365 днів:
365
.
1 tP N r? ? ? ? ? ? ? ?= (3.33)
За відсотковим векселем нараховуються відсотки за ставкою, яка вказана у векселі. Суму нарахованих відсотків можна визначити за формулою: ,
360 %s tC NI ? = (3.34) де І — сума нарахованих відсотків; N — номінал векселя; % — відсоткова ставка, яка нараховується за векселем; s — кількість днів від початку нарахування відсотка до його погашення. C t
