4.2.1. Основні поняття і визначення
Визначення 1 (вербальне). Розв’язок )(?t динамічної ММ (4.1) стійкий, якщо досить близький до нього інший розв’язок y(t), починаючи з моменту часу t
0 , цілком лежить у так званій ?-трубці діаметром 2?, якою охоплюється розв’язок )(?t .
Геометричну інтерпретацію визначення зображено на рис. 4.1.
Рис. 4.1. Графічне тлумачення стійкості розв’язку ММ (4.1) в одновимірному випадку
)(??t=стійким за Ляпуновим, якщо для будь-якого ? > 0 як завгодно малого знайдеться величина )?(??= )(tyy= ?)(?)(
00
tty )?(??)(tyy?)(?)(
00
tty ?)(?)(
tty
Визначення 1а (математичне, строге). Розв’язок )(??t= динамічної ЕММ називають стійким за Ляпуновим, якщо для будь-якого ? > 0 як завгодно малого знайдеться величина така )?(??= , що для всіх розв’язків )(tyy= , які задовольняють умову ?)(?)(
00
tty , виконується нерівність ?)(?)(
tty у всіх точках області існування розв’язків моделі.
Зауваження 1. Поняття розв’язок ЕММ та її траєкторія еквівалентні, будучи інтегральною кривою — сукупністю точок еволюції економічної системи в довільний час t на основі моделі. припускаючи існування операції множення для вказаних матриць.
Зауваження 2. Нормою матриці А ={a ij } (прямокутної, квадратної, стовпцевої, рядкової), елементи якої — дійсні числа, є невід’ємне число A , що задовольняє аксіоми:
0>A 0A
0=Aа)
0>A , якщо 0?A і
0=A для нульової матриці = 0; BABA+?+AA?=?? ?
Зауваження 2. Нормою матриці А ={a ij } (прямокутної, квадратної, стовпцевої, рядкової), елементи якої — дійсні числа, є невід’ємне число A , що задовольняє аксіоми: а)
0>A , якщо 0?A і
0=A для нульової матриці А = 0; б) BABA+?+ — норма суми матриць одного виду менша за суму норм доданків; в) AA?=?? , де ? — дійсне число; г) BAAB?? — норма добутку двох матриць не більша за добуток норм співмножників,
Використовуються три норми матриць: де матриця А * є транспонована до А, вираз у дужках — сума всіх діагональних елементів навпаки — з обмеження розв’язку не випливає його стійкість.
? ? ? ? ? ? = ? j iji I aAmax ; ? ? ? ? ? ? = ? i ijj II aAmax ; ()
2
1 *
2
1
2 , ASpAaA ji ij III ? ? ? ? ? ? ? = ? , ? ? ? ? ? ? = ? j iji I aAmax ; ? ? ? ? ? ? = ? i ijj II aAmax ; ()
2
1 *
2
1
2 , ASpAaA ji ij III ? ? ? ? ? ? ? = ? , ? ? ? ? ? = ? j iji I aAmax ; ? ? ? ? ? ? = ? i ijj II aAmax ; ()
2
1 *
2
1
2 , ASpAaA ji ij III ? ? ? ? ? ? ? = ? , ? ? ? ? ? ? = ? j iji I aAmax ; ? ? ? ? ? ? = ? i ijj II aAmax ; ()
2
1 *
2
1
2 , ASpAaA ji ij III ? ? ? ? ? ? ? = ? ,
Для вектора-стовпця [] *
21 ...,,, n xxxx= вказані вище норми набувають вигляду: ii I xxmax= ; [] *
21 ...,,, n xxxx= вказані вище норми набувають вигляду: ii I xxmax= ; = i II xx
1 ; ? = = i i III xx
1
2 , причому евклідова норма збігається з довжиною вектора.
Наслідок. Тривіальний розв’язок
0)(?=t , причому f(t, 0) = 0, що відповідає стану рівнова? = = i i II xx
1 ; ? = = i i III xx
1
2 , причому евклідова норма збігається з довжиною вектора.
Наслідок. Тривіальний розв’язок
0)(?=t , причому f(t, 0) = 0, що відповідає стану рівнова? = = i i II xx
1 ; ? = = i i III xx
1
2 , причому евклідова норма збігається з довжиною вектора.
Наслідок. Тривіальний розв’язок
0)(?=t , причому f(t, 0) = 0, що відповідає стану рівнова
0)(?=t
Наслідок. Тривіальний розв’язок
0)(?=t , причому f(t, 0) = 0, що відповідає стану рівнова
0),?(??
0 >=t?)(
0 ty
0),?(??
0 >=t?)(
0 <ty?)(
0 <ty
Зауваження 3. Зі стійкості нетривіального розв’язку )(?t не випливає його обмеженість, і квадратної матриці А *
А. Норма III A називається евклідовою.
Для вектора-стовпця [] *
21 ...,,, n xxxx= вказані вище норми набувають вигляду: ii I xxmax= ; ? = = n i i II xx
1 ; ? = = n i i III xx
1
2 , причому евклідова норма збігається з довжиною вектора.
Наслідок. Тривіальний розв’язок
0)(?=t , причому f(t, 0) = 0, що відповідає стану рівноваги, стійкий, якщо існує величина
0),?(??
0 >=t така, що з нерівності ?)(
0 <ty випливає справедливість ?)(
0 <ty у будь-який момент часу t.
Зауваження 3. Зі стійкості нетривіального розв’язку )(?t не випливає його обмеженість, і )?(??=
0 зивається рівномірною.
Зауваження 5. Якщо знайдеться момент часу
011 )(ttt>?= і деякий розв’язок )( ? ty такі, що матимуть місце нерівності ?)(?)(
00?
tty і ?)(?)(
11? ??tty , то розв’язок )(?t називається нестійким за Ляпуновим. На рис. 4.2 наводено геометричне тлумачення зауваження 3 для тривіального розв’язку
0)(?=t : для деякого0?> і
0 t , довільного ? існують розв’язок )( ? ty і момент часу t
1 > t
0 такі, що виконуються нерівності ?)(y
0 < ? t і ?)(
1? ?ty .
011 )(ttt>?=)( ? ty матимуть місце нерівності ?)(?)(
00?
tty і ?)(?)(
11? ??tty , то розв’язок )(?t називається нестійким за Ляпуновим. На рис. 4.2 наводено геометричне тлумачення зауваження 3 для тривіального розв’язку
0)(?=t : для деякого0?> і
0 t , довільного ? існують розв’язок )( ? ty і момент часу t
1 > t
0 такі, що виконуються нерівності ?)(y
0 < ? t і ?)(
1? ?ty .?)(?)(
00?
tty?)(?)(
11? ??tty )(?tстійким за Ляпуновим. На рис. 4.2 наводено геометричне тлумачення зауваження 3 для тривіального розв’язку
0)(?=t : для деякого0?> і
0 t , довільного ? існують розв’язок )( ? ty і момент часу t
1 > t
0 такі, що виконуються нерівності ?)(y
0 < ? t і ?)(
1? ?ty .
0)(?=t 0?> і
0 t , довільного ? існують розв’язок )( ? ty і момент часу t
1 > t
0 такі, що виконуються нерівності ?)(y
0 < ? t і ?)(
1? ?ty .віального розв’язку
0)(?=t : для деякого0?> і
0 t , довільного ? існують розв’язок )( ? ty і момент часу t
1 > t
0 такі, що виконуються нерівності ?)(y
0 < ? t і ?)(
1? ?ty .мент часу t
1 > t
0 такі, що виконуються нерівності ?)(y
0 < ? t і ?)(
1? ?ty .
1
0?)(y
0 < ? t?)(
1? ?ty
Зауваження 4. Якщо число )?(??= не залежить від стартового моменту t
0 , то стійкість називається рівномірною.
Зауваження 5. Якщо знайдеться момент часу
011 )(ttt>?= і деякий розв’язок )( ? ty такі, що матимуть місце нерівності ?)(?)(
00?
tty і ?)(?)(
11? ??tty , то розв’язок )(?t називається нестійким за Ляпуновим. На рис. 4.2 наводено геометричне тлумачення зауваження 3 для тривіального розв’язку
0)(?=t : для деякого0?> і
0 t , довільного ? існують розв’язок )( ? ty і момент часу t
1 > t
0 такі, що виконуються нерівності ?)(y
0 < ? t і ?)(
1? ?ty .
Рис. 4.2. Графічне тлумачення нестійкого тривіального розв’язку
Визначення 2. Розв’язок динамічної ЕММ (4.1) називається асимптотично стійким для мптотична стійкість у цілому.
t?+?, якщо він стійкий за Ляпуновим (за визначення 1) і знайдеться така додатна величина
0)(
0 >=t?? )(?)(
00 tty
0)(
0 >=t?? )(tyy= ?
00 tty
0)(
0 >=t?? )(tyy?
00 tty
0)(?)(lim
00 =? ?? tty t .
Зауваження 6. Тривіальний розв’язок
0)(?=t асимптотично стійкий, якщо
0)(?=t
0)(lim
0 = ?? ty t для ?<)(
0 ty . Причому сфера )(
0 ty?< для фіксованого
0 t є областю тяжіння (притягання) стану рівноваги точки 0 (початку системи координат).
Визначення 3. Якщо розв’язок )(t? асимптотично стійкий і величина ?=? , то наявна аси
0 ?? ty t для ?<)(
0 ty . Причому сфера )(
0 ty?< для фіксованого
0 t є областю тяжіння (притягання) стану рівноваги точки 0 (початку системи координат).
Визначення 3. Якщо розв’язок )(t? асимптотично стійкий і величина ?=? , то наявна аси?=? t?+?, якщо він стійкий за Ляпуновим (за визначення 1) і знайдеться така додатна величина
0)(
0 >=t?? , що всім розв’язкам )(tyy= , які задовольняють нерівність ?
00 tty , притаманна властивість
0)(?)(lim
00 =? ?? tty t .
Зауваження 6. Тривіальний розв’язок
0)(?=t асимптотично стійкий, якщо
0)(lim
0 = ?? ty t для ?<)(
0 ty . Причому сфера )(
0 ty?< для фіксованого
0 t є областю тяжіння (притягання) стану рівноваги точки 0 (початку системи координат).
Визначення 3. Якщо розв’язок )(t? асимптотично стійкий і величина ?=? , то наявна аси
Тобто передбачається, що областю притягання для розв’язку є весь напівпростір .
Узагальнення. Поряд з динамічною ЕММ (4.1) часто розглядається збурена система звичайних диференційних рівнянь (ЗДР), яка має вигляд
).,(),(ztztf dt zd ?+=(4.2) )(?t=? ?<<ta ?<<ta постійно діючих збурень ),(zt? , якщо для довільних величин0?> і ),[
0 ??at існує )?(??= таке, що при ?),(
zt усі розв’язки )(tz збуреної ММ економічної динаміки, що задовольня),(zt? 0?> і ),[
0 ??at існує )?(??= таке, що при ?),(
zt усі розв’язки )(tz збуреної ММ економічної динаміки, що задовольня?),(
zt)(tz ?)(
0 <tz ),,[
0 ?t?)(?)(
ttz?
tt
0 ?)(?)(ttz?
tt
0 ).,(),(ztztf dt zd ?+=(4.2)
Визначення 4. Розв’язок )(?t=? ( ?<<ta ) динамічної ЕММ (4.2) називається стійким для постійно діючих збурень ),(zt? , якщо для довільних величин0?> і ),[
0 ??at існує )?(??= таке, що при ?),(