4.1. Методологічні засади моделювання динаміки
4.2. Трансформації часових рядів
4.3. Типи трендових моделей
4.4. Моделювання процесів з насиченням
Після вивчення цього розділу студент повинен знати: методологічні засади моделювання динаміки; функціональне призначення трансформацій часових рядів; складові часового ряду, особливості їх моделювання; види трендових моделей, за якими здійснюється екстраполяція виявлених закономірностей розвитку; особливості моделювання процесів з насиченням; уміти: перевіряти часовий ряд на стаціонарність; вимірювати автокореляції і кроскореляції часових рядів; обґрунтовувати вид трендової моделі; визначати прогнози соціально-економічних явищ на основі трендових моделей; оцінювати адекватність моделей реальним процесам і точність прогнозів; використовувати процедури модуля Time Series / Forecasting системи Statistica для аналізу характеру динаміки і прогнозування.
4.1. МЕТОДОЛОГІЧНІ ЗАСАДИ МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМІКИ
Соціально-економічні явища динамічні, протягом певного часу вони еволюціонують, змінюються, впливають на інші явища. Закономірності розвитку динамічних процесів найповніше виявляються в часових рядах. В економіці це щоденні ціни на акції, курси валют, місячні обсяги продажу товарів, річні обсяги виробництва тощо. Таким процесам властиві дві взаємозв’язані риси: динамічність та інерційність. Динамічність проявляється зміною рівнів і варіації показників, які характеризують процес, інерційність — сталістю механізму формування процесу, напряму та інтенсивності динаміки протягом певного часу. Поєднуючи ці риси, часовий ряд у будь-який момент t містить залишки минулого, основи сучасного й зародки майбутнього.
Діалектична єдність мінливості та сталості, динамічності та інерційності формує закономірність розвитку. Під впливом безлічі факторів довгострокової і
короткострокової дії в одних рядах рівні протягом тривалого часу зростають або зменшуються з різною інтенсивністю, в інших зростання і зменшення їх чергуються з певною періодичністю, наприклад, 11-річні цикли градових опадів, зумовлені циклами сонячної активності. Рік у рік більш-менш регулярно повторюються сезонні піднесення і спади (використання виробничих потужностей і робочої сили, попит на ринку споживчих товарів тощо). Окрім періодичних коливань, динамічним рядам притаманні також випадкові коливання, пов’язані з масовим процесом.
Часові ряди, в яких рівні коливаються навколо сталої середньої, називають стаціонарними. Економічні ряди, як правило, нестаціонарні. Для більшості з них характерна систематична зміна рівнів з нерегулярними коливаннями, коли піки і спади чергуються з різною інтенсивністю. Наприклад, економічні цикли (промислові, будівельні, фондового ринку тощо) повторюються з різною тривалістю й різною амплітудою коливань.
Особливістю аналізу динаміки соціально-економічних процесів є той факт, що зміни рівнів часового ряду умовно поділяють на закономірні (регулярні, детерміновані) і випадкові (нерегулярні). Закономірні зміни відбуваються під впливом факторів еволюційного й осцилятивного характеру за певними правилами, тож вони передбачувані. Випадкові коливання — це результат дії різних короткострокових факторів, вони не піддаються реєстрації, виглядають хаотично й непередбачувано.
Фактори еволюційної дії визначають загальний напрям розвитку, тривалу в часі еволюцію, яка прокладає свій шлях через систематичні й випадкові коливання. Такі зміни динамічного ряду називають тенденцією розвитку або трендом. Унаслідок дії факторів осцилятивного характеру формуються регулярні, періодичні коливання, які можна подати схематично у вигляді синусоїди: протягом певного часу рівні ряду зростають, досягають певного максимуму, потім спадають, досягаючи певного мінімуму, знову зростають і т. д. Періодичні коливання, своєю чергою, класифікують за тривалістю:
• на довгострокові цикли, найчастіше вони відтворюють фази піднесення й спаду ділової активності, технологічні цикли розвитку виробництва, уперше описані М. Кондратьєвим та Й. Шумпетером, інші;
• сезонні коливання, які з регулярною періодичністю повторюються щороку (піки напередодні Нового року, Великодніх свят тощо);
• короткострокові цикли протягом місяця чи навіть доби (інтенсивність транспортних потоків, споживання електроенергії).
У практиці статистичних досліджень соціально-економічних процесів еволюція того чи іншого виду в чистому вигляді трапляється дуже рідко. Зазвичай нестаціонарний часовий ряд є результатом комбінації різних компонент, основними з яких є:
— довгострокова, детермінована часом еволюція D t ;
— циклічні коливання різної природи С k ;
— сезонні коливання S k відображають внутрішньорічну динаміку і більшменш регулярно повторюються рік у рік;
— нерегулярні, випадкові флуктуації e t .
Трендом (англ. trend) називають нециклічну компоненту часового ряду, яка визначає загальний напрям розвитку, основну його тенденцію і плавно змінюється під впливом довгострокових факторів, ефект яких виявляється поступово (демографічних, технологічних, структурних тощо). У дослідженнях часових рядів тенденцію описують за допомогою методів:
• згладжування ряду ковзними середніми;
• вирівнювання ряду з використанням певної функції )(tfY t =, у якій «від імені» всіх довгострокових факторів виступає фактор часу t = 1, 2, …, n. імені» всіх довгострокових факторів виступає фактор часу t = 1, 2, …, n.
• вирівнювання ряду з використанням певної функції )(tfY t =, у якій «від імені» всіх довгострокових факторів виступає фактор часу t = 1, 2, …, n.
Наявність чи відсутність періодичних коливань часового ряду перевіряється за допомогою критеріїв випадковості, серед яких найпростішим є критерій піків і спадів. В основі цього критерію лежить підрахунок кількості поворотних точок де
Поворотною називають точку, в якій ряд динаміки змінює свій напрям на протилежний, тобто попереднє і наступне значення або менші або більші за неї. За відсутності періодичних коливань математичне сподівання кількості поворовизнати випадковими. Якщо ці значення помітно різняться, визначають інтервали між поворотними точками (довжину фаз) і на їх основі аналізують періодичність коливань.
тних точок становить
3
2)–(2n р= . Коли розраховане за даними часового ряду ~ наближається до математичного сподівання, коливання ряду можна тних точок становить
3
2)–(2n р= . Коли розраховане за даними часового ряду значення р ~ наближається до математичного сподівання, коливання ряду можна
Сезонна компонента відображає притаманну природним явищам і людській діяльності повторюваність протягом року, в аналізі часових рядів вона сама по собі може бути предметом дослідження, а може розглядатись як джерело короткострокових коливань часового ряду, які підлягають фільтрації. На відміну від сезонної компоненти циклічна описує тривалі періоди відносного піднесення і спаду з різною амплітудою коливань. Класичним прикладом є економічні цикли М. Кондратьєва: довгі хвилі довжиною близько 50 років, середні — близько 20 і короткі — близько 5 (рис. 4.1).
Простежується чіткий взаємозв’язок між амплітудою коливання економічних циклів та різними факторами кон’юнктури. Так, наприклад, відхилення від рівноваги першого порядку (попит і пропозиція) приводить до коротких хвиль, рівноваги другого порядку (переливання капіталу в нове обладнання, машини,
модернізацію виробництва) досягають коливаннями середніх хвиль, рівновага третього порядку, яка стосується глобальних змін щодо виробничих технологій, сировинної бази, енергетичних питань, спричиняє довгі хвилі. Саме в цей період відбуваються науково-технічні винаходи, відкриття, зміни технологій, які мають найсуттєвіший вплив на соціально-економічне життя суспільства. Кожна наступна фаза довгого циклу є результатом кумулятивних процесів попередньої. Тож інноваційні зміни зумовлюються попитом на них, навіть не завжди усвідомленим, а не є лише наслідком економічних, соціальних і політичних обставин.
Рис. 4.1. Інтерференція циклів згідно з теорією довгих хвиль М. Кондратьєва
Циклічні коливання доволі складно ідентифікувати формальними методами, тому в аналізі часових рядів тренд і циклічну компоненту часто об’єднують в одну тренд-циклічну компоненту. Відхилення від детермінованої складової
e t = y t – D t (їх називають залишками) представляють нерегулярну, випадкову компоненту часового ряду. e t = y t – D t (їх називають залишками) представляють нерегулярну, випадкову компоненту часового ряду.
За характером поєднання перелічених компонент вирізняють щонайменше чотири типи часових рядів:
• до першого типу належать ряди з трендом без періодичних коливань;
• часові ряди другого типу, окрім тренда, мають сезонні коливання, амплітуда яких із часом змінюється;
• до третього типу належать часові ряди без тренда й періодичних коливань;
• часові ряди четвертого типу найскладніші, вони містять тренд, циклічні та сезонні коливання.
Випадкові флуктуації накладаються на тренд і періодичні коливання в часових рядах будь-якого типу.
Отже, найскладніший за комбінацією компонент часовий ряд можна подати як суму тренд-циклічної, сезонної та випадкової компонент (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Компоненти часового ряду
Така умовна конструкція дозволяє залежно від мети дослідження вивчати тренд-циклічну, регулярну складову часового ряду, фільтруючи сезонні коливання, або вивчати сезонні коливання, елімінуючи тренд-циклічну компоненту. Виявляючи та прогнозуючи кожну компоненту ряду окремо, завдяки певній композиції отриманих результатів, можна спрогнозувати майбутні значення часового ряду. Залежно від способів взаємодії окремих компонент вирізняють адитивні, мультиплікативні та змішані моделі.
В адитивній моделі вплив тренд-циклічної компоненти, сезонних коливань та випадкових величин підсумовується:
У мультиплікативній моделі зв’язок окремих компонент часового ряду виражається добутком:
У змішаній, адитивно-мультиплікативній, моделі одні складові ряду підсумовуються, інші помножуються:
Отже, тренд-цикли як і сезонна компонента за своєю природою можуть бути адитивними чи мультиплікативними. Для адитивного тренд-циклу характерні стабільні абсолютні прирости, наприклад, обсяги продажу певного товару зростають щороку на 10 млн грн; для мультиплікативного — стабільні темпи приросту, наприклад, обсяги продажу товару щороку зростають на 10 %. Для адитивної сезонності характерне стабільне збільшення амплітуди коливань на певну величину, для мультиплікативної — збільшення амплітуди на певний процент. В адитивному випадку ряд матиме постійні сезонні коливання незалежно від зміни рівнів ряду, у мультиплікативному — сезонні коливання змінюються залежно від рівнів ряду.
Суть декомпозиції часового ряду на складові розглянемо на прикладі помісячного виїзного потоку туристів з регіону за шість років (табл. 4.1). На рис. 4.3 чітко простежується зростання лінійного тренда і сезонні коливання (щороку більшість туристичних поїздок припадає на літні місяці і другий помітно менший пік наприкінці року).
Таблиця 4.1
ВИЇЗНИЙ ПОТІК ТУРИСТІВ З РЕГІОНУ ЗА 2009
—2014 рр., тис. осіб
Рік
Місяць
200920102011201220132014
Січень556754575556575963277227
Лютий521949635266584859466957
Березень588656566663726367389059
Квітень663265766719697061028935
Травень709268357201725383588735
Червень750281888633705992399955
Липень761677588148719691119431
Серпень759477188164851391549371
Вересень7110827888549208957310823
Жовтень626464256911723881238259
Листопад518353965820619370977730
Грудень528961876409728381078515 Plot of variable: TURIST3
Виїзний потік туристів -5051015202530354045505560657075 Case Numbers
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
11000
12000 T URIST
3
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
11000
12000
Рис. 4.3. Помісячна динаміка кількості виїзних туристів
Опишемо тенденцію ряду за допомогою ковзної середньої з інтервалом зглападкові, завдяки чому характер динаміки проявляється чіткіше, що видно на рис. 4.4. Траєкторія зміни ковзної середньої вказує на три етапи розвитку виїзного туризму: поступове збільшення потоку в посткризовий період, потім певна стабілізація і останнім часом новий етап зростання.
джування m = 12. Ковзна середня фільтрує сезонні коливання і врівноважує виджування m = 12. Ковзна середня фільтрує сезонні коливання і врівноважує ви
Нерегулярні коливання ряду формуються під впливом різних факторів короткострокової дії й розглядаються як стаціонарний випадковий процес, до якого можна застосувати відповідні методи аналізу. Якщо випадкова компонента не є стаціонарною, здійснюють певні перетворення (трансформації) ряду, щоб привести її до стаціонарного виду.
Рис. 4.4. Тренд-циклічна компонента часового ряду
Як видно на рис. 4.5, нерегулярна компонента часового ряду виїзного потоку туристів максимально наближається до стаціонарного процесу, ряд залишків сподівання кількості поворотних точок становить 46,6).
має 47 поворотних точок (для часового ряду довжиною n = 72 математичне має 47 поворотних точок (для часового ряду довжиною n = 72 математичне
Отже, згладжування та декомпозиція часових рядів слугують методологічною базою прогнозування динаміки соціально-економічних процесів. Послідовність етапів дослідження динамічних процесів така:
1) візуалізація процесу і стислий опис характерних особливостей ряду, визначення структурних компонент часового ряду;
2) виокремлення й аналіз детермінованої складової ряду;
3) вибір статистичної моделі, яка б адекватно описала тренд-циклічну компоненту ряду;
4) згладжування й фільтрація сезонних коливань ряду;
5) аналіз випадкової складової, перевірка адекватності моделі.Line Plot of Adjusted Spreadsheet23 1v*72c
1611162126313641465156616671 -1000 -800 -600 -400 -200
0
200
400
600
800 Adjusted
Рис. 4.5. Нерегулярні коливання часового ряду
У контексті системного підходу до аналізу і прогнозування взаємозв’язчасових рядів, коли один із них випереджає інший чи навпаки відстає від необхідно дослідити кореляції і кроскореляції цих рядів.
У системі Statistica комплексний аналіз динамічних процесів, ідентифікацію моделей і прогнозування можна здійснити за процедурами модулів Time SeForecasting та Nonlinear Estimation, які містяться в групі Advanced Linear Nonlinear Models (рис. 4.6). Широкий спектр процедур модуля Time SForecasting дозволяє реалізувати перелічені вище етапи аналізу і з високоючністю прогнозувати динамічні процеси майже будь-якої траєкторії розвитку
Рис. 4.6. Доступ до модуля Time Series / Forecasting
аних нього, ries / / eries / то.
Методи аналізу часових рядів подано у функціональній частині стартової панелі модуля (рис. 4.7):
• Arima & autocorrelation functions — модель авторегресії і проінтегрованої ковзної середньої (реалізована в методології Бокса і Дженкінса);
• Interrupted time series analysis — аналіз розірваного динамічного ряду (моделі інтервенції для Arima);
• Exponential smoothing & forecasting — експоненціальне згладжування та прогнозування;
• Spectral (Fourier) analisys — спектральний (Фур’є) аналіз;
• Seasonal decomposition (Census 1) — сезонна декомпозиція;
• ХІІ/Y2k (Census 2) — monthly; quarterly — місячне, квартальне коригування;
• Distributed lags analysis — аналіз розподілених лагів (регресійна модель для двох динамічних рядів).
У модулі Time Series / Forecasting, як і в будь-якому іншому модулі системи Statistica, аналіз часового ряду починається з відкриття файлу первинних даних. В інформаційній частині стартового вікна необхідно вибрати ознаку для аналізу (Variables), ім’я і довге ім’я цієї ознаки висвічується в стартовому вікні, біля імені з’являється символ L. Це вказує на те, що ознака «замкнена на ключ» та її неможливо вилучити (рис. 4.7).
Рис. 4.7. Стартове вікно модуля Time Series / Forecasting
Якщо в процесі аналізу часового ряду здійснюють трансформації вибраної для аналізу ознаки, у вікні один за одним будуть висвічуватися варіанти трансформації, максимальна їх кількість — 9. Якщо трансформований ряд не буде
задіяний у подальшому аналізі, його можна вилучити за командою Delete highlighted variable. Команда Save, навпаки, зберігає всі трансформації в окремому файлі.
Усі процедури аналізу часових рядів у модулі Time Series / Forecasting повністю інтегровані: результати розрахунків за будь-якою процедурою можна використати в подальшому аналізі. Програма автоматично відзначає всі етапи аналізу часового ряду і зберігає повну його історію.
