8.2. Ергодичність економічної системи

Нехай фазові економічного агента (ЕА) з плином часу, а фазових координат.

))(()(txhxh=? ?? = T T dttxh T xh

0

0 ))(( lim)(. змінні )(tx описують параметри динаміки))(()(txhxh= — інтегрована функція, залежна від1. Середнім по часу t значенням функції (xh? ?? = T T dttxh T xh

0

0 ))(( lim)(.

Визначення) називається величина

Позначаючи )(? t F фазовий потік, формально записується тобто середнє значення по часу залежить від початкового стану

0 x . Як з’ясувалося, для майже всіх початкових значень (стартових умов еволюції економічної системи) функція )(

0 xh не змінюється, переносячи початкову умову

0 x вздовж траєкторії.

Нехай рух економічної системи відбувається в обмеженій області n RD? фазового портрета, причому D V — об’єм згадуваної області.

Визначення 2. Фазовим середнім значенням функції ))((txh називається величина D D D

dVxh V h D D ? =><)(

1 , dVxh V h D D ? =><)(

1 , n dxdxdxdV???=

21

Визначення 3. Рух економічної системи називається ергодичним, а сама система — ергодичною, коли для будь-якої інтегрованої функції )(xh і довільних початкових умов

0 x виконується рівність )(

0 xhh=><.

Розглянемо область D?? , для якої )(xh ? — характеристична функція. Фазове середнє записується нується рівність )(

0 xhh=><.

Розглянемо область D?? , для якої )(xh ? — характеристична функція. Фазове середнє записується V V dVxh V h ? ? ==>< ? )(

1 .де вираз n dxdxdxdV???=

21 — елемент об’єму фазового простору.

Визначення 3. Рух економічної системи називається ергодичним, а сама система — ергодичною, коли для будь-якої інтегрованої функції )(xh і довільних початкових умов

0 x виконується рівність )(

0 xhh=><.

Розглянемо область D?? , для якої )(xh ? — характеристична функція. Фазове середнє записується V V dVxh V h ? ? ==>< ? )(

1 .

Тобто пропорційний відношенню об’ємів D V

час перебування ергодичної системи в області ?V ? і не залежить від початкового стану x . Інакше кажу

0 чи, фазова крива ергодичної системи рівномірно і щільно заповнює весь об’єм області D.

8.3. Найпростіші стохастичні диференціальні рівняння

Спершу розглянемо поняття стохастичного диференціала.

Нехай випадковий процес )(t? для всіх задовольняє відношення де функції функцій b(t), визначених для ],0[Tt? , причому з імовірністю одиниця інтеграл ? dttb

Ttt<<<<...0

21Ttt<<<<...0

21?? +=???

2

1 2

1 )()()()()(

12 t t t t tdwtbdttatt , ?? +=???

2

1 2

1 )()()()()(

12 t t t t tdwtbdttatt , )(ta і b(t) на відрізку [0, T] належать H

2 [0, T] простору випадковихT

2 )( скінченний; до того ж перший інтеграл звичайний, а другий — стохастичний за вінерівським процесом.

0

Тоді випадковий процес )(t? має стохастичний диференціал на [0, T], що записується .

Операція диференціювання лінійна.

Стохастичне диференціальне рівняння 1-го порядку має вигляд де функції ))(?,(tta і )),(?,(?tt визначені і вимірні для ],,0[Tt? називаються коефіцієнтами рівняння; )?(t — розв’язок цього рівняння; )(tw — вінерівський процес.

Випадковий процес )(?t вважається розв’язком стохастичного диференціального рівняння на відрізку [0, T], якщо виконується таке: ? dtt

ts? )()()(twstwsw t ?+=від так званої ? –алгебри подій;

1) величини )(?s і )(sw вимірні для ts? , причому процес )()()(twstwsw t ?+= не залежить від так званої ? –алгебри подій;

2) у просторі H

2 [0, T] вимірних випадкових функцій )(t? з імовірністю 1 інтеграл ? t

0 скінченний (тоді

2

1 )(ta і ))(?,(?tt і належить H

2 [0, T];

2 )(

3) випадковий процес )(?t володіє на [0, T] стохастичним диференціалом.

Попередньо зауважимо, що: клас випадкових функцій (процесів), для яких існує стохастичний інтеграл за вінерівським процесом ? T tdwtf

0 )()( , визначається так: для ],0[Tt?? функ

)()()(twstwsw t ?+=? алгебри подій, якою вважається сукупність усіх подій, що не залежить від процесу )(tw s .

На підставі означення стохастичного інтеграла стохастичне диференціальне рівняння набуває вигляду ?? ++= tt sdwssdsssat

00 )())(?,(?))(?,()0(?)(? .(8.2) ція )(tw вимірна, причому )()()(twstwsw t ?+= (t фіксоване, s- аргумент) не залежить від ? алгебри подій, якою вважається сукупність усіх подій, що не залежить від процесу )(tw s .

На підставі означення стохастичного інтеграла стохастичне диференціальне рівняння набуває вигляду ?? ++= tt sdwssdsssat

00 )())(?,(?))(?,()0(?)(? .(8.2)

Рівняння (8.1) і (8.2) рівносильні, вони розв’язуються для вказаної початкової умови )0(? , причому вибирається вона обов’язково незалежною від )(tw .

Коли , то стохастичне диференціальне рівняння (8.1) розглядається як звичайне, яке розв’язується для кожного w.

0),(=?xt

0),(=?xt

Приклад 1. Рівняння, коефіцієнти якого залежать лише від t, має вигляд

Його розв’язок записується

Це буде процес із незалежними гауссовими приростами, оскільки ?

2

1 )(? t t dss має нормальзалежать від х, тобто вони записуються (8.4)

ний розподіл і при цьому математичне сподівання ? =? t dssatM

0 )()0(?)(? ; дисперсія [] ? =? t dsstD

0

2 )(?)0(?)(? .

Зауважимо, що до рівняння (8.3) зводиться низка інших. ? =? t dsstD

0

2 )(?)0(?)(? .

Зауважимо, що до рівняння (8.3) зводиться низка інших. ний розподіл і при цьому математичне сподівання [] ? =? t dssatM

0 )()0(?)(? ; дисперсія [] ? =? t dsstD

0

2 )(?)0(?)(? .

Зауважимо, що до рівняння (8.3) зводиться низка інших.

Лінійні стохастичні диференціальні рівняння такі, для яких функції ),(axt і ),(xta лінійно ).()t()(?)(?)(?)(?)(?)(?tdwttdtttttd?+++=

0)(=?t

0)(?=t [][] ).()t()(?)(?)(?)(?)(?)(?tdwttdtttttd?+++=

0)(=?t

0)(?=t

Коли і , то матиме місце однорідне лінійне рівняння , довільний розв’язок якого записується для . Існує формула загального розв’язку рівняння (8.4), але вона досить громіздка.

Тоді, коли коефіцієнти рівняння (8.4) не залежать від t, встановлено умову звідності рівняння (8.4) до лінійного, де