Суть трансформації полягає в зміні шкали вимірювання первинного часового ряду, заміні його іншим, трансформованим. За допомогою трансформацій можна зменшити дисперсію ряду, розкрити його структуру, виявити притаманні ряду закономірності або привести ряд до необхідного для аналізу виду, скажімо, до стаціонарного.
У модулі Time Series / Forecasting реалізовано кілька способів трансформації часових рядів, вони розміщені на вкладках діалогового вікна Transformations of Variables і доступні за допомогою команд: OK (transformations, autocorrelatons, crosscorrelations, plots) ? Transformations of Variables (рис. 4.8). Розглянемо основні з них.
Рис. 4.8. Діалогове вікно Transformations of variables
Вкладка х = f(х) містить такі опції перетворення ряду:
Вкладка х = f(х) містить такі опції перетворення ряду:
• Add a constant — додати (відняти) константу до значень ряду;
• Power — піднести до k-степеня;
• Inverse power — добути корінь k-степеня;
• Natural log — замінити значення натуральними логарифмами;
• Exponent — виконати експоненціальне перетворення;
• Mean subtract
— замінити первинний ряд відхиленнями від середнього рівня;
• Standardize
— стандартизувати значення рівнів ряду; середню величину та стандартне відхилення можна задати в полі M і SD або оцінити за опцією Estimate mean & std.dev.from data;
• Trend subtract
— усунути лінійний тренд, парaметри якого задаються в полі а і b або оцінюються за опцією Estimate a/b from datа;
• Autocorr.
— усунути автокореляцію з певним лагом, який задається в полі lag.
Усі варіанти трансформації застосовують послідовно один за одним лише для висвіченої ознаки.
Наступна вкладка містить методи згладжування часових рядів — Smoothing. Оскільки в процесі згладжування відбувається «фільтрування», поглинання коливань часового ряду, то оператори, за допомогою яких виконується процедура згладжування, називають фільтрами. На практиці використовують переважно лінійні фільтри, серед яких найпростіший — ковзна середня з інтервалом згларядів із сезонними коливаннями і нечітко вираженим характером тренда. Інтервал згладжування має дорівнювати або бути кратним періоду сезонності: для помісячних даних — 12, для квартальних — 4, для погодинних — 24 і т. д.
джування m < n. Використовувати метод ковзних середніх доцільно для опису джування m < n. Використовувати метод ковзних середніх доцільно для опису
Суть згладжування методом ковзних середніх полягає в заміні рівнів первинного ряду y t в межах вибраного часового інтервалу (вікна N) середньою (mov. averg) або медіаною (mov. median). Інтервал зсувається по шкалі часу, формуючи ряд ковзних середніх, варіація яких значно менша порівняно з варіацією рівнів первинного ряду, а тому характер динаміки проявляється чіткіше. Що ширший інтервал згладжування m, то плавнішим буде згладжений ряд, водночас він вияляється коротшим за первинний ряд на (m – 1) рівнів, що створює певні складнощі в подальшому аналізі.
На вкладці Smoothing (рис. 4.9) можливі такі способи згладжування:
• N-pts mov. averg. — N-точкова ковзна середня (кожний рівень ряду у t замінюється простою середньою);
• N-pts mov. median
— N-точкова ковзна медіана (замість середньої використовують медіану значень, які потрапили у вікно);
• Prior — згладжування за адаптивною середньою;
• Weighted — усереднення за зваженою середньою, ваги задаються у вікні Specify weights;
• Simple exponential — просте експоненціальне згладжування;
• 4253H Filter — 4253H Фільтр передбачає послідовне використання різних способів трансформації ряду (медіанне згладжування по 4, 2, 5 і 3-х точках, 3-точкове згладжування зваженою ковзною середньою, інші способи).
Якщо в межах інтервалу згладжування припускають нелінійну тенденцію, застосовують зважену ковзну середню, тобто в межах інтервалу кожному рівню надають певну вагу (опція Weighted). Способи формування вагової функції різ
ні. В одних випадках ваги відповідають членам розкладання бінома p2
2
2
1 )(+ , наприклад, в опції 4253H Filter 3-точкове згладжування ковзною середньою здійснюють з вагами a r = 0,25, 0,5, 0,25; в інших випадках до даних інтервалу згладжування добирається певний поліном, скажімо, парабола. Для специфікації ваг передбачено вікно Spesity weights. Медіанне згладжування застосовують переважно тоді, коли в часовому ряду є викиди. здійснюють з вагами a r = 0,25, 0,5, 0,25; в інших випадках до даних інтервалу згладжування добирається певний поліном, скажімо, парабола. Для специфікації ваг передбачено вікно Spesity weights. Медіанне згладжування застосовують переважно тоді, коли в часовому ряду є викиди. ні. В одних випадках ваги відповідають членам розкладання бінома p2
2
2
1 )(+ , наприклад, в опції 4253H Filter 3-точкове згладжування ковзною середньою здійснюють з вагами a r = 0,25, 0,5, 0,25; в інших випадках до даних інтервалу згладжування добирається певний поліном, скажімо, парабола. Для специфікації ваг передбачено вікно Spesity weights. Медіанне згладжування застосовують переважно тоді, коли в часовому ряду є викиди.
Рис. 4.9. Діалогове вікно трансформації ознак, вкладка Smoothing
Основна перевага ковзної середньої — наочність і простота тлумачення тенденції. Проте не слід забувати, що ряд ковзних середніх коротший за первинний ряд, тож втрачається інформація про крайні члени ряду. І що ширший інтервал згладжування, то відчутніші втрати, особливо нової інформації. Окрім того, маючи спільну основу розрахунку, ковзні середні виявляються залежними, що в разі згладжування значних коливань навіть за відсутності циклів у первинному ряду може вказувати на циклічність процесу (ефект Слуцького).
У симетричних фільтрах стара і нова інформація рівновагомі, а під час прогнозування більш важлива нова інформації. У такому разі використовують аси-
метричні фільтри. Найпростіший з них — ковзна середня, яка замінює не центральний, а останній член ряду — так звана адаптивна середня. На вкладці Smoothing таку функцію виконує опція Prior.
При використанні зважених асиметричних фільтрів вагова функція формується з урахуванням ступеня новизни інформації. Такою є середня з експоненціально розподіленими вагами: де Y t — експоненціальна середня, тобто згладжене значення рівня динамічного ряду на момент t; r aa)1(?
— вага (t – r)-го рівня; a — параметр згладжування, який визначає вагу t-го рівня, значення його коливаються в межах від 0 до 1.
Чим віддаленіший від t-го моменту рівень ряду, тим менша його відносна васередня адаптується до нових умов, що робить її досить ефективним і надійним методом короткострокового прогнозування (див. підрозд. 4.4).
га і вклад у тенденцію. Так, при a = 0,2 ваги становлять: для t-го моменту 0,2, для (t – 1)-го моменту — 0,2 (1 – 0,2) = 0,16; для (t – 2)-го моменту — 0,2 (1 – – 0,2)? = 0,128 і т. д. Надаючи більшу вагу новій інформації, експоненціальна га і вклад у тенденцію. Так, при a = 0,2 ваги становлять: для t-го моменту 0,2, для (t – 1)-го моменту — 0,2 (1 – 0,2) = 0,16; для (t – 2)-го моменту — 0,2 (1 – – 0,2)? = 0,128 і т. д. Надаючи більшу вагу новій інформації, експоненціальна
Вкладка Autocorrs діалогового вікна Transformations of Variables містить блок методів аналізу автокореляцій і кроскореляцій. Автокореляція — це кореляція між рівнями одного часового ряду, кроскореляція — між рівнями двох взаємозв’язаних часових рядів, зсунутими відносно один одного на p періодів. Часовий зсув між рівнями ряду називають лагом.
Через інерційність та циклічність багатьох соціально-економічних процесів у часових рядах може виникнути залежність рівнів, коли значення y t певною мірою залежить від попередніх значень: y t–1 , y t–2 і т. д. Формально залежність рівp рівнів. Для великих обсягів сукупності, коли
нів ряду називають автокореляцію порядку p: першого порядку (p = 1), другого порядку (p = 2) і т. д. Автокореляція може бути як додатною, так і від’ємною. Для вимірювання ступеня залежності рівнів ряду використовують коефіцієнти автокореляції r p , де p = 1, 2,…, m — часовий лаг. Коефіцієнт r p характеризує щільність зв’язку між первинним рядом динаміки і цим же рядом, зсунутим на порядку (p = 2) і т. д. Автокореляція може бути як додатною, так і від’ємною. Для вимірювання ступеня залежності рівнів ряду використовують коефіцієнти автокореляції r p , де p = 1, 2,…, m — часовий лаг. Коефіцієнт r p характеризує щільність зв’язку між первинним рядом динаміки і цим же рядом, зсунутим на автокореляції r p , де p = 1, 2,…, m — часовий лаг. Коефіцієнт r p характеризує щільність зв’язку між первинним рядом динаміки і цим же рядом, зсунутим на нів ряду називають автокореляцію порядку p: першого порядку (p = 1), другого порядку (p = 2) і т. д. Автокореляція може бути як додатною, так і від’ємною. Для вимірювання ступеня залежності рівнів ряду використовують коефіцієнти автокореляції r p , де p = 1, 2,…, m — часовий лаг. Коефіцієнт r p характеризує щільність зв’язку між первинним рядом динаміки і цим же рядом, зсунутим на
1
1– ? n n , формулу коефіцієнта автокореляції можна подати як співвідношення функцій автокореляції та варіації:
0
Значення коефіцієнта автокореляції r p залежить від величини лага p і не виходить за межі ±1. Слід зауважити, що зі зростанням лага p зменшується чисельник співвідношення c p і відповідноточність розрахунку r p . Тому немає сенсу даними поквартальної динаміки надання послуг мобільного зв’язку, млн грн.
розглядати оцінки r p при p > n/4.
У табл. 4.2 подано розрахунок коефіцієнта автокореляції першого порядку за розглядати оцінки r p при p > n/4.
У табл. 4.2 подано розрахунок коефіцієнта автокореляції першого порядку за
Припускаючи, що значення останнього рівня ряду несуттєво відрізняється від першого, зсунутий ряд можна не укорочувати, доповнивши його першим ріавтокореляції для додатних і від’ємних значень (дод. 7). Якщо фактичне значення r
внем (умовно y n = y
1 ). Розрахований у такий спосіб коефіцієнт автокореляції називають циклічним. Існують таблиці критичних значень циклічного коефіцієнта внем (умовно y n = y
1 ). Розрахований у такий спосіб коефіцієнт автокореляції називають циклічним. Існують таблиці критичних значень циклічного коефіцієнта
1 менше за критичне, автокореляція вважається неістотною, а випадкова складова — стаціонарним процесом. У разі коли фактичне значення r
1 перевищує критичне, можна зробити висновок про наявність автокореляції.
Таблиця 4.2
ДО РОЗРАХУНКУ КОЕФІЦІЄНТА АВТОКОРЕЛЯЦІЇ
| № з/п |
y t |
y t+1 |
уу? t |
yу? +1t |
За результатами розрахунків: c p = 0,032; c
0 = 0,051.
Звідси коефіцієнт автокореляції першого порядку становить r
1 = 0,032 : 0,051 = = 0,627, що перевищує критичне значення
36,0)10(
0,05–1 =r . Це дає підстави з імовірністю 0,95 зробити висновок про наявність автокореляції в часовому ряду надання послуг мобільного зв’язку.
Послідовність коефіцієнтів r p формує автокореляційну функцію, яку зображають графічно у вигляді корелограми з абсцисою p і ординатою r p . Корелограма наочно показує, як часто і з яким запізненням зміна значення y t впливає на наступні значення показника. За швидкістю згасання автокореляційної функції можна зробити висновок про характер динаміки. Найчастіше використовують значення r
1 . Характеризуючи ступінь залежності двох послідовних членів
Звідси коефіцієнт автокореляції першого порядку становить r
1 = 0,032 : 0,051 = = 0,627, що перевищує критичне значення
36,0)10(
0,05–1 =r . Це дає підстави з імовірністю 0,95 зробити висновок про наявність автокореляції в часовому ряду надання послуг мобільного зв’язку.
Послідовність коефіцієнтів r p формує автокореляційну функцію, яку зображають графічно у вигляді корелограми з абсцисою p і ординатою r p . Корелограма наочно показує, як часто і з яким запізненням зміна значення y t впливає на наступні значення показника. За швидкістю згасання автокореляційної функції можна зробити висновок про характер динаміки. Найчастіше використовують значення r
1 . Характеризуючи ступінь залежності двох послідовних членів= 0,627, що перевищує критичне значення
36,0)10(
0,05–1 r . Це дає підстави з імовірністю 0,95 зробити висновок про наявність автокореляції в часовому ряду надання послуг мобільного зв’язку.
Послідовність коефіцієнтів r p формує автокореляційну функцію, яку зображають графічно у вигляді корелограми з абсцисою p і ординатою r p . Корелограма наочно показує, як часто і з яким запізненням зміна значення y t впливає на наступні значення показника. За швидкістю згасання автокореляційної функції можна зробити висновок про характер динаміки. Найчастіше використовують значення r
1 . Характеризуючи ступінь залежності двох послідовних членів= 0,627, що перевищує критичне значення
36,0)10(
0,05–1 =r . Це дає підстави з імовірністю 0,95 зробити висновок про наявність автокореляції в часовому ряду надання послуг мобільного зв’язку.
Послідовність коефіцієнтів r p формує автокореляційну функцію, яку зображають графічно у вигляді корелограми з абсцисою p і ординатою r p . Корелограма наочно показує, як часто і з яким запізненням зміна значення y t впливає на наступні значення показника. За швидкістю згасання автокореляційної функції можна зробити висновок про характер динаміки. Найчастіше використовують значення r
1 . Характеризуючи ступінь залежності двох послідовних членів
За результатами розрахунків: c p = 0,032; c
0 = 0,051.
Звідси коефіцієнт автокореляції першого порядку становить r
1 = 0,032 : 0,051 = = 0,627, що перевищує критичне значення
36,0)10(
0,05–1 =r . Це дає підстави з імовірністю 0,95 зробити висновок про наявність автокореляції в часовому ряду надання послуг мобільного зв’язку.
Послідовність коефіцієнтів r p формує автокореляційну функцію, яку зображають графічно у вигляді корелограми з абсцисою p і ординатою r p . Корелограма наочно показує, як часто і з яким запізненням зміна значення y t впливає на наступні значення показника. За швидкістю згасання автокореляційної функції можна зробити висновок про характер динаміки. Найчастіше використовують значення r
1 . Характеризуючи ступінь залежності двох послідовних членів
часового ряду, цей коефіцієнт автокореляції є мірою неперервності ряду. Якщо r
1 ? 1, то часовому ряду властивий тренд, якщо r
1 ? 0, рівні ряду незалежні. e
Відносно високі значення коефіцієнта автокореляції при p = k, 2k, 3k … cвідчать про регулярні коливання.
Коефіцієнт автокореляції першого порядку використовують також для оцінки стаціонарності випадкової складової (див. підрозд. 4.3). Корелюються ряди відхилень від тренда, тобто ряди залишкових величин e t , з лагом p = 1: відхилень від тренда, тобто ряди залишкових величин e t , з лагом p = 1: Відносно високі значення коефіцієнта автокореляції при p = k, 2k, 3k … cвідчать про регулярні коливання.
Коефіцієнт автокореляції першого порядку використовують також для оцінки стаціонарності випадкової складової (див. підрозд. 4.3). Корелюються ряди відхилень від тренда, тобто ряди залишкових величин e t , з лагом p = 1:
1 ,e
2 ,e
3 ,…,e n і e
2 ,e
3 , e
4 ,…,e n ,e
1.
Припускаючи, що ?е t = ?е t+1 = 0, формула розрахунку коефіцієнта автокореляції спрощується: t t+1 ляції спрощується:
Припускаючи, що ?е t = ?е t+1 = 0, формула розрахунку коефіцієнта автокореляції спрощується:
1 n
Висновок про наявність чи відсутність автокореляції залишкових величин можна зробити на основі зіставлення фактичного коефіцієнта автокореляції з критичним його значенням для заданого рівня істотності. Графік залежності коефіцієнтів автокореляції від лагу називають корелограмою.
Дослідити автокореляційну функцію можна за опціями вкладки Autocorrs діалогового вікна Transformations of Variables (рис. 4.10). Попередньо необхідно задати кількість лагів (Number of lags), максимальна їх кількість дорівнює (n – 4), тобто для часового ряду надання послуг мобільного зв’язку (табл. 4. 2) макси
мальна кількість лагів (10 – 4) = 6. мальна кількість лагів (10 – 4) = 6.
Рис. 4.10. Діалогове вікно Transformations of Variables, вкладка Autocorrs
У корелограмі для кожного окремого лага наводиться значення коефіцієнта r p , його стандартна похибка S.E. і 95 %-й довірчий інтервал, що дає можливість перевірити істотність коефіцієнтів автокореляції. Якщо r p не виходить за межі довірчого інтервалу, часовий ряд вважається стаціонарним. На рис. 4.11 наведено корелограму часового ряду надання послуг мобільного зв’язку. Точками позначено дві паралельні прямі, що визначають 95 %-ні довірчі межі коефіцієнрактер часового ряду. Властивий такому ряду тренд можна описувати ковзною середньою.
та r p , за цими межами виявився коефіцієнт автокореляції першого порядку (r
1 = 0,679). Автокореляційна функція не згасає, що свідчить про нестаціонарний хата r p , за цими межами виявився коефіцієнт автокореляції першого порядку (r
1 = 0,679). Автокореляційна функція не згасає, що свідчить про нестаціонарний ха 3+,125,2415 8,32,0398 2+,357,2582 8,05,0178 1+,679,2739 6,14,0132(x = x – x(lag)) тощо. Коли часовому ряду властивий лінійний тренд, задають lag = 1, коли ряд має сезонну складову, lag = 12.Autocorrelation Function Import NP (Standard errors are white-noise estimates) Conf. Limit -1,0-0,50,00,51,0
0 6-,357,1826 5-,304,2041 4-,125,2236 3+,125,2415 2+,357,2582 1+,679,2739 LagCorr.S.E.
0
14,67,0230
10,84,0546 8,63,0710 8,32,0398 8,05,0178 6,14,0132 Qp
Рис. 4.11. Корелограми часового ряду надання послуг мобільного зв’язку
Вивчаючи корелограми, слід пам’ятати, що автокореляції послідовних лагів формально взаємозалежні. Коли перший член ряду пов’язаний з другим, а другий — з третім, то перший і третій члени ряду також будуть пов’язані. Якщо усунути автокореляцію першого порядку, періодична залежність членів ряду може істотно змінитися. Саме на усуненні періодичних залежностей членів ряду всередині лага ґрунтується часткова автокореляційна функція (Partial auto-correlations), яка дає більш чітку картину внутрішньої структури ряду. Інші опції вкладки Autocorrs пов’язані з аналізом часткової автокореляції та кроскореляції, з перетворенням нестаціонарного часового ряду в стаціонарний виключенням тренда за допомогою різницевих операторів Differencing (x = x – x(lag)) тощо. Коли часовому ряду властивий лінійний тренд, задають lag = 1, коли ряд має сезонну складову, lag = 12.
Внутрішня структура динамічного ряду, залежність рівня y t від попередніх його значень y t–1 , y t–2 , …, y t–p описується авторегресійною функцією: де р — порядок авторегресії (зсув y t на p значень назад), а р
— коефіцієнт авторегресії.
Процес авторегресії порядку р функціонально пов’язаний з автокореляційною функцією
Згідно з цим співвідношенням єдиний коефіцієнт авторегресії першого позвідси
Очевидно, коефіцієнт авторегресії, як і коефіцієнт автокореляції, змінюється
в межах від –1 до +1. в межах від –1 до +1.
Опція Crosscorrelations — кроскореляції дає можливість дослідити взаємозв’язки між часовими рядами, коли один випереджає або відстає від іншого. Аналітичні можливості кроскорелограми розглянемо на прикладі взаємозалежності часових рядів цін 1 м 2 житла на вторинному і первинному сегментах ринку житлової нерухомості в регіоні. Процес ціноутворення на цих сегментах ринку істотно різниться. На первинному ринку житла ціни залежать від фінансової стабільності та забезпеченості забудовників, терміну реалізації проектів і ступеня їх готовності. Автокореляція суміжних рівнів часового ряду середньої ціни 1 м 2 житла неістотна (рис. 4.12). На вторинному ринку відчутніше порівняно з первинним діють ринкові механізми ціноутворення, автокореляція суміжних рівнів часового ряду середньої ціни житла істотна, що свідчить про наявність тренда (рис. 4.13).
Рис. 4.12. Автокореляція середніх цін 1 м 2 житла на первинному ринку
Рис. 4.13. Автокореляція середніх цін 1 м 2 житла на вторинному ринку
На рис. 4.14 і 4.15 наведено кроскорелограми, що ілюструють взаємозалежність цінової динаміки на первинному і вторинному сегментах ринку в період зростання попиту на житло серед покупців і в період зниження платоспроможного попиту.
У період зростання попиту на житло продавці і на первинному, і на вторинному ринках зацікавлені в постійному підвищенні цін та отриманні більших прибутків. Зростання цін на одному з ринків неодмінно провокує зростання цін на іншому. Кроскореляційна функція (рис. 4.14) вказує на істотну пряму залежність між середнім рівнем цін 1 м 2 на первинному і вторинному ринках житла: ці (–0,9625), істотною виявилася залежність між середньою ціною житла на первинному і вторинному ринках з додатними та від’ємними лагами до двох місяців. Це вказує на схему зростання цін за принципом спіралі.
коефіцієнт кроскореляції в поточному періоді (лаг = 0) наближається до одиникоефіцієнт кроскореляції в поточному періоді (лаг = 0) наближається до одини
Рис. 4.14. Кроскореляція середніх цін 1 м 2 житла на первинному і вторинному сегментах ринку в період зростання попиту на житло
У період зниження платоспроможності населення кроскореляційна функція засвідчує відсутність зв’язку між цінами на цих ринках житла (рис. 4.15), коефіцієнти кроскореляції неістотні. Отже, спад цін, на відміну від їх зростання, відбувається не за принципом спіралі.
Різна тактика продавців вторинного та первинного ринків житла в умовах обмеженої та нееластичної пропозиції ґрунтується на очікуваннях сприятливої (несприятливої) кон’юнктури ринку і проявляється різними ціновими тенденціями на цих ринках. За несприятливої кон’юнктури ринку продавці на вторинному ринку мають більше можливостей використовувати фактор ціни. Первинний ринок житлової нерухомості, зважаючи на його капіталомісткість і негнучкість у реагуванні на зміну поточної кон’юнктури, розв’язує проблему виживання за допомогою інших інструментів, ніж вторинний ринок.
Рис. 4.15. Кроскореляція середніх цін 1 м 2 житла на первинному і вторинному сегментах ринку в період рецесії
На вкладці Shift за опцією Shift relative point of series пропонуються варіанти зсунення ряду вперед (Shift (lag) forward) чи назад (Shift (lag) back) на певний лаг.
