4.2. Елементи теорії стійкості динамічних економіко-математичних моделей (ЕММ)

4.2.1. Основні поняття і визначення

Визначення 1 (вербальне). Розв’язок )(?t динамічної ММ (4.1) стійкий, якщо досить близький до нього інший розв’язок y(t), починаючи з моменту часу t

0 , цілком лежить у так званій ?-трубці діаметром 2?, якою охоплюється розв’язок )(?t .

Геометричну інтерпретацію визначення зображено на рис. 4.1.

Рис. 4.1. Графічне тлумачення стійкості розв’язку ММ (4.1) в одновимірному випадку

)(??t=стійким за Ляпуновим, якщо для будь-якого ? > 0 як завгодно малого знайдеться величина )?(??= )(tyy= ?)(?)(

00 tty )?(??)(tyy?)(?)(

00 tty ?)(?)( tty

Визначення 1а (математичне, строге). Розв’язок )(??t= динамічної ЕММ називають стійким за Ляпуновим, якщо для будь-якого ? > 0 як завгодно малого знайдеться величина така )?(??= , що для всіх розв’язків )(tyy= , які задовольняють умову ?)(?)(

00 tty , виконується нерівність ?)(?)( tty у всіх точках області існування розв’язків моделі.

Зауваження 1. Поняття розв’язок ЕММ та її траєкторія еквівалентні, будучи інтегральною кривою — сукупністю точок еволюції економічної системи в довільний час t на основі моделі. припускаючи існування операції множення для вказаних матриць.

Зауваження 2. Нормою матриці А ={a ij } (прямокутної, квадратної, стовпцевої, рядкової), елементи якої — дійсні числа, є невід’ємне число A , що задовольняє аксіоми:

0>A 0A

0=Aа)

0>A , якщо 0?A і

0=A для нульової матриці = 0; BABA+?+AA?=?? ?

Зауваження 2. Нормою матриці А ={a ij } (прямокутної, квадратної, стовпцевої, рядкової), елементи якої — дійсні числа, є невід’ємне число A , що задовольняє аксіоми: а)

0>A , якщо 0?A і

0=A для нульової матриці А = 0; б) BABA+?+ — норма суми матриць одного виду менша за суму норм доданків; в) AA?=?? , де ? — дійсне число; г) BAAB?? — норма добутку двох матриць не більша за добуток норм співмножників,

Використовуються три норми матриць: де матриця А * є транспонована до А, вираз у дужках — сума всіх діагональних елементів навпаки — з обмеження розв’язку не випливає його стійкість.

? ? ? ? ? ? = ? j iji I aAmax ; ? ? ? ? ? ? = ? i ijj II aAmax ; ()

2

1 *

2

1

2 , ASpAaA ji ij III ? ? ? ? ? ? ? = ? , ? ? ? ? ? ? = ? j iji I aAmax ; ? ? ? ? ? ? = ? i ijj II aAmax ; ()

2

1 *

2

1

2 , ASpAaA ji ij III ? ? ? ? ? ? ? = ? , ? ? ? ? ? = ? j iji I aAmax ; ? ? ? ? ? ? = ? i ijj II aAmax ; ()

2

1 *

2

1

2 , ASpAaA ji ij III ? ? ? ? ? ? ? = ? , ? ? ? ? ? ? = ? j iji I aAmax ; ? ? ? ? ? ? = ? i ijj II aAmax ; ()

2

1 *

2

1

2 , ASpAaA ji ij III ? ? ? ? ? ? ? = ? ,

Для вектора-стовпця [] *

21 ...,,, n xxxx= вказані вище норми набувають вигляду: ii I xxmax= ; [] *

21 ...,,, n xxxx= вказані вище норми набувають вигляду: ii I xxmax= ; = i II xx

1 ; ? = = i i III xx

1

2 , причому евклідова норма збігається з довжиною вектора.

Наслідок. Тривіальний розв’язок

0)(?=t , причому f(t, 0) = 0, що відповідає стану рівнова? = = i i II xx

1 ; ? = = i i III xx

1

2 , причому евклідова норма збігається з довжиною вектора.

Наслідок. Тривіальний розв’язок

0)(?=t , причому f(t, 0) = 0, що відповідає стану рівнова? = = i i II xx

1 ; ? = = i i III xx

1

2 , причому евклідова норма збігається з довжиною вектора.

Наслідок. Тривіальний розв’язок

0)(?=t , причому f(t, 0) = 0, що відповідає стану рівнова

0)(?=t

Наслідок. Тривіальний розв’язок

0)(?=t , причому f(t, 0) = 0, що відповідає стану рівнова

0),?(??

0 >=t?)(

0 ty

0),?(??

0 >=t?)(

0 <ty?)(

0 <ty

Зауваження 3. Зі стійкості нетривіального розв’язку )(?t не випливає його обмеженість, і квадратної матриці А *

А. Норма III A називається евклідовою.

Для вектора-стовпця [] *

21 ...,,, n xxxx= вказані вище норми набувають вигляду: ii I xxmax= ; ? = = n i i II xx

1 ; ? = = n i i III xx

1

2 , причому евклідова норма збігається з довжиною вектора.

Наслідок. Тривіальний розв’язок

0)(?=t , причому f(t, 0) = 0, що відповідає стану рівноваги, стійкий, якщо існує величина

0),?(??

0 >=t така, що з нерівності ?)(

0 <ty випливає справедливість ?)(

0 <ty у будь-який момент часу t.

Зауваження 3. Зі стійкості нетривіального розв’язку )(?t не випливає його обмеженість, і )?(??=

0 зивається рівномірною.

Зауваження 5. Якщо знайдеться момент часу

011 )(ttt>?= і деякий розв’язок )( ? ty такі, що матимуть місце нерівності ?)(?)(

00? tty і ?)(?)(

11? ??tty , то розв’язок )(?t називається нестійким за Ляпуновим. На рис. 4.2 наводено геометричне тлумачення зауваження 3 для тривіального розв’язку

0)(?=t : для деякого0?> і

0 t , довільного ? існують розв’язок )( ? ty і момент часу t

1 > t

0 такі, що виконуються нерівності ?)(y

0 < ? t і ?)(

1? ?ty .

011 )(ttt>?=)( ? ty матимуть місце нерівності ?)(?)(

00? tty і ?)(?)(

11? ??tty , то розв’язок )(?t називається нестійким за Ляпуновим. На рис. 4.2 наводено геометричне тлумачення зауваження 3 для тривіального розв’язку

0)(?=t : для деякого0?> і

0 t , довільного ? існують розв’язок )( ? ty і момент часу t

1 > t

0 такі, що виконуються нерівності ?)(y

0 < ? t і ?)(

1? ?ty .?)(?)(

00? tty?)(?)(

11? ??tty )(?tстійким за Ляпуновим. На рис. 4.2 наводено геометричне тлумачення зауваження 3 для тривіального розв’язку

0)(?=t : для деякого0?> і

0 t , довільного ? існують розв’язок )( ? ty і момент часу t

1 > t

0 такі, що виконуються нерівності ?)(y

0 < ? t і ?)(

1? ?ty .

0)(?=t 0?> і

0 t , довільного ? існують розв’язок )( ? ty і момент часу t

1 > t

0 такі, що виконуються нерівності ?)(y

0 < ? t і ?)(

1? ?ty .віального розв’язку

0)(?=t : для деякого0?> і

0 t , довільного ? існують розв’язок )( ? ty і момент часу t

1 > t

0 такі, що виконуються нерівності ?)(y

0 < ? t і ?)(

1? ?ty .мент часу t

1 > t

0 такі, що виконуються нерівності ?)(y

0 < ? t і ?)(

1? ?ty .

1

0?)(y

0 < ? t?)(

1? ?ty

Зауваження 4. Якщо число )?(??= не залежить від стартового моменту t

0 , то стійкість називається рівномірною.

Зауваження 5. Якщо знайдеться момент часу

011 )(ttt>?= і деякий розв’язок )( ? ty такі, що матимуть місце нерівності ?)(?)(

00? tty і ?)(?)(

11? ??tty , то розв’язок )(?t називається нестійким за Ляпуновим. На рис. 4.2 наводено геометричне тлумачення зауваження 3 для тривіального розв’язку

0)(?=t : для деякого0?> і

0 t , довільного ? існують розв’язок )( ? ty і момент часу t

1 > t

0 такі, що виконуються нерівності ?)(y

0 < ? t і ?)(

1? ?ty .

Рис. 4.2. Графічне тлумачення нестійкого тривіального розв’язку

Визначення 2. Розв’язок динамічної ЕММ (4.1) називається асимптотично стійким для мптотична стійкість у цілому.

t?+?, якщо він стійкий за Ляпуновим (за визначення 1) і знайдеться така додатна величина

0)(

0 >=t?? )(?)(

00 tty

0)(

0 >=t?? )(tyy= ?

00 tty

0)(

0 >=t?? )(tyy?

00 tty

0)(?)(lim

00 =? ?? tty t .

Зауваження 6. Тривіальний розв’язок

0)(?=t асимптотично стійкий, якщо

0)(?=t

0)(lim

0 = ?? ty t для ?<)(

0 ty . Причому сфера )(

0 ty?< для фіксованого

0 t є областю тяжіння (притягання) стану рівноваги точки 0 (початку системи координат).

Визначення 3. Якщо розв’язок )(t? асимптотично стійкий і величина ?=? , то наявна аси

0 ?? ty t для ?<)(

0 ty . Причому сфера )(

0 ty?< для фіксованого

0 t є областю тяжіння (притягання) стану рівноваги точки 0 (початку системи координат).

Визначення 3. Якщо розв’язок )(t? асимптотично стійкий і величина ?=? , то наявна аси?=? t?+?, якщо він стійкий за Ляпуновим (за визначення 1) і знайдеться така додатна величина

0)(

0 >=t?? , що всім розв’язкам )(tyy= , які задовольняють нерівність ?

00 tty , притаманна властивість

0)(?)(lim

00 =? ?? tty t .

Зауваження 6. Тривіальний розв’язок

0)(?=t асимптотично стійкий, якщо

0)(lim

0 = ?? ty t для ?<)(

0 ty . Причому сфера )(

0 ty?< для фіксованого

0 t є областю тяжіння (притягання) стану рівноваги точки 0 (початку системи координат).

Визначення 3. Якщо розв’язок )(t? асимптотично стійкий і величина ?=? , то наявна аси

Тобто передбачається, що областю притягання для розв’язку є весь напівпростір .

Узагальнення. Поряд з динамічною ЕММ (4.1) часто розглядається збурена система звичайних диференційних рівнянь (ЗДР), яка має вигляд

).,(),(ztztf dt zd ?+=(4.2) )(?t=? ?<<ta ?<<ta постійно діючих збурень ),(zt? , якщо для довільних величин0?> і ),[

0 ??at існує )?(??= таке, що при ?),( zt усі розв’язки )(tz збуреної ММ економічної динаміки, що задовольня),(zt? 0?> і ),[

0 ??at існує )?(??= таке, що при ?),( zt усі розв’язки )(tz збуреної ММ економічної динаміки, що задовольня?),( zt)(tz ?)(

0 <tz ),,[

0 ?t?)(?)( ttz? tt

0 ?)(?)(ttz? tt

0 ).,(),(ztztf dt zd ?+=(4.2)

Визначення 4. Розв’язок )(?t=? ( ?<<ta ) динамічної ЕММ (4.2) називається стійким для постійно діючих збурень ),(zt? , якщо для довільних величин0?> і ),[

0 ??at існує )?(??= таке, що при ?),(