Сутність терміна «катастрофа». Йому відповідає стрибкоподібна поведінка економічного фактора, коли у складових економіки відбуваються плавні і незначні зміни. Досить наочним тлумаченням може слугувати явище дефолту на біржі, фінансової системи.
Математична теорія катастроф [9; 24] досліджує структурну стійкість так званих градієнтних систем, що описуються сукупністю звичайних диференціальних рівнянь:
Обмежуючись потенціальною функцією лише однієї змінної, подамо 4 фундаментальні типи елементарнихстівки —
axxF+=? )( ; зборка — axbxxF++=?
24 )( ; хвіст лаcxbxaxxF+++=?
235 )( ; метелик — dxcxbxaxxF++++=?
2346 )( . катастроф: складка — axxF+=? )( ; зборка — axbxxF++=?
24 )( ; хвіст лаcxbxaxxF+++=?
235 )( ; метелик — dxcxbxaxxF++++=?
2346 )( .
У теорії катастроф наявне фундаментальне твердження — теорема Тома: для систем, описуваних гладкими (достатньо разів диференційованими) функціями, що мають не більше чотирьох параметрів і довільну кількість змінних, існує лише сім можливих типів локальних геометричних структур для стійких множин катастроф.
Зауваження. Інші три елементарні катастрофи: хвіст «ластівчин», еліптична омбілічна точка, або волос, гіперболічна омбілічна точка, або спадна хвиля, є функціями двох незалежних змінних, причому в перших двох катастрофах використовуються три параметри, в останній — чотири.
Детальніше зупинимося на елементарній катастрофі типу зборка, диференціальне рівняння якої має вигляд
Поверхню катастрофи зображено на рис. 5.1 у просторі з координатами ) ; ;(xba .
Рис. 5.1.1. Катастрофа збіркаРис. 5.1.2. Катастрофа збірка. Поверхня критичних точок
Неперервній варіації параметрів a і b на рис. 5.1 відповідає рух по кривій RT, що розташована на верхній частині поверхні; у точці Т відбувається катастрофа — стрибком система переходить від одного стану (Т) до іншого (Р), причому точка P лежить на нижній частині поверхні. На поверхні катастрофспостерігається явище гістерезису: якщо раніше відбувався стрибок із верхнього листка на нижній, то при русі вздовж кривої PQ має місце стрибок у точці Q від нижнього листка на верхній.
Проекція на площину параметрів (a; b) точок поверхні, для яких існує вертикальна дотична, дає біфуркатційну криву.
Значенням параметрів a і b, що лежать у середині біфуркативної кривої, відповідають два різні стани економічної системи (має місце бімодальність).
Детально зупинимося на моделюванні біржових операцій на підґрунті елементарної катастрофи зборка. Нехай змінна х відповідає швидкості змінюваності індекса Доу-Джонса; параметри с
1 і с
2 характеризують попит на акції і спрямовану на спекуляцію частку коштів від),(
повідно. З виразу потенціальної функції xcxcxxccF
2 2
1
21 ),,(++= «зборки» випливає рівність ?? F ви*)( 0278
2
2
3
1 =+cc, беручи до уваги визначення точки біфуркації. Справді, умова
0 )( = ? ?? x F ви*)( 0278
2
2
3
1 =+cc, беручи до уваги визначення точки біфуркації. Справді, умова
0 )( = ? ?? x F визначення критичних точок має вигляд 024
21
3 =++cxcx. Вони зливаються за умови
0 )(
2
2 = ? ?? x F , тобто 0212
1
2 =+cx. З останньої рівності, визначивши величину x і підставивши її до умо??)( існування критичних точок, отримуємо шукане рівняння (*)
0278
2
2
3
1 =+cc , яким опи024
21
3 =++cxcx. Вони зливаються за умови
0 )(
2
2 = ? ?? x F , тобто 0212
1
2 =+cx. З останньої рівності, визначивши величину x і підставивши її до умо??)( існування критичних точок, отримуємо шукане рівняння (*)
0278
2
2
3
1 =+cc , яким опитобто 0212
1
2 =+cx. З останньої рівності, визначивши величину x і підставивши її до умо??)( існування критичних точок, отримуємо шукане рівняння (*)
0278
2
2
3
1 =+cc , яким опиx F ? ??)( існування критичних точок, отримуємо шукане рівняння (*)
0278
2
2
3
1 =+cc , яким описується крива (рис. 5.2б) у координатах
21
0cc площини параметрів.
Якщо числовим значенням змінної x відповідають критичні точки потенціальної функції , то спостерігатиметься поверхня S зі складкою, що має назву «збірка» (рис. 5.2 а). повідно. З виразу потенціальної функції xcxcxxccF
2 2
1
21 ),,(++= «зборки» випливає рівність *)( 0278
2
2
3
1 =+cc, беручи до уваги визначення точки біфуркації. Справді, умова
0 )( = ? ?? x F визначення критичних точок має вигляд 024
21
3 =++cxcx. Вони зливаються за умови
0 )(
2
2 = ? ?? x F , тобто 0212
1
2 =+cx. З останньої рівності, визначивши величину x і підставивши її до умови x F ? ??)( існування критичних точок, отримуємо шукане рівняння (*)
0278
2
2
3
1 =+cc , яким описується крива (рис. 5.2б) у координатах
21
0cc площини параметрів.
Якщо числовим значенням змінної x відповідають критичні точки потенціальної функції , то спостерігатиметься поверхня S зі складкою, що має назву «збірка» (рис. 5.2 а).
21 ccF
Рис. 5.2 а. Геометричне зображення «зборки» (поверхні зі складкою)
Точки на поверхні S, для яких дотична площина вертикальна, дають у проекції зборку на площині параметрів (рис. 5.2 б).
Рис. 5.2 б. Графік зображення зборки на координатній площині
0cc
21
. 0278
2
2
3
1 >+cc то потенціальна функція ),(
21 ccF має лише одну критичну точку мінімуму (min), для протилежної нерівності існують дві точки min і одна точка максимуму (max).
6,0 ;1,0;
21 =?=acca
37,0 2 =a . Тоді
6,0 ;1,0;
21 =?=acca
37,0 2 =a . Тоді b
2
2
2 2
1 acc AA =+ . позначивши ,
2
1 xc A ?= на підґрунті формули (*) записуємо
27
8
3
2
2 x c A = : тож має місце кубічне ,
2
1 xc A ?= на підґрунті формули (*) записуємо
27
8
3
2
2 x c A = : тож має місце кубічне
0249,1375,337,0
27
8
23
2 =?+?=+xx x x ; Його корені шукаються за формулою Кардано: -
3
3
27422742 pqqpqq x+??+++?=, де
375,3=p ;
249,1?=q . Остаточно отримується {}
408,0;825,0?=b. Інший
3
3
27422742 pqqpqq x+??+++?=, де
375,3=p ;
249,1?=q . Остаточно отримується {}
408,0;825,0?=b. Інший
825,0=x
1 A
2 A вектор {}
0,192 ;925,0??=??=vabv спричиняє таку зміну, щоб перетиналась біфуркаційна
825,0=x 825,0
1 ?= A c408,0
2 = A cb
408,0;825,0?=bвектор {}
0,192 ;925,0??=??=vabv спричиняє таку зміну, щоб перетиналась біфуркаційна
0,192 ;925,0??=??=vabv
Коли виконується нерівність . 0278
2
2
3
1 >+cc то потенціальна функція ),(
21 ccF має лише одну критичну точку мінімуму (min), для протилежної нерівності існують дві точки min і одна точка максимуму (max).
Тепер візьмемо вектор }{{}
6,0 ;1,0;
21 =?=acca , квадрат довжини якого
37,0 2 =a . Тоді найближчою до вершини цього вектора є точка А перетину лінії біфуркації і кола радіуса a . Координати точки А (вершини вектора b ) шукаються так: виконується рівність
2
2
2 2
1 acc AA =+ . позначивши ,
2
1 xc A ?= на підґрунті формули (*) записуємо
27
8
3
2
2 x c A = : тож має місце кубічне рівняння
0249,1375,337,0
27
8
23
2 =?+?=+xx x x ; Його корені шукаються за формулою Кардано: -
3
32
3
32
27422742 pqqpqq x+??+++?=, де
375,3=p ;
249,1?=q . Остаточно отримується
825,0=x або 825,0
1 ?= A c; 408,0
2 = A c. Отже, вектор b має координати {}
408,0;825,0?=b. Інший вектор {}
0,192 ;925,0??=??=vabv спричиняє таку зміну, щоб перетиналась біфуркаційна
крива. Тож, зазначена модель біржових операцій володіє майже на порядок (у дев’ять разів) більшою схильністю до попиту на акції, ніж до змінюваності частки коштів на біржі спекуляції.
