Нехай економічна система або агент (ЕА) перебуває в одному з можливих скінченних числових станів. Перехід від одного до іншого відбувається в дискретний момент часу t, причому стани позначатимуться цілими числами . Вважається відомою ймовірність того, що ЕА пербуває у станіj для моменту t і випадково перейде до стан, де N n або для компактного запису ,(8.6) N
N...,2,1,... ,2 ,1 ,0=tN...,2,1, моменти часу ... ,2 ,1 ,0=t)1(+t ij mM= )1(t ij mM=
0> ij m)1(t
0> ij m)1(+t у і для )1(+t . Відповідно до сказаного вище вводиться матриця переходів {} ij mM=
0> ij m є ймовірність, що ЕА від стану j у момент t перейде до стану і для )1(+t , причому умова 1 = ? = i ij m забезпечує перехід до одного з допустимих станів )1(+t . Описаний стохастичний процес називається дискретним марковським.
Виконується таке співвідношення:
1 = i ний процес називається дискретним марковським.
Виконується таке співвідношення: 1 = ? = i ij m забезпечує перехід до одного з допустимих станів )1(+t . Описаний стохастичний процес називається дискретним марковським.
Виконується таке співвідношення: умова 1
1 = ? = i ij m забезпечує перехід до одного з допустимих станів )1(+t . Описаний стохастичний процес називається дискретним марковським.
Виконується таке співвідношення: = j
1 =+ jiji txmtx
1 )()1( ( Ni ..., ,2 ,1= ),(8.5) ? = =+ j jiji txmtx
1 )()1( ( Ni ..., ,2 ,1= ),(8.5) ? = =+ j jiji txmtx
1 )()1( ( Ni ..., ,2 ,1= ),(8.5) )()1(tMxtx=+ )()1(tMxtx=+ де )(tx — найімовірніший вектор, для якого
0? i x , 1
1 = ? = i i x. Має місце твердження: для додатної 0>M марківської матриці, істинності співвідношення (10.5) виконується
1 = i ної 0>M марківської матриці, істинності співвідношення (10.5) виконується ної 0>M марківської матриці, істинності співвідношення (10.5) виконується ytx t = ?? )(lim ,де )(tx — найімовірніший вектор, для якого
0? i x , 1
1 = ? = i i x. Має місце твердження: для додатної 0>M марківської матриці, істинності співвідношення (10.5) виконується ytx t = ?? )(lim ,
Нехай ЕА спостерігається неперервно. Висловлюється гіпотеза: ймовірність того, що ЕА не змінить свого стану протягом дискретного часу ? , дорівнює )(?1?? . Це так зване припущення про неперервність. N ? ji де i с — початкові ймовірності.
менту ?+t,за умови для t він перебуває у стані )(jij? ; величина )1(? ij a? — імовірність того, що ЕА перебуває у стані і для моменту ?+t за умови, що для t він перебуває в стані і. ij a
0? ij a ? = ji ijii aa .
Тоді рівняння поведінки ЕА записуються
Розглядаються такі величини: ? ij a — ймовірність того, що ЕА перебуває в стані і для моменту ?+t,за умови для t він перебуває у стані )(jij? ; величина )1(? ij a? — імовірність того, що ЕА перебуває у стані і для моменту ?+t за умови, що для t він перебуває в стані і.
Допускається, що величини ij a задовольняють умови:
0? ij a ; ? ? = N ji ijii aa .
Тоді рівняння поведінки ЕА записуються ?+?=+ jijiiji txatxatx)()()1()(?? Ni ..., ,2 ,1? ? ?+?=+ ji jijiiji txatxatx)()()1()(?? , ( Ni ..., ,2 ,1= )(8.6) ? ? ?+?=+ ji jijiiji txatxatx)()()1()(?? , ( Ni ..., ,2 ,1= )(8.6)
Беручи до уваги співвідношення )(0)()()( 2 ???+ ? ?+=+txtxtx iii , де доданок )(0 2 ? — похибка розкладу в ряд Тейлора, за умови 0?? від дискретного виразу (8.6) отримується лінійна система звичайних диференціальних рівнянь:
Беручи до уваги співвідношення )(0)()()( 2 ???+ ? ?+=+txtxtx iii , де доданок )(0 2 ? — похибка розкладу в ряд Тейлора, за умови 0?? від дискретного виразу (8.6) отримується лінійна система звичайних диференціальних рівнянь: +?= iijiii i xaxa dt dx ; ii сx=)0( ,(8.7) ? +?= iijiii i xaxa dt dx ; ii сx=)0( ,(8.7)
Диференціальна система (8.7) породжує набір функцій, що задовольняє умови
0)(?tx i , i розв’язків дискретної моделі (8.6). Тобто властивості розв’язків (8.6), що справедливо для усіх ? , повинні зберігатися для розв’язків диференціальної системи.
0t= i tx1)( 0
0?t і ? = i tx1)( . Справді, розв’язки математичної моделі (8.7) є границями для 0??
