Більш загальні задачі моделювання — відкритих (не ізольованих) динамічних систем описуються рівнянням вигляду ,(7.4) де доданком N відтворюється приплив ззовні, а М — стік або убуток об’єкта вивчення. Ці
7.2.1. Модифікація з постійним відловом (зменшенням популяції економічної, біологічної тощо)
У цьому разі має місце рівняння
,
2
0
0 qx K r xrx??= & (7.4а) ,
2
0
0 qx K r xrx??= & (7.4а)
0 ra= K r b =; qM= — обсяг падіння. Заміною змінних: KBx= ; ? r t=; KQrq
0 = здійснюється перехід до безрозмірного рівняння де для зручності вважаємо
0 ra= ; K r b =; qM= — обсяг падіння. Заміною змінних: KBx= ; ? r t=; KQrq
0 = здійснюється перехід до безрозмірного рівняння
0 ra= K r b =; qM= — обсяг падіння. Заміною змінних: KBx= ; ? r t=; KQrq
0 = здійснюється перехід до безрозмірного рівняння де для зручності вважаємо
0 ra= ; K r b =; qM= — обсяг падіння. Заміною змінних: KBx= ; ? r t=; KQrq
0 = здійснюється перехід до безрозмірного рівняння r t=; KQrq
0 = здійснюється перехід до безрозмірного рівняння
0 ? r t=; KQrq
0 = здійснюється перехід до безрозмірного рівняння QBB d dB ??=
2 ? . де для зручності вважаємо
0 ra= ; K r b =; qM= — обсяг падіння. Заміною змінних: KBx= ;
0 ? r t=; KQrq
0 = здійснюється перехід до безрозмірного рівняння QBB d dB ??=
2 ? .
0 ? = d dB ) відповідає рівняння
0 2 =??QBB , корені якого? = d dB ) відповідає рівняння
0 2 =??QBB , корені якого
0 ? = d dB ) відповідає рівняння
0 2 =??QBB , корені якого
Усталеному режиму (для
QB?±=
4
2
1
2,1 .
4
1 =Q існує лише один корінь
2
1 =B, що відповідає стаціонарному режиму: до нього
1 >B , але місце знищення популяції для
2
1 <B (рис. 7.9).
Для
4
1 =Q існує лише один корінь
2
1 =B, що відповідає стаціонарному режиму: до нього
1 >B , але місце знищення популяції для
2
1 <B (рис. 7.9).
2
1 >B , але місце знищення популяції для
2
1 <B (рис. 7.9). QB?±=
4
2
1
2,1 .
Для
4
1 =Q існує лише один корінь
2
1 =B, що відповідає стаціонарному режиму: до нього процес усіх значень
2
1 >B , але місце знищення популяції для
2
1 <B (рис. 7.9).
Рис. 7.8 Геометричне зображення розв’язку логістичної моделі для
4
1 >Q
4
1 >Q популяція знищується з плином часу незалежно від початкової умови (рис. 7.10). t бва dt dB
Р
Рис. 7.8 Геометричне зображення розв’язку логістичної моделі для
4
1 >Q
Для будь-якого відлову
4
1 >Q популяція знищується з плином часу незалежно від початкової умови (рис. 7.10).
4
1 >Q вба dt dB t
4
1 >Q BB OOO B
Рис. 7.9. Геометричне зображення розв’язку логістичної моделі для
4
1 >Q
Рис. 7.9. Геометричне зображення розв’язку логістичної моделі для
4
1 >Q
збігається
4
1 <Q існують два стаціонарні режими В
1 і В
2 (рис. 7.11), причому перший нестійкий, а другий — стійкий. Нестійкість означає, що чисельність популяції нижча за В
1 а в майбутньому вона повністю знищиться. У випадку стійкості незначні відхилення від В
2 в бік зменшення відновлюються, асимптотично наближаючись до стаціонарного режиму.
Для незначного обсягу відлову
4
1 <Q існують два стаціонарні режими В
1 і В
2 (рис. 7.11), причому перший нестійкий, а другий — стійкий. Нестійкість означає, що чисельність популяції нижча за В
1 а в майбутньому вона повністю знищиться. У випадку стійкості незначні відхилення від В
2 в бік зменшення відновлюються, асимптотично наближаючись до стаціонарного режиму.
Рис. 7.11 Геометричне зображення розв’язку логістичної моделі для
4
1 >Q абв dt dB
Рис. 7.11 Геометричне зображення розв’язку логістичної моделі для
4
1 >Q
7.2.2. Модифікація з урахуванням обсягів популяції тематична модель логістичного типу переписується ?d
BQ?=? 0?> — квота відлову. Ма
У цьому разі вважається приймається BQ?=? , де коефіцієнт 0?> — квота відлову. Ма
У цьому разі вважається приймається BQ?=? , де коефіцієнт 0?> — квота відлову. МаBBB dt dB ? 2 ??= .(7.4 б) BBB dt dB ? 2 ??= .(7.4 б)
Стаціонарний режим ??=1B буде стійким для 0?< (рис. 7.12). Чисельність популяції визначається рівнянням 0? 2 =???BB, звідки ?1
0 ?=B для 1?0<<. Отже, інтенсивність вилову у стаціонарному режимі рівна )?1(??=Q . 0? 2 =???BB, звідки ?1
0 ?=B для 1?0<<. Отже, інтенсивність вилову у стаціонарному режимі рівна )?1(??=Q . )?1(??=Q
2
1 ?= , шу
Стаціонарний режим ??=1B буде стійким для 0?< (рис. 7.12). Чисельність популяції визначається рівнянням 0? 2 =???BB, звідки ?1
0 ?=B для 1?0<<. Отже, інтенсивність вилову у стаціонарному режимі рівна )?1(??=Q .
За умови максимального вилову найкраще числове значення квоти дорівнює
2
1 ?= , шукаючи dQ . ??=1B абв ??=1B
Рис. 7.12. Геометричне зображення моделі для стаціонарного режиму
Отже,
4
1 max =Q, але прикметно те, що не порушується стійкість популяційної системи: незначні щодо стаціонарного режиму зменшення початкового обсягу відновлюються з часом, асимптотично наближаючись до прямої
0 B . Також невелике відхилення коефіцієнта ? від свого найкращого значення призводить до зменшення популяції.
Отже,
4
1 max =Q, але прикметно те, що не порушується стійкість популяційної системи: незначні щодо стаціонарного режиму зменшення початкового обсягу відновлюються з часом, асимптотично наближаючись до прямої
0 B . Також невелике відхилення коефіцієнта ? від свого найкращого значення призводить до зменшення популяції.
7.2.3. Динамічна модель прогнозування темпів оновлення комп’ютерної техніки
На підґрунті постулатів:
1) частка f нових комп’ютерів змінюються плавно;
2) швидкість змінюваності з плином часу частки нових комп’ютерів пропорційна різниці де ()
21 ?aa?=
3) швидкість змінюваності частки нових комп’ютерів стабілізується з часом, будучи різною для довільних t, що об’єктивно відображають процес впровадження, тренд змінюваності частки f нових комп’ютерів доцільно описувати диференціальним рівнянням
21 ?aa?= інтенсивностей протидії факторів, що перешкоджають і сприяють впровадженню;
3) швидкість змінюваності частки нових комп’ютерів стабілізується з часом, будучи різною для довільних t, що об’єктивно відображають процес впровадження, тренд змінюваності частки f нових комп’ютерів доцільно описувати диференціальним рівнянням )1(?fft dt df n ??= ,(7.4в) )1(?fft dt df n ??= ,(7.4в) де n — показник прискореної змінюваності частки f 0<n на початку процесу і 0>n — в кінці). Його розв’язок має вигляд
1
0
11
0
1 ? exp11)( ? ++? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ?+?+= nn tt n ftf ,7.5) ()()
1
1
0
11
0
1 ? exp11)( ? ++? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ?+?+= nn tt n ftf ,7.5)
1
0
11
0
1 ? exp11)( ? ++? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ?+?+= nn tt n ftf ,7.5) де n — показник прискореної змінюваності частки f 0<n на початку процесу і 0>n — в кінці). Його розв’язок має вигляд ()()
1
1
0
11
0
1 ? exp11)( ? ++? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ?+?+= nn tt n ftf ,7.5)
0
1
0
1
1 f f f ? =? ? — відношення часток старих )1(
0 f? і нових
0 f комп’ютерів у момент часу
0
1
0
1
1 f f f ? =? ? — відношення часток старих )1(
0 f? і нових
0 f комп’ютерів у момент часу
0
0 t . Графічно розв’язок (7.5) моделі (7.4 в) логістичного типу зображено на рис. 7.13 для — параметр асиметричності.
Рис. 7.13. Залежності частки нових комп’ютерів: а — немонотонна; б — форсоване впровадження; в — симетрія на початковому етапові; г — форсування впровадження на завершальному етапі
Отже, можна здійснювати прогноз поведінки функції f, володіючи числовими значеннями її параметрів ? і n та стартової умови
0 f на момент часу
0 t .
7.2.4. Адаптивна логістична модель
Будемо спиратися на такі гіпотези:
1) існує мінімальний рівень прибутку, коли втрачається сенс виробляти певну продукцію;
2) також відомий рівень надприбутку, який ніколи не досягається в умовах ринку, будьяка фірма прагне мати чітку концепцію власної поведінки (задовільного рівня віддачі інвестованого у виробництво капіталу).
Нехай Х(t) — рівень прибутку фірми на момент часу t. Вважається, що величина L відповідає рівню прибутку, коли можливе виробництво зберігає свій сенс, тобто величина L — мінімальний прибуток. Аналогічно вважається, що величина Н відповідає максимальному рівню прибутку, коли сенс виробництва дедалі більше зростає. Описаним вище міркуванням відповідає математична модель логістичного типу, де параметр r встановлює масштаб часу процесу економічного розвитку. Він визначає довгочасність (тривалість) виробничого циклу, слугуючи характеристикою певного способу виробництва.
Модель (7.6) вказує, що позитивні темпи економічного зростання досягаються за умови
HXL<< ринкової ніші та її міскість. Звідси адаптивність моделі проявляється у зведенні функціонування фірми як об’єкта управління до інтервалу позитивного зростання.
Оскільки модель (7.6) нелінійна, то треба застосовувати чисельні методи інтегрування, щоб розглядати динаміку поведінки змінної X(t). У найпростішому випадку (алгоритм Ейлера) дискретизація точкової моделі (7.6) записується HXL<< . Параметри L і H визначаються спроможністю фірми задовольняти потреби своєї ринкової ніші та її міскість. Звідси адаптивність моделі проявляється у зведенні функціонування фірми як об’єкта управління до інтервалу позитивного зростання.
Оскільки модель (7.6) нелінійна, то треба застосовувати чисельні методи інтегрування, щоб розглядати динаміку поведінки змінної X(t). У найпростішому випадку (алгоритм Ейлера) дискретизація точкової моделі (7.6) записується )( )(
1)()1(tX H tX LtXrtX+ ? ? ? ? ? ? ???=+. () )( )(
1)()1(tX H tX LtXrtX+ ? ? ? ? ? ? ???=+.
