Макромодель економічного зростання поєднує випуск продукції q, капітал k, працю і вплив науково-технічного прогресу в суспільстві закритого типу. З використанням скінченних різниць (приростів) для безрозмірних змінних, тобто розрахованих на душу населення, рівняння Солоу записується ,(7.10) де коефіцієнти відповідно відображають: s — частку накопичень; n — швидкість зростання
knsqk)?(+?=? knsqk)?(+?=? ? ~ kAq?= (1?0<<), модель Солоу остаточно переписуємо так: ба–Дугласа у вигляді ? ~ kAq?= (1?0<<), модель Солоу остаточно переписуємо так: .)?( ~ ? knkAsk+?=? (7.10а) робочої сили; ? — амортизацію засобів виробництва. Беручи вираз виробничої функції Кобба–Дугласа у вигляді ? ~ kAq?= (1?0<<), модель Солоу остаточно переписуємо так: .)?( ~ ? knkAsk+?=? (7.10а)
Оnже, приріст капіталу залежить від його поточного значення та коефіцієнтів динамічної моделі Солоу.
Щоб дослідити процес динаміки капіталу, який може бути рівноважним або являти собою цикл чи навіть хаотичні коливання, виконаємо наступні перетворення. Нехай , де t k — числове значення капіталу для моменту часу t. Тоді вираз (7.10а) набуває вигляду населення, рівнем фізичного і морального зносу устаткування і параметром ? , що характеризує виробництво.
tt kkk?= +1 ? tt +1 tt kkk?= +1 ? ? ? ? ? ? ? ? ++ ?= ? + ?1? t1 ~
1?
1 ~ tt k As n kAsk (7.10б) ? ? ? ? ? ? ? ++ ?= ? + ?1? t1 ~
1?
1 ~ tt k As n kAsk (7.10б) ? ? ? ? ? ++ ?= ? + ?1? t1 ~
1?
1 ~ tt k As n kAsk (7.10б) після очевидних алгебраїчних викладок; заміною змінних tt k As n x? ? ? ? ? ? ? ++ = ?)?1(
1 ~
1? , вираз (7.10б) є дискретним логістичним відображенням tt k As n x? ? ? ? ? ? ? ++ = ?)?1(
1 ~
1? , вираз (7.10б) є дискретним логістичним відображенням ? ? ? ? ? ? ? ++ ?= ? + ?1? t1 ~
1?
1 ~ tt k As n kAsk (7.10б) після очевидних алгебраїчних викладок; заміною змінних tt k As n x? ? ? ? ? ? ? ++ = ?)?1(
1 ~
1? , вираз (7.10б) є дискретним логістичним відображенням
1 + ttt )1(? ?1?
1 ? + ?= ttt xxx ,(7.11) )1(? ?1?
1 ? + ?= ttt xxx ,(7.11) де коефіцієнт 11???++=n. Отже, процес динаміки капіталу визначається темпом зростання де коефіцієнт 11???++=n. Отже, процес динаміки капіталу визначається темпом зростання
На рис. 7.17 наведено графік змінюваності капіталу для України ( ), на рис. 7.18 — біфуркаційна діаграма відображення (7.11). на рис. 7.19 і 7.20 — аналогічні результати для США ( ) першої половини ХХ ст.
8,0?=
2,1?=
8,0?= ;
2,1?=
25,0?=
2,1?=
25,0?= ;
2,1?=
,(7.9) де коефіцієнт k вибирається певним чином. По суті, у моделі (7.9) береться до уваги зворотний зв’язок між квотою і поточним значенням керованої змінної. На рис. 7.16 наводено результати розрахунків моделі (7.9) для раніше критичного випадку
Рис. 7.17. Варіація капіталу в Україні Рис. 7.18. Біфуркаційна діаграма логістичного відображення для України
Рис. 7.20. Біфуркаційна діаграма відображення (7.11) для економіки США
Порівнюючи біфуркаційні діаграми двох економік, привертаємо увагу до такого факту: лишається ? (динаміка капіталу формується способом виробництва).
З погляду управління економічним зростанням найбільш підходить параметр ?, як керований законодавчо.
У межах математичної моделі (7.11) одностайно описуються процеси економічного зростання і цикли ділової активності, які в сучасній економічній теорії розглядаються окремо.
Резюме
У розділі 7 описано неперервний і дискретний варіанти класичного логістичного рівняння. Розглянуто відомі на сьогодні шляхи його узагальнення (як неперервного, так і дискретного). Виклад матеріалу супроводжується численними геометричними тлумаченнями, економічними аналогіями. Побудовано адаптивну логістичну модель, що описує прибутковість діяльності фірми на ринку.
Класичну модель Солоу інтерпретовано як узагальнене логістичне відображення. Такий підхід дав змогу у межах однієї математичної моделі одностайно описати процеси економічного зростання і цикли ділової активності, які в сучасному економічному аналізі розглядаються як окремі теорії.
Терміни і поняття
Логістична модель S-крива (логістична)
Логістичне відображення
Нерухома точка (притягання, тяжіння)
Динамічна спіраль
Біфуркаційна діаграма
Детермінований хаос
Адаптивна логістична модель.
Питання для перевірки знань
1. Економічний зміст Мальтуса.
2. Ідея підсилення моделі Мальтуса.
3. Охарактеризуйте S-криву.
4. Класичне логістичне відображення, деякі його властивості.
5. Запишіть класичне логістичне відображення, сформулюйте деякі його властивості.
6. Сутність гіперболічної точки відображення.
7. У чому проявляється поведінка дискретного логістичного відображення?
8. Як знаходяться нерухомі точки відображення?
9. Опишіть явище біфуркації.
10. Що таке діаграма Ламерея?
11. Економічний зміст циклу періоду 4.
12. Властивості функції Ріккера з погляду нелінійної економіки.
13. Сутність детермінованого хаосу з економічних позицій.
14. Універсальна стала Фейгенбаума, її роль і призначення в динамічному аналізі економіки.
15. Шляхи модифікації класичної неперервної логістичної моделі.
16. Економічний зміст поняття «модель з постійним відловом».
17. Опишіть неперервну логістичну модель зі змінною квотою відлову.
18. Постулати динамічного прогнозування темпів оновлення парку техніки.
19. Логістична модель динаміки оновлення комп’ютерної техніки.
20. Сутність адаптивної логістичної моделі.
21. Чому розглядається дискретний варіант адаптивної моделі логістичного типу?
22. Перерахуйте дискретні логістичні моделі, порівняйте їхні властивості, вкажіть відмінності.
23. Сенс м’якої логістичної моделі з відловом.
24. Модель Солоу як логістичне відображення.
25. Головна особливість логістичного відображення моделі Солоу.
Завдання для індивідуальної роботи
1. Методика моделювання економіки з використанням логістичних відображень.
2. Узагальнене логістичне відображення для відкритої економіки.
3. Дослідження впливу параметрів узагальненого логістичного відображення: а) окремо взятих; б) попарно на результати моделювання динаміки економічних процесів.
4. Деталізація моделювання динамічних процесів:
— української економіки;
— країн пострадянського простору;
— держав традиційно ринкової економіки.
Список використаних і рекомендованих джерел для поглибленого вивчення матеріалу
Вітлінський В. В. Моделювання економіки : навч. посіб. / В. В. Вітлінський. — К. : КНЕУ, 2005. — 438 c.
Лаврик В. І. Методи математичного моделювання в екології : навч. посіб. / В. Т. Лаврик.
— К.: КМ Академія, 2002. — 203 с.
Медведева Н. Б. Динамика логистической функции / Н. Б. Медведева// Соросовский образоват. журн. — 2000. — Т. 6. — № 8. — с. 121—127.
Пугачева Е. Г. Самоорганизация социально-экономических систем : учеб. пособие. — Иркутск / Е. Г. Пугачева, К. Н. Соловьенко: Изд-во БГУЄП, 2003. — 173 с.
Сергеева Л. Н. Моделирование поведения экономических систем методами нелинейной динамики (теории хаоса) / Л. Н. Сергеева. — Запорожье: ЗГУ, 2002. — 227с.
Киприс М. М. Модели социальных явлений в коротком курсе математики [Электронный ресурс] — Режим доступа: http://www.cdo.susu.ac.ru/journal/numero3/pedag/kipnis.htm.
