Posibniki.com.ua Інформатика Нелінійні моделі економічних процесів 3.2. Канонічні моделі нелінійної динаміки в економіці


< Попередня  Змiст  Наступна >

3.2. Канонічні моделі нелінійної динаміки в економіці


3.2.1. Динамічна модель регіональної економіки

У літературі висловлено гіпотезу, згідно з якою головними причинами економічного розвитку міст (урбанізації Старого Світу) є вільна торгівля й поліпшене транспортування товарів. Відповідно до неї фундаментальні зміни — раптові й непередбачувані флуктуації в розвитку міст якісно описуються системою звичайних диференціальний рівнянь з кубічною нелінійністю, а саме:

? ? ? ? ? ? ? ? ???=xry y Ty

3

3 & —«швидке» рівняння;(3.1) ? ? ? ? ? ? ? ? ???=xry y Ty

3

3 & —«швидке» рівняння;(3.1) yTx

1? = & –«повільне»рівняння,(3.2) yTx

1? = & –«повільне»рівняння,(3.2) dt dy y= & – її похідна, або швидкість змінюваності зазначеного обсягу; змінна x описує забезпеченість товарообігу транспортом і зв’язком (комунікативна складова розвитку); величина T відповідає сенсу швидкості встановлення дослідженого процесу, його адаптації; коефіцієнт r — керуючий параметр.

Між іншим, диференціюючи «швидке» рівняння і користуючись «повільним», отримуємо рівняння:

0

12 =+??+ ? yTyrTyy &&& де змінна y інтегрується як єлейність міста в сенсі товаровиробництва; dt dy y= & – її похідна, або швидкість змінюваності зазначеного обсягу; змінна x описує забезпеченість товарообігу транспортом і зв’язком (комунікативна складова розвитку); величина T відповідає сенсу швидкості встановлення дослідженого процесу, його адаптації; коефіцієнт r — керуючий параметр.

Між іншим, диференціюючи «швидке» рівняння і користуючись «повільним», отримуємо рівняння: ()

0

12 =+??+ ? yTyrTyy &&&

як одну з модифікацій відомого в нелінійній механіці рівняння Ван дер Поля.

Було встановлено, що стрибкоподібна змінюваність величини y має місце й тоді, коли x зміняються плавно, але в критичних межах параметрів. На рис. 3.5 відтворено цикл швидких і повільних змінних, коли матиме місце повторюваність стрибків змінної y. Повільна зміна інфраструктури (транспорту і зв’язку) за рахунок інвестованого капіталу приводить до того, що траєкторії лежать y зоні L.

Рис. 3.5. Цикл швидких і повільних змінних

Рис. 3.5. Цикл швидких і повільних змінних

Починаючись у точці A, відбувається перехід до точки B, у якій ємність міста змінюється стрибкоподібно — спостерігається так званий фазовий перехід 1-го роду. Швидкість змін y нерівноважному середовищі визначається впливом капіталу, трудових ресурсів тощо, але головне полягає в циклічності зародженого процесу нелінійного виробництва. Варто досягнути H-зони, призупинитися інвестиціям, як економічна система перейде в точку D і знову повернеться до початку. Точки B і D називаються критичними, оскільки у їх околі для досить малих відмінностей у комунікаціях, тобто змінної х, настають значні (великої амплітуди, але різної спрямованості) варіації товару обсягу, тобто змінної у.

На підґрунті ММ (3.1, 3.2) так званої логістичної революції виокремлюється [8, 30] чотири етапи реальної урбанізації людства й міжрегіональних економічних зв’язків, а саме:

перший етап зародився в ХI ст. в Італії і завершився в ХVI ст. у Північній Європі;

другий етап — розпочався в ХVI ст. в Іспанії, Португалії та в Італії й закінчився у ХIХ ст. у Північній Європі;

третій — розпочався в Англії у ХVIII ст. і завершуватиметься у ХХI ст. у країнах, що розвиваються;

четвертий — започаткувався в Японії, Швейцарії, Німеччині та Швеції наприкінці ХХ ст. Йому притаманне збільшення обсягу оброблюваної інформації, розширення й поглиблення різноманітних зв’язків роду, зростання обсягу наукових знань. Зазначається, що ключовою характеристикою четвертого етапу логістичної революції є неухильне зростання наукової бази виробництва й комунікативної складової цього процесу.

3.2.2. Математична модель динаміки розвитку міста

Приймається гіпотеза, що еволюція міста неістотно впливає на його навколишнє середовище, яке залишається стійким протягом певного часу. Постулюється, що фірми й постійне населення міста вільні у своїх уподобаннях (виборі місцезнаходження, міського транспорту тощо). Зрозуміло, що таке припущення виконується на малих часових інтервалах.

Нехай економічний простір міста описується такими координатами: змінна Х відповідає обсягу створеної в межах міста продукції; Y — чисельність постійної частки населення; Z — земельна рента. Тоді динаміку міста можна описати сукупністю диференціальних рівнянь: де коефіцієнти i a , i c , i d додатні. Величина

2 a — попит на міську продукцію, нормований на душу населення; тоді Ya

2 a — попит на міську продукцію, нормований на душу населення; тоді Ya

2 відповідає загальному попиту жителів міста.

Величина

3 a відображає рівень пропозиції продукції, виробленої в місті. Отже, перше рівняння сукупності означає, що швидкість змінюваності обсягу міської продукції прямо пропорційна надлишку попиту: якщо попит перевищує пропозицію, то виробництво має тенденцію зростати, і навпаки. За своєю сутністю коефіцієнт

1 a відповідає швидкості встановлення.

Вважається, що швидкість змінюваності чисельності міського населення визначається доданками )(

4 XZc? : якщо коефіцієнт

2 c інтерпретується як попит на працю з боку фірм для створення одиниці продукції, то величина Xc

321 YcXcc? і )(

2 — загальний попит на працю для міського ринку праці; якщо коефіцієнт

3 c — відношення чисельності міських жителів, що вибирають свою роботу в місті, до загальної кількості міських жителів, то Yc

3 — загальна величина пропозиції праці на ринку; тож, вираз )(

32 YcXc? описує надлишок попиту на працю в місті, який формує міграцію. Доданок )(

4 XZc? ураховує вплив на міграцію земельної ренти (вибирає місце проживання з низькою ціною на землю).

Третє рівняння сукупності засвідчує, що будь-яка зміна величини земельної ренти негативно впливає на її поточний рівень: доданок XYd

1 говорить, що співмножники X і Y позитивно впливають на швидкість змінюваності земельної ренти. для якої знайшлося широке застосування у різноманітних сферах науки й техніки.

Тезово подамо деякі відомі на сьогодні [17] результати вивчення моделі Лоренца:

Тезово подамо деякі відомі на сьогодні [17] результати вивчення моделі Лоренца:

1. Початок координат є стаціонарною (рівноважною, особливою) точкою для будь-яких

значеннь коефіцієнтів r, ?, b, але для r < 1. Це очевидно, але в загальному випадку треба покласти

0===zyx & && і розв’язати нелінійну систему алгебраїчних рівнянь.

0===zyx & &&

2. Коли r > 1, то з’являються ще дві рівності (критичні) точки з координатами параметра )1?( )3?(? ?? ++ = b b r c . Для економічних задач, зрозуміло, точка

2 O не підходить. )1?( )3?(? ?? ++ = b b r c . Для економічних задач, зрозуміло, точка

2 O не підходить. Тривіально рівноважна точка )0;0;0(O для всіх r > 1 являє собою сідло-вузол, інші є сідлоc rr>

3. Для нерівності

296,13 ~

1

1 ?<<rr сепаратриси Г

1 і Г

2 виходять з початку координат і прямують до своїх найближчих стійких точок

1 O і

2 O .

Зауваження. Сепаратриси — лінії, що розмежовують рівноважні точки моделі.

4. Траєкторії руху є періодичними.

296,13

1

1 ?<<rr

1

2і прямують до своїх найближчих стійких точок

1 O і

2 O .

Зауваження. Сепаратриси — лінії, що розмежовують рівноважні точки моделі.

4. Траєкторії руху є періодичними.значеннь коефіцієнтів r, ?, b, але для r < 1. Це очевидно, але в загальному випадку треба покласти

0===zyx & && і розв’язати нелінійну систему алгебраїчних рівнянь.

2. Коли r > 1, то з’являються ще дві рівності (критичні) точки з координатами )1;)1(;)1((

1 ???rrbrbO і )1;)1(;)1((

2 ?????rrbrbO , які залишаються стійкими для значень параметра )1?( )3?(? ?? ++ = b b r c . Для економічних задач, зрозуміло, точка

2 O не підходить. Тривіально рівноважна точка )0;0;0(O для всіх r > 1 являє собою сідло-вузол, інші є сідлофокуси для усіх c rr> .

3. Для нерівності

296,13 ~

1

1 ?<<rr сепаратриси Г

1 і Г

2 виходять з початку координат )0;0;0(O і прямують до своїх найближчих стійких точок

1 O і

2 O .

Зауваження. Сепаратриси — лінії, що розмежовують рівноважні точки моделі.

4. Траєкторії руху є періодичними.

5. Поведінка у фазовому просторі не відповідає перехідному процесу, бо залежно від інтервалу числового інтегрування траєкторія продовжує рух, не прямуючи ні до періодичної орбіти, ні до якогось стаціонарного стану.

6. Топологія (геометрія) фазового портрета не залежить від вибору початкової умови.

7. Передбачити поведінку траєкторії протягом довгочасного інтервалу інтегрування неможливо.

3.2.3. Модель економічної структури суспільства

До розгляду пропонується так званий простір технологій, кожна точка якого відповідає певно реде, ),(ctK — щільність розподілу капіталу для момент часу t у просторі технологій, тобто сумарна вартість виробничого, товарного і грошового капіталу, задіяного підприємцем для виробництва деякого товару за технологією с та для створення засобів виробництва цього товару; ),(ctC r — щільність розподілу виробничого ( ),(ctK і змінного ),(ctH ) капіталу підприємця; ),(ctY — щільність розподілу товарного капіталу підприємця, що дорівнює товарним запасам у момент часу t, створеного із затратами с споживчого продукту і засобів його виробництва; ),(ctM — щільність розподілу фінансового капіталу підприємців (платоспроможний попит підприємця на засоби виробництва і робочу силу для створення товару за технологією с); ),(ctD — платоспроможний попит підприємців, найманих працівників і держави на створений за технологією с товар; ),(ctu — розподіл норми прибутку в момент t у просторі споживання, створених за технологією с; I — частка засобів, отриманих підприємцями від продажу, що накопичується; K C і ? — джерела формування платоспроможного попиту підприємців і держави на товари споживання, вироблені за технологією с; L C — джерело платоспроможногоде ? і ? деякі сталі, отримується точкова модель (з зосередженими параметрами):

) ,...,2 ,1(nic i =сурсів. Динаміка макропоказників ринкової економіки описується [17] системою рівнянь: му способу виробництва: на одиницю створюваного товару припадають затрати ) ,...,2 ,1(nic i =сурсів. Динаміка макропоказників ринкової економіки описується [17] системою рівнянь: ,? ICR K r ++= += (3.5) ,? ; ICR HKC K r r ++= += ++= (3.5) ; ; ICR HKC MYCK dt K r r ++= += ++= (3.5) );(? ),( HYMD dt ctdu ++= ??+= ;? ),( RCC dt ctdD KL ?++= ;)µ?( ),( RIuCK dt ctdK r ?++?= ,? ; ; );(? ),( ;? ),( ;)µ?( ),( ICR HKC MYCK HYMD dt ctdu RCC dt ctdD RIuCK dt ctdK K r r KL r ++= += ++= ??+= ?++= ?++?= (3.5)

З урахуванням того, що: Kx ??1 ?? ++ = ; Dy ? ? )?1(??+ = ; u y z ?

1+ = ; H K =?; M Y =?; M C r =?; Kx ??1 ?? ++ = ; Dy ? ? )?1(??+ = ; u y z ?

1+ = ; H K =?; M Y =?; M C r =?;

З урахуванням того, що: Kx ??1 ?? ++ = ; Dy ? ? )?1(??+ = ; u y z ?

1+ = ; H K =?; M Y =?; M C r =?; Kx ??1 ?? ++ = ; Dy ? ? )?1(??+ = ; u y z ?

1+ = ; H K =?; M Y =?; M C r =?;

З урахуванням того, що: Kx ??1 ?? ++ = ; Dy ? ? )?1(??+ = ; u y z ?

1+ = ; H K =?; M Y =?; M C r =?; ?? ?? =a ; )?1)(?1( ? +++ = ? ? b ; ? ? ? )?1)(1?(+?+ =d , ??=a ; )?1)(?1( ? +++ = ? ? b ; ? ? ? )?1)(1?(+?+ =d , ?? =a ; )?1)(?1( ? +++ = ? ? b ; ? ? ? )?1)(1?(+?+ =d , ?? ?? =a ; )?1)(?1( ? +++ = ? ? b ; ? ? ? )?1)(1?(+?+ =d , попиту працівників; ? , ? і µ — деякі сталі величини.

З урахуванням того, що: Kx ??1 ?? ++ = ; Dy ? ? )?1(??+ = ; u y z ?

1+ = ; H K =?; M Y =?; M C r =?; ?? ?? =a ; )?1)(?1( ? +++ = ? ? b ; ? ? ? )?1)(1?(+?+ =d , ),( dxyaz ?= & (3.5а) ),( ); ?)?1(1( dxyaz zyxy ?= +??= & & (3.5а) ); ?)?1(1( );?)?1(( dxyaz zyxy yzbxx ?= +??= ??= & & & (3.5а) де коефіцієнти 7=a;

4,0=b ;

17,1=d , а величини ? і ?- параметри. 7=a;

4,0=b ;

17,1=d , а величини ? і ?- параметри. ),( ); ?)?1(1( );?)?1(( dxyaz zyxy yzbxx ?= +??= ??= & & & (3.5а) де коефіцієнти 7=a;

4,0=b ;

17,1=d , а величини ? і ?- параметри.

Сукупність трьох звичайних диференціальних рівнянь, у якій перші два описують змінюваність та інтенсивність руху (дифузії) капіталу x і платоспроможність попиту y у просторі технологій під впливом норми прибутку z, є математичною моделлю ринкової економіки.


< Попередня  Змiст  Наступна >
Iншi роздiли:
3.4. Дослідження на стійкість траєкторій нелінійних динамічних систем
Властивості відображення А (х):
РОЗДІЛ 4. РІВНОВАГА і НЕРІВНОВАГА, СТІЙКІСТЬ і НЕСТІЙКІСТЬ ДИНАМІЧНИХ МОДЕЛЕЙ ЕКОНОМІКИ
4.1. Стабільність економічного розвитку
4.2. Елементи теорії стійкості динамічних економіко-математичних моделей (ЕММ)
Дисциплiни

Медичний довідник новиниКулінарний довідникАнглійська моваБанківська справаБухгалтерський облікЕкономікаМікроекономікаМакроекономікаЕтика та естетикаІнформатикаІсторіяМаркетингМенеджментПолітологіяПравоСтатистикаФілософіяФінанси

Бібліотека підручників та статтей Posibniki (2022)