00 )(?xx=
0 x)(?
0 x
2. Нехай виконується таке: Px?
1 і )(? )()1(mm xx= + — ітеративний процес (ІП). Якщо має мі+ , тобто ІП збігається до рухомої точки
0 x , то вона стійка для відображення Px?
1)(? )()1(mm xx= + — ітеративний процес (ІП). Якщо має мі+ , тобто ІП збігається до рухомої точки
0 x , то вона стійка для відображення
2. Нехай виконується таке: Px?
1 і )(? )()1(mm xx= + — ітеративний процес (ІП). Якщо має мі+ , тобто ІП збігається до рухомої точки
0 x , то вона стійка для відображення
0 )1( limxx m m = + ?? , тобто ІП збігається до рухомої точки
0 x , то вона стійка для відображення )(?x , а замкнена траєкторія )(?x також стійка. сце
0 )1( limxx m m = + ?? , тобто ІП збігається до рухомої точки
0 x , то вона стійка для відображення )(?x , а замкнена траєкторія )(?x також стійка. Py
1
21 )(?yy=
12 )(yy=?
11
2 )(yy=? і
2 )(yy=? . Тоді траєкторія )(
1 y? стає замкненою після двох обходів навколо лінії ? (див. рис. 3.22). Між іншим, точка
0 x є нерухомою для відображення ))(?(??
1
2 x? .Py
1
21 )(?yy=
12 )(yy=?
11
2 )(yy=? і
2 )(yy=? . Тоді траєкторія )(
1 y? стає замкненою після двох обходів навколо лінії ? (див. рис. 3.22). Між іншим, точка
0 x є нерухомою для відображення ))(?(??
1
2 x? .
22
2 )(yy=? . Тоді траєкторія )(
1 y? стає замкненою після двох обходів навколо лінії ? (див. рис. 3.22). Між іншим, точка
0 x є нерухомою для відображення ))(?(??
1
2 x? .
1. Якщо виконується
00 )(?xx= , тобто точка
0 x нерухома, то траєкторія )(?
0 x — замкнена.
2. Нехай виконується таке: Px?
1 і )(? )()1(mm xx= + — ітеративний процес (ІП). Якщо має місце
0 )1( limxx m m = + ?? , тобто ІП збігається до рухомої точки
0 x , то вона стійка для відображення )(?x , а замкнена траєкторія )(?x також стійка.
3. Нехай для точки Py?
1 виконується гіпотеза
21 )(?yy= і
12 )(yy=? , тобто
11
2 )(yy=? і
22
2 )(yy=? . Тоді траєкторія )(
1 y? стає замкненою після двох обходів навколо лінії ? (див. рис. 3.22). Між іншим, точка
0 x є нерухомою для відображення ))(?(??
1
2 x? .
Рис. 3.22. Відображення Пуанкаре для двох обходів навколо J
Відображення А (х) Пуанкаре розглядає проблему біфуркації замкненої траєкторії точкової моделі так:
1. Появі або зникненню пари замкнених траєкторій відповідає аналогічна процедура для пари нерухомих точок відображення А (х).
2. Подвоєнню періоду відповідає біфуркація нерухомої точки
0 x відображення )(?x , коли відгалужується пара точок
1 y і
2 y другої ітерації відображення.
3. Появі інваріантного тора навколо замкненої траєкторії ? відповідає біфуркація нерухомої точки
0 x відображення )(?x у вигляді замкненої кривої (інваріантного кола).
4. Біфуркація із втратою симетрії відповідає розгалуження нерухомої точки відображення А (х) Пуанкаре (з’являються інші дві).
3.4.4. Орбітальна стійкість розв’язку ЕММ
Розв’язок ММ (3.9 а) називається орбітально стійким, якщо траєкторії, що починаються неподалік відкритої )(?
0 x , з плином часу не дуже віддаляються від нього. Якщо відстань між будь-якими двома з-поміж згадуваних траєкторій стягується до нуля з плином часу, то має місце асимптотична орбітальна стійкість. Геометричне тлумачення цих якісних дефініцій наведено на рис. 3.23. уса ?
? ?(x
0 ) x
0 y
0
б) асимптотична орбітальна стійкість
Рис. 3.23. Графічна інтерпретація понять стійкості
Замкнута асимптотично орбітально стійка траєкторія називається граничним циклом.
3.4.5. Граничні множини траєкторії
Гетероклінною траєкторією нелінійної ЕММ (3.9 а) вважається крива, що починається в одному рівноважному стані
0 x і закінчується в іншому
1 x . Геометрично це відтворено на рис. 3.24.
Рис. 3.24. Гетероклінна траєкторія
Гомоклінна траєкторія починається і закінчується в тому рівноважному самому стані
0 x . Замкнута крива називається гомоклінною петлею.
Рис. 3.25. Гомоклінна траєкторія
єкторії )(?
0 x , якщо існує послідовність k r дійсних чисел, для якої виконується {} +?= +?? k k rlim і =? +?? ),(lim
0 .
0 x , якщо існує послідовність {} k r дійсних чисел, для якої виконується {} +?= +?? k k rlim і =? +?? ),(lim
0 .наявне відношення Zxr k k =? +?? ),(lim
0 .k k =? +?? ),(lim
0 .
Визначення ? -граничної множини. Нехай )(?? — фазовий потік ЕММ (3.9а), а )(?
0 x — її траєкторія. Точка n RZ? простору економічних подій називається ? -граничною точкою траєкторії )(?
0 x , якщо існує послідовність {} k r дійсних чисел, для якої виконується {} +?= +?? k k rlim і наявне відношення Zxr k k =? +?? ),(lim
0 .
Сукупність усіх ? -граничних точок вказаної траєкторії ? утворює ? -граничну множину траєкторій і позначатиметься )?(? . траєкторій і позначатиметься )?(? .
)(?
0 x , якщо існує така послідовність дійсних чисел, що виконується {} ??= +?? k k rlim і наявне від
0 x , якщо існує така послідовність дійсних чисел, що виконується {} ??= +?? k k rlim і наявне відношення
00 ),(limaxr k k =? +?? .
Сукупність усіх ? -граничних точок такої траєкторії ? утворює ? -граничну множину
00 ),(limaxr k k =? +?? .
Сукупність усіх ? -граничних точок такої траєкторії ? утворює ? -граничну множину
Визначення ? -граничної множини. Точка n Ra? називається ? -граничною для траєкторії )(?
0 x , якщо існує така послідовність дійсних чисел, що виконується {} ??= +?? k k rlim і наявне відношення
00 ),(limaxr k k =? +?? .
Сукупність усіх ? -граничних точок такої траєкторії ? утворює ? -граничну множину
На підґрунті цих означень візуалізується асимптотична поведінка розв’язків ЕММ (3.9 а).
Рис. 3.26. Геометричне тлумачення використання понять ? - і ? -граничних множин
На рис. 3.26 ? -граничною множиною траєкторії
0 ? є замкнена траєкторія
1 ? . } і
?
0 ??x={}{}
1 ??x= , де точки х
0 і х
1 відповідають рівноважному економічному стану.
Для гомоклінної траєкторії має місце рівність {}
0 )?(?)?(?x== .
1 ??x=
0
1
Для гомоклінної траєкторії має місце рівність {}
0 )?(?)?(?x== .
0 )?(?)?(?x==
Гетероклінна траєкторія ? спостерігається, коли виконуються рівності {}{
0 ??x={}{}
1 ??x= , де точки х
0 і х
1 відповідають рівноважному економічному стану.
Для гомоклінної траєкторії має місце рівність {}
0 )?(?)?(?x== .
3.4.6. Показники Ляпунова
Попередньо нагадаємо деякі факти теорії лінійних диференціальних систем. Для динамічної економіко-математичної моделі (ЕММ) де — одинична матриця.
Стандартно фундаментальна матриця записується так: де P(t) — невироджений період, для для цілих; R — постійна матриця, {} Rtexp — матрична експонента. Тоді для вихідної ЕММ (*) має місце вираз який називається матрицею монодромії, а її власні числа — мультиплікаторами ММ (*).
RttPtUexp)()(?= EP=)0( EkTP=)({} RttPtUexp)()(?= , якого виконується: EP=)0( ; EkTP=)(RTeTPTU RT exp)()(??= , {} RTeTPTU RT exp)()(??= ,
Вихідна ЕММ (*) матиме періодичний розв’язок з періодом Т лише тоді, коли матриця
монохромії володітиме власним числом (+1). ) ...,,2 ,1(?ni i =льної системи (*) належать одиничному колу, тобто
1?? i , і серед них немає кратних, то нульовий розв’язок стійкий за Ляпуновим.
1?< i го розв’язку ЕММ (*), тобто .0)(lim= ?? tx t
Для розв’язку )(tp
ЕММ (3.9а) має місце рівняння у варіаціях монохромії володітиме власним числом (+1).
Критерій стійкості нульового розв’язку: якщо всі власні числа ) ...,,2 ,1(?ni i = диференціальної системи (*) належать одиничному колу, тобто
1?? i , і серед них немає кратних, то нульовий розв’язок стійкий за Ляпуновим.
Коли виконується строга нерівність
1?< i , то має місце асимптотична стійкість нульового розв’язку ЕММ (*), тобто .0)(lim= ?? tx t
Для розв’язку )(tp
ЕММ (3.9а) має місце рівняння у варіаціях )( ))(( )(tZ x tpf tZ ? ? = & , )( ))(( )(tZ x tpf tZ ? ? = & ,
— лінійне нестаціонарне диференціальне рівняння, де співмножник x f ? ??)( — функціональна матриця Якобі.
Якщо )(tp — стаціонарний розв’язок, то лінеаризація ЕММ на розв’язку набуває вигляду
—диференціальної системи зі сталими коефіцієнтами.
)(tp)()(tpTtp=+ x tpf tA ? ? = ))(( )( . Тоді застосовна теорема Флоке про побудову матриці монохромії. Важливий факт: один з мультиплікаторів періодичного розв’язку завжди є (+1), а інші відповідають за орбітальну стійкість )(tp , а саме: нехай
1?
1 = і
1?< i ( = 1, n), тоді розв’язок )(tp асимптотично орбітально стійкий.
1?
1 =
1?in), тоді розв’язок )(tp асимптотично орбітально стійкий. )(tp
1?
1 =
1?< in), тоді розв’язок )(tp асимптотично орбітально стійкий.
Якщо )(tp — періодичний розв’язок, тобто )()(tpTtp=+ , то для рівняння у варіаціях записується періодична матриця x tpf tA ? ? = ))(( )( . Тоді застосовна теорема Флоке про побудову матриці монохромії. Важливий факт: один з мультиплікаторів періодичного розв’язку завжди є (+1), а інші відповідають за орбітальну стійкість )(tp , а саме: нехай
1?
1 = і
1?< i (і = 1, 2, …, n), тоді розв’язок )(tp асимптотично орбітально стійкий.
Очевидно, що періодичний розв’язок не може бути асимптотично стійким за Ляпуновим, що зумовлює розгляд лише орбітальної стійкості.
Поведінка траєкторій нелінійної ЕММ (3.9 а) описується за допомогою власних чисел матриці лінеаризації.
Нехай траєкторія )(?
0 x векторного рівняння (3.9 а) відповідає його розв’язку )(tp . Асимптотична поведінка всіх траєкторій, що розташовані поблизу )(?
0 x , де термінується поведінкою фундаментальної матриці )(
0 tU x рівняння у варіаціях для розв’язку )(tp . Саме показники Ляпунова є інструментом для опису асимптотичної поведінки матриці )(
0 tU x .
Рис. 3.27. Деформація паралелепіпеда при русі вздовж траєкторії
0 x)()(
0 tpt x =? , відповідно вектори
3) 2, ,1(=ke k відображаються на вектори kx etU)(
0 , що утворюють новий паралелепіпед )(
3)( p t ? .
3 P як добуток його ребер-векторів k e записується
0 x
0 tpt x =? , відповідно вектори
3) 2, ,1(=ke k відображаються на вектори kx etU)(
0 , що утворюють новий паралелепіпед )(
3)( p t ? .
3 P як добуток його ребер-векторів k e записується kx t k e etU t ex )( ln lim),(?
0
0 ?= ?? ,
Вектори
1 e ,
2 e ,
3 e у фазовому просторі
3 R задають паралелепіпед ?. Фазовий потік переміщує точки
0 x за час t у точку )()(
0 tpt x =? , відповідно вектори
3) 2, ,1(=ke k відображаються на вектори kx etU)(
0 , що утворюють новий паралелепіпед )(
3)( p t ? .
Об’єм початкового паралелепіпеда
3 P як добуток його ребер-векторів k e записується
321 ,,eee ; нового паралелепіпеда —
321 )()()(
000 etUetUetU xxx ?? .
Якщо існує верхня границя виразу k kx t k e etU t ex )( ln lim),(?
0
0 ?= ?? ,
то вона називається k-вимірним показником Ляпунова траєкторії )(?
0 x . Цей показник є мірою швидкості змінюваності об’єму паралелепіпеда при русі вздовж траєкторії )(?
0 x .
)( ? i j для стаціонарного розв’язку ))()((
0 xtp= пов’язані з власними значеннями j µ матриці Якобі )(
0 xfJ ? = співвідношеннями jj µ=Re? , де )Re(? є дійвласними значеннями j µ матриці Якобі )(
0 xfJ ? = співвідношеннями jj µ=Re? , де )Re(? є дій
Одновимірні показники Ляпунова )( ? i j для стаціонарного розв’язку ))()((
0 xtp= пов’язані з власними значеннями j µ матриці Якобі )(
0 xfJ ? = співвідношеннями jj µ=Re? , де )Re(? є дій
сна частина комплексної величини j µ.
Показник )1( ? j для періодичного розв’язку p(t) з періодом Т зображуються через його мункції.
льтиплікатор j µ , тобто jj T µln ? )1( =.
Характеристичні показники Ляпунова. Їхнє призначення полягає в тому, щоб порівнюльтиплікатор j µ , тобто jj T µln ? )1( =.
Характеристичні показники Ляпунова. Їхнє призначення полягає в тому, щоб порівнювати поведінку графіка модуля деякої функції )(tf для ??t відносно експоненціальної фу
З огляду на лінійну парадигму економіки і, як наслідок, розповсюджений у ній тренд експоненціального зростання цілком слушно розглядати характеристичні показники Ляпунова, які мають своє застосування в теорії стійкості руху, зокрема економічної системи.
Визначення. Число ? називається показником Ляпунова функції )(tf для ??t (позначається [] f? ), якщо виконуються такі умови:
— модуль функції зростає повільніше;
— для деякої необмеженої послідовності {} ?? k t графік модуля функції зростає швидше за експоненту.
Графічну інтерпретацію дефініції наведено на рис. 3.29.
Рис. 3.29 Графічна інтерпретація дефініцій
Характеристичний показник обчислюється за формулою t tf f t )(ln lim? ?? + =, де розглядається верхня границя. Наведемо приклади характеристичного показника для деяких функцій: ? t e e t t t t ;
Характеристичний показник обчислюється за формулою t tf f t )(ln lim? ?? + =, де розглядається верхня границя. Наведемо приклади характеристичного показника для деяких функцій: ? t e e t t t t ;
1) експоненти — [] ? ? lim ln lim? ? === ?? ? ?? + t t t e e t t t t ; ? ? lim ln lim? ? === ?? ? ?? + t t t e e t t t t ;
0 ln lim ln lim?=== ???? + t t m t t t t m t m , m — дійсне число;
2) степеневої —
0 ln lim ln lim?=== ???? + t t m t t t t m t m , m — дійсне число;
Характеристичний показник обчислюється за формулою [] t tf f t )(ln lim? ?? + =, де розглядається верхня границя. Наведемо приклади характеристичного показника для деяких функцій:
1) експоненти — [] ? ? lim ln lim? ? === ?? ? ?? + t t t e e t t t t ;
2) степеневої — []
0 ln lim ln lim?=== ???? + t t m t t t t m t m , m — дійсне число;
3.4.7. Інваріантні множини та їхні властивості
Для ЕММ (3.9 а) деяка множина n RM? фазового простору називається інваріантною, якщо будь-яка траєкторія моделі, що має принайми одну спільну точку з множиною М, цілком розташована в ній. Найпростіші приклади — рівноважні стани і замкнені траєкторії. x
зивається стійкою величиною за Ляпуновим, якщо для 0?>? знайдеться така величина
Визначення 1. Замкнута (включає її межу) інваріантна множина М фазового потоку ? називається стійкою величиною за Ляпуновим, якщо для 0?>? знайдеться така величина ]?;0(?? , що структура нерівності ???),(Mx для віддалі між будь-яким x і множиною М зберігатиметься для довільної точки потоку і елементами М у вигляді ????)),((Mt з плином часу.
Визначення 2. Замкнута інваріантна множина А називається атрактором, якщо існує відкритаU? виконується ?? x t
(не включає межу) множина AU? — така, що для будь-якої точки x
0),(?lim?? A . При цьому U є областю притягання (тяжіння) атрактора А.
Як елементарні приклади фігурують асимптотично стійкі рівноважні стани економіки і стійкі замкнені траєкторії. Інваріантним множинам притаманно вивчати свою внутрішню структуру і залежність від параметрів.
Визначення 3. Інваріантна множина М називається внутрішньо нестійкою (хаотичною), коли довільна траєкторія, розташована у М, є нестійкою за Ляпуновим і має щонайменше один додатнйй одновимірний показник Ляпунова.
Якщо всі показники Ляпунова від’ємні, то складається з однієї точки — стійкого положення рівноваги. Коли один показник Ляпунова дорівнює нулю, а інші від’ємні, то існує одновимірний атрактор, наприклад граничний цикл. Наявність одного додатного показника Ляпунова свідчить про існування двовимірного атрактора. Коли всі показники Ляпунова додатні, то як правило, розмірність множини М дробова.
3.4.8. Явище Фейгенбаума
Для ЕММ (3.10) розглядається один з механізмів виникнення хаотичної множини у фазовому просторі.
1 ??
