У припущенні рівномірного розподілу робочої сили створено математичну модель (ММ)
— систему другого порядку звичайних диференціальних рівнянь, якою описується проблема зайнятості в суспільстві. Виконано якісний аналіз ММ: встановлено області змінюваності коефіцієнтів моделі, від співвідношення яких залежить наявність працівників і безробітних.
Ключові слова: робоча сила, зайнятість, математична модель.
Як відомо [1], економічний цикл, будучи визначальним у здійсненні належної політики в економіці суспільства, являє собою коливання зайнятості населення, обсягу продукції та рівня цін (оптових, роздрібних). У свою чергу, число зайнятості тісно пов’язане з обсягом реального доходу, або продукції держави і є, на нашу думку, рушійною складовою сили макроекономічної динаміки циклу.
Цілком слушно знати періодичність величин, що характеризують економічний цикл. Поки що спостерігається лише констатація факту: статистична економічна інформація засвідчує наявність хвильових процесів в економіці. За своєю суттю це ретроспектива, хоча найбільше цікавить майбутнє, перспектива розвитку подій. Саме цього чекає від науки (теорії) економічна практика. Задовольнити потреби економічного буття (сьогодення) можливо тільки за допомогою створення відповідних математичних моделей (ММ) та передусім якісного і кількісного аналізу такої моделі. При цьому результатом якісного вивчення ММ є вибір належної, головним чином з економічного погляду, траєкторії процесу з міркувань адекватності, а потім кількісно її відстежувати — деталізувати хід подій. При цьому не виключається критичний набір параметрів моделі, коли складові величини процесу моделювання можуть набувати подекуди пікового характеру (добре відомі в техніці або фізиці режими із загостренням). Підхід з позиції комп’ютерного моделювання виключає таким чином кризові варіанти розвитку економічної ситуації, уникаючи натурних економічних експериментів у суспільстві.
У статті викладено концептуальні підходи та принципи побудови ММ явища зайнятості (проблеми робочих місць) у суспільстві, наводяться міркування щодо якісного дослідження ММ, що в сукупності сприяє вивченню реальних економічних циклів. Проблему зайнятості можна асоціювати безпосередньо з числом людей, які працюють на виробництві, і безробітних або опосередковано — через динаміку зростання числа підприємств чи їх банкрутств, оскільки саме так робочі місця створюються або ліквідуються.
У припущенні рівномірного (для окремо взятого реґіону розміщення продуктивних сил) розподілу робочої сили нехай неперервно диференційована функція відображає зайнятіст ь, тобто її значення в дискретний момент часу відповідає числу робочих місць. Стандартно, як це заведено в демографії або біології та екології [2—4], закон зростання описується рівнянням )(tN t ,MQ dT dN ?? (1) яким визначається змінюваність протягом одиниці часу чисельності об’єктів виробництва (популяції) як різниці між кількістю та QMпідприємств, що, відповідно, утворилися в популяції та вибули з неї — збанкрутували. Величини та QM шукаються з урахуванням усіх впливових факторів, причин і обставин внутрішнього чи зовнішнього походження.
Звичайно рівняння (1) переписується у вигляді ,)(NDB dt dN ?? (2) де величини та BD є функцією появи нових підприємств або їх зникнення з виробництва. У загальному випадку вони залежать від N, причому m-природний рівень банкрутства виробництва (число ліквідованих учасників виробничого процесу); залежність має логістичний характер (S-подібна крива) — з часом утворення нового виробництва вступає в стан насиченості, спочатку зростаючи . ,0)(
0 ??mtD )((?tB )(NB )0?n
00
У найпростішому випадку (достатньо задовільному для економічної практики), коли приймається CCNB,)(? — стала величина асимптотичного насичення; NmND???)( — лінійний закон банкрутства підприємств, математична модель (ММ) набуває вигляду ? ? N dN (2а) де метр (в демоайного диференц. Для її похідної портрет рівняння (2а) має нестійку точку рівноваги і стійку Вся траєкторія у фазовому просторі лежить під прямою K?
? ? ? ? ?? K rN dt
1, K — ємність економічного середовища для KtN?)((;)??tr — параграфії — мальтузіанський). Для правої частини ? ? ? ? ? ? ?rNN1) ,0)(?KF ?
0 K N F( звичіального рівняння (2а) виконується умова )0?(F???K мають місце нерівності: )0( ? )(;0FNF)0(rF? ? ?? ? для . Фазовий
0 ?N
2 N0
1 ?N
0()(FtN ? ? ? . .)N
Рис. 1. Фазовий портрет логістичної виробничої популяції
Серед можливих варіантів співвідношення між функціями і — появи і зниження числа підприємств виробничого процесу зупинимося на найцікавішому (рис. 2), )(NB)(ND
Рис. 2. коли справедлива нерівність інтенсивність утворення агентів виробництва перевищує природне вибуття підприємств з виробничого процесу; має місце ліній:
0 mn?ний закон зростання банкрутства помірного характеру. Фазовий портрет такої виробничої популяції зображено на рис. 3. ? N
0 N
1 k
2 k
3 k
Рис. 3. Фазовий портрет виробничої популяції з двома рівняннями щільності
Серед чотирьох точок рівноважного стану дві (= 0, = ) нестійкі, а точ*
1 N *
3 N
2 k ки = і = K — стійкі. Виробнича популяція має два рівноважні значення *
2 N
1 k *
4 N
Серед чотирьох точок рівноважного стану дві (= 0, = ) нестійкі, а точки = і = K — стійкі. Виробнича популяція має два рівноважні значення *
1 N *
3 N
2 k *
2 N
1 k *
4 N
4 = . Ось чому описана ситуація називається виробничою популяцією з двома рівнями щільності. Якщо для неї має місце рівняння (2а), то для його правої частини F(N) виконуються умови: * N а) F(0) = F() = F() = F(K)=0, 0 < < <
1 k
2 k
1 k
2 kK < +; ? б) F(N) < 0 для < N <, K < N< +
1 k
2 k,? F(N) > 0 для 0 < N < , < N < K;
1 k
2 k в) > 0, < 0, )0(F )(
1 kF ? )(
2 kF ? > 0, )(KF ? < 0.
Зауваження. Інші можливі варіанти — пряма D(N) має одну (
0 n > або дві (>) точки перетину з S-кривою. В останньому випадку існують три точки рів)m m
0 n (>) точки перетину з S-кривою. В останньому випадку існують три точки рівm
0 n новаги (0, і k K), серед яких перша і третя стійкі, а друга = — ні, тобто для *
2 N k kk < виробнича популяція вироджується. Точка називається критичною (порогом рівня щільності виробничого процесу, нижче якого настає колапс суспільства, параліч виробництва). kk щільності, причому менше =
1 досягається для всіх <
2 . Як тільки настане >, виробнича популяція прямуватиме до стану з більш високою щільністю Nk
2 k *
2 Nk N >, виробнича популяція прямуватиме до стану з більш високою щільністю
2 k N щільності, причому менше =
1 досягається для всіх <
2 . Як тільки настане >, виробнича популяція прямуватиме до стану з більш високою щільністю
4 = K. Ось чому описана ситуація називається виробничою популяцією з двома рівнями щільності. Якщо для неї має місце рівняння (2а), то для його правої частини F(N) виконуються умови: Nk
2 k * *
2 Nk N N а) F(0) = F() = F() = F(K)=0, 0 < < <
1 k
2 k
1 k
2 kK < +; ? б) F(N) < 0 для < N <, K < N< +
1 k
2 k,? F(N) > 0 для 0 < N < , < N < K;
1 k
2 k в) > 0, < 0, )0(F ? )(
1 kF ? )(
2 kF ? > 0, )(KF ? < 0.
Зауваження. Інші можливі варіанти — пряма D(N) має одну (
0 n > або дві (>) точки перетину з S-кривою. В останньому випадку існують три точки рівноваги (0, і )m m
0 n k K), серед яких перша і третя стійкі, а друга = — ні, тобто для N < виробнича популяція вироджується. Точка називається критичною (порогом рівня щільності виробничого процесу, нижче якого настає колапс суспільства, параліч виробництва). *
2 N k kk
Наведену схему дослідження можна повторити для узагальненого логістичного рівняння ,1lN K N rN dt dN ? ? ? ? ? ? ? ?? (2б) де вершина — коефіцієнт інтенсивності вибуття членів виробничої популяції. Останній у (2б) доданок свідчить про певне самообмеження на зростання у виробничій популяції. l
Як подальше поширення логістичного підходу в літературі відома [3] модель «хижак (у) — жертва (х)» Вольтерри: ? ? ? ? ? ??? ;)0(),(
0 dy xxyx dt dx ?? (3) де
? ? ???? ,)0(),(
0 yyxy dt ?? додатні коефіцієнти ????,,, є сталими величинами і, відповідно, позначають: ? — природний приріст жертв; ? — убуття жертв у разі зустрічі з хижаками; ?природне убуття хижаків; ? — частота зустрічей хижака та жертви. Величини
— і — чисельності жертв і хижаків у початковий момент часу.
0 x
0 yОднією з можливих модифікацій математичної моделі (ММ) Вольтерри (3) виступає така система двох звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) першого порядку ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ),( )( xy dt dy dxyx dt dx ?? ?? (3а) в якій враховується самообмеження на зростання популяції жертв. Цей факт засвідчується третім доданком )(dx? правої частини першого рівняння ММ (3а).
Тепер розглянемо безпосереднє моделювання числа зайнятих у сфері виробництва (послуг) та безробітних, взаємини яких мають антагоністичний характер.
Конкурентна боротьба, що точиться між ними за право працювати, схиляє до використання зазначених вище результатів.
Нехай функція описує чисельність працевлаштованих, а функція — безробітних. Припускається їх неперервна диференційованість у кожен момент часу )(
1 tN)(
2 tN t, також вони додатньо визначені. Оскільки вказані групи населення користується одним ресурсом — числом робочих місць у даному реґіоні (суспільства в цілому), то слушно динаміку чисельності працівників і безробітних описати системою ЗДР 1-го порядку, ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? )( )(
1 NNrN dt dN NNrN dt dN ?? ?? , (4) яка, являючи собою ММ міжвидової конкуренції, є водночас подальшим розвитком моделі (3а). Справді, в кожному рівнянні ММ (4) є доданки () і () подібно до того, як член (
221111
2
112222
22 N??
11 N?? )dx? першого рівняння ММ (3а). Із числа стаціонарних точок (особливих), які отримуються за умови рівності нулю похідних в ММ (4), запишемо четверту
1 ???? ? ? N і
2 ???? ? ? N, як найцікавішу. Вона повинна лежати в 1-ій четверті, що можливо двояким чином:
2121
2121
Щоб уникнути громіздкого стандартного дослідження особливих точок, для аналізу фазових траєкторій надалі розглядаються особливі напрямки — лінії ? ? ? ? ? ? ? ?? ??
2
1
1
2 N r N N r N ? ? ? ? ? ? , (*) на яких похідні набувають нульових значень. Потім визначаються знаки похідних: в різних кусках першого квадранта координатної площини , який розбивається прямими (*). Також можливі два варіанти:
1
2
2
1
2
2
21 ONN
У загальному випадку існують чотири особливі точки, коли прямі (*) перетинаються (див. рис.4). Особливі точки 2 і 3 — стійкі вузли.
Рис.4. Ліворуч стрілками зображено області спадання та зростання чисельності працівників і безробітних (), праворуч — фазовий портрет
2 N
Особлива точка 1 (початок координат) є стійким вузлом, особлива точка 4
— сідлом. Фазовий портрет розглядуваної нами системи графічно зображено праворуч на рис. 4. Залежно від співвідношення початкових чисельностей у системі залишається щось одне — або всі працюють, або всі безробітні. Можливість співіснування постійних чисельностей працівників та безробітних маловірогідна, оскільки такому стану системи відповідає нестійка особлива точка 4 — сідло.
З погляду економічного буття найбільше цікавить практична ситуація співіснування працівників і безробітних, що можливо за умови — особлива точка 4 є стійким вузлом, особливі точки 2 і 3 є сідлами (див. рис. 5).
Рис. 5. Ліворуч — області поведінки функцій і ,
12 праворуч — фазовий портрет для варіанта співіснування NN Як видно, існує значне число різноманітних можливих розв’язків ММ (4). Встановлення належної інтегральної кривої досягається широкомасштабним обчислювальним експериментом — числовим інтегруванням системи рівнянь (4) за конкретних значень коефіцієнтів моделі та початкових умов процесу моделювання.
Література
1. Хансен Э. Экономические циклы и национальный доход. — М.: Экономика, 1997.
— В 2-х т. — 746 с.
2. Меншуткин В. В. Математическое моделирование популяций и сообществ животных. — Л.: Наука, 1971.
— 196 с.
3. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование / Пер. с фр. — М.: Наука, 1976.
— 286 с.
4. Плотинский Ю. М. Математическое моделирование динамики социальных процессов. — М.: МГУ, 1992. — 133 с. Надійшла до редакції: 27.01.2006 р. УДК 658.8 Н. В. Куденко, д-р екон. наук, доц. Є. Л. Пастернак
