Періодичним називають часовий ряд, коливання рівнів якого навкоприклад, періодична хвиля сонячної активності за річними даними має частоту 0,0909, тож на повний цикл хвилі необхідно 11 років (1 : 0,0909). Тобто частота і період (тривалість циклу)
ло середнього значення повторюються з певною періодичністю, тобто Y t = Y t+р , де р — період циклу, тобто інтервал часу, необхідний для того, щоб цикл коливань (флуктуації ряду) почав повторюватися. Період циклу вимірюється триваtt+р де р — період циклу, тобто інтервал часу, необхідний для того, щоб цикл коливань (флуктуації ряду) почав повторюватися. Період циклу вимірюється тривалістю часу за цикл, а кількість циклів за одиницю часу — частотою f =1/p. Нало середнього значення повторюються з певною періодичністю, тобто Y t = Y t+р , де р — період циклу, тобто інтервал часу, необхідний для того, щоб цикл коливань (флуктуації ряду) почав повторюватися. Період циклу вимірюється тривалістю часу за цикл, а кількість циклів за одиницю часу — частотою f =1/p. На
— взаємно обернені величини.
Окрім періоду й частоти коливань, характеристиками періодичного часового ряду є фаза та амплітуда коливань. Фаза ? — це відстань між початком відліку середнього значення ряду до піку піднесення чи до дна спаду. Схематично періодичний часовий ряд подано на рис. 5.17. Якщо припустити, що рівні ряду — помісячні дані, то період циклу дорівнює 10 місяців.
часу з точкою t = 0 і найближчим піком піднесення, амплітуда A — відстань від часу з точкою t = 0 і найближчим піком піднесення, амплітуда A — відстань від
Періодичні часові ряди можуть коливатися навколо певного зростаючого чи спадного середнього рівня (ряд з трендом середнього). Так само амплітуда із часом може зростати чи зменшуватися (ряд з трендом дисперсії). Ряди з трендом середньої чи дисперсії необхідно звести до стаціонарного виду. Стаціонарний періодичний ряд можна записати у вигляді гармонійної моделі: 6 12
Рис. 5.17. Фрагмент періодичного часового ряду
Гармонійну модель частіше записують з використанням тригонометричних функцій — синусів і косинусів — без явного згадування про фазу: де ?
— кутова частота, яка вимірюється в радіанах за одиницю часу і дорівнює b k , d k — коефіцієнти k-ї гармоніки; k — визначає гармоніку ряду (найчастіше 1? k ? 4); t — часова ознака.
Послідовні значення часу t виражаються радіанною мірою і визначаються в інтервалі від 0 до n з приростом 2?/n, де n
— кількість членів часового ряду. Гармонійна функція розкладає часовий ряд на правильні періодичні хвилі, кожна з яких зображується синусоїдою чи косинусоїдою. Пошуки такої строгої періодичності в економічних рядах виявилися не досить успішними, оскільки будьякі зовнішні впливи вплітаються в подальший рух економічного процесу і стають його частиною, порушуючи правильність чергування максимумів і мінімумів. Водночас не можна заперечити можливість виокремлення гармонійних компонент у рядах, яким властивий сезонний цикл тривалістю 12 місяців. Послідовність значень часової ознаки t в сезонних рядах записують так:
| ?t, радіани |
0 |
?/6 |
?/3 |
?/2 |
2?/3 |
5?/6 |
? |
7?/6 |
4?/3 |
3?/2 |
5?/3 |
11?/6 |
| у t |
у 1 |
у 2 |
у 3 |
у 4 |
у 5 |
у 6 |
у 7 |
у 8 |
у 9 |
у 10 |
у 11 |
у 12 |
У модель гармонійного аналізу можна включити кілька гармонік з різною довжиною хвиль, скажімо: 12; 6; 4; 3; 2,4 і 2 місяці. Апроксимація динаміки рядом Фур’є полягає у виборі таких гармонік, які б сумарно відображали періодичні коливання фактичних рівнів часового ряду. Адекватність гармонійної функції реальному процесу залежить від того, наскільки сталими є частота й амплітуда коливань.
Параметри моделі визначаються методом найменших квадратів. Завдяки властивостям ортогональності функцій синуса і косинуса система нормальних рівнянь зводиться до тотожностей:
Отже, µ
— це не що інше, як середньомісячний рівень ряду; b k , d k — коефіцієнти k-ї гармоніки, які визначають амплітуду коливань
Очевидно, чим більша амплітуда коливань, тим вагоміший внесок k-ї гармоніки в загальну дисперсію процесу. Оцінкою такого внеску слугує дисперсійне відношення y () yy n t ? ?
2
Розглянемо методику побудови гармонійної моделі за даними помісячної динаміки виробництва молока в сільськогосподарському підприємстві (табл. 5.11). Для даного часового ряду логічним є період коливань 12 місяців, тож ви
Для розрахункукоефіцієнтів гармонійної моделі використаємо сумарні величини табл. 5.11. Значення коефіцієнтів моделі становили
Таблиця 5.11
ДО РОЗРАХУНКУ ГАРМОНІЙНОЇ МОДЕЛІ ВИРОБНИЦТВА МОЛОКА
| Місяць |
t |
cos ?t |
sin ?t |
Тонн, у t |
Лютий?/60,8660,57,06,0623,57,0
| Березень |
?/3 |
0,5 |
0,866 |
9,4 |
Травень2?/3– 050,86613,1–6,5511,34514,1
| Червень |
5?/6 |
– 0,866 |
0,5 |
16,2 |
Серпень7?/6– 0,866– 0,514,0–12,124–713,4
| Вересень |
4?/3 |
– 0,5 |
– 0,866 |
10,2 |
Листопад5?/30,5– 0,8665,62,8– 4,8506,3
| Грудень |
11?/6 |
0,866 |
– 0,5 |
5,9 |
Ряд Фур’є для першої гармоніки набуває вигляду:
Порівняння розрахованих за моделлю теоретичних Y t і фактичних у t рівнів ряду свідчить про високі апроксимуючі властивості гармонійної моделі першого порядку. Амплітуда і дисперсія першої гармоніки становлять:
Звідси дисперсійне відношення дорівнює: тобто перша гармоніка пояснює 93,8 % сезонних коливань часового ряду.
Аналогічно визначаються гармоніки вищих порядків; значення їх послідовно приєднуються до значень першої гармоніки (доданки розміщуються за зменше
ними періодами). Так, ряд Фур’є з двома гармоніками (k = 2) має вигляд ними періодами). Так, ряд Фур’є з двома гармоніками (k = 2) має вигляд Y t = a + b
1 cos t + d
1 sin t + b
2 cos
2 t + d
2 sin
2 t. Y t = a + b
1 cos ?t + d
1 sin ?t + b
2 cos ?
2 t + d
2 sin ?
2 t.
Для побудови гармонійної функції на стартовій панелі модуля Time Series / Forecasting ініціюємо кнопку Spectral (Fourier) analysis - Спектральний аналіз. У діалоговому вікні модуля Fourier (Spectral) Analysis (рис. 5.18) виберемо опцію Single series Fourier analysis — аналіз Фур’є одиничного ряду.
Рис. 5.18. Діалогове вікно спектрального аналізу Fourier (Spectral) Analysis
За командою Summary програма видає підсумкову таблицю з частотами, періодами, коефіцієнтами при косинусах і синусах, значеннями періодограм, оцінками спектральної площини й вагами, які використовуються під час розрахунку оцінок спектральної площини. Визначені за опцією Summary основні параметри гармонійної моделі виробництва молока для кількох гармонік наведено в табл. 5.12. Найбільші значення коефіцієнтів при косинусах і синусах розміщені проти частоти 0,083333, якій відповідає період 12 місяців. Як свідчать дані таблиці, істотним виявився косинус-коефіцієнт для частоти 0,166667 (тривалість періоду — 6 місяців). Дисперсійне відношення для другої гармоніки становить 0,044, отже, дві гармоніки разом пояснюють 98,2 % внутрішньорічної варіації виробництва молока.
Таблиця 5.12
РЕЗУЛЬТАТИ ГАРМОНІЙНОГО АНАЛІЗУ ВИРОБНИЦТВА МОЛОКА
Моделювання періодичних сезонних коливань за допомогою гармонік ряду Фур’є можна розглядати як один з інструментів обґрунтування управлінських заходів з регулювання нерівномірності соціально-економічних процесів.
РЕЗЮМЕ
Клас моделей адаптивного прогнозування представлений експоненціальним згладжуванням часових рядів, сезонною їх декомпозицією, моделями періодичних коливань. За допомогою цих моделей описуються динамічні процеси, яким притаманна складна внутрішня структура і наявність випадкової компоненти.
Експоненціальне згладжування — один із простих і прагматично ясних методів опису динамічних соціально-економічних процесів. Надаючи більшу вагу новій інформації, експоненціальна середня швидше реагує на зміну тренда, легко адаптується до нових умов, а тому розглядається як дієвий інструмент короткострокового прогнозування. Завдяки своїм прогностичним властивостям експоненціальне згладжування часових рядів застосовують у технічному аналізі ринків (валютного, фондового, товарного).
Прогнозування сезонних процесів ґрунтується на декомпозиції часового ряду. Суть сезонної декомпозиції полягає в тому, щоб виявити та виокремити вплив сезонних факторів від інших, розкласти часовий ряд на сезонну, трендциклічну і нерегулярну компоненти. Визначивши всі три складові ряду (тренд, сезонні коливання і випадкові коливання), можна використати їх для прогнозування подальшого розвитку досліджуваного процесу. Припускаючи, що в майбутньому збережеться тенденція і такий самий характер коливань, прогноз на будь-який місяць (квартал), визначений методом екстраполяції тренд-циклічної компоненти, коригується індексом сезонності.
Загальний алгоритм сезонної декомпозиції складається з п’яти послідовних етапів:
— визначається тренд у формі функції часу або ковзної середньої;
— оцінюється сезонний фактор у межах сезонного циклу, довжина якого становить 12 місяців, або 4 квартали;
— здійснюється фільтрація сезонної компоненти;
— визначається тренд-циклічна компонента;
— визначається нерегулярна, випадкова компонента.
Обчислювальні процедури на кожному етапі залежать від типу моделі: адитивна, мультиплікативна чи змішана.
Об’єднання різних моделей в єдину істотно розширює сферу їх практичного використання. Серед такого типу моделей чільне місце належить ARIMA. Вид моделі ARIMA, адекватність її реальному процесу і прогнозні властивості залежать від порядку авторегресії р і порядку ковзної середньої q. Тренд включається в модель за допомогою оператора кінцевих різниць часового ряду d.
Модель ARIMA порядку (р, d, q) досить гнучка й описує широкий спектр несезонних і сезонних процесів. Коли характер динаміки стрімко змінюється під впливом зовнішніх факторів, у моделі ARIMA можна врахувати такі зміни (інтервенції).
Динамічний процес, якому властиві періодичні коливання, можна подати сумою гармонік різного порядку у вигляді ряду Фур’є.
ПИТАННЯ І ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОПІДГОТОВКИ
1. Поясніть сутність і сферу використання експоненціального згладжування.
2. Як вибрати оптимальне значення параметра згладжування?
3. Динаміка цін на срібло на торгах минулого тижня характеризується даними:
Використовуючи метод експоненціального згладжування (а = 0,1), визначте
Використовуючи метод експоненціального згладжування (а = 0,1), визначте
прогнозний рівень ціни на срібло на понеділок наступного тижня.
4. Поясніть, чому в технічному аналізі біржових цін застосовують метод експоненціального згладжування.
5. Сформулюйте цілі аналізу сезонної компоненти часового ряду.
6. Поясніть відмінності між адитивним і мультиплікативним типами сезонної компоненти.
7. Назвіть етапи сезонної декомпозиції в змішаній (адитивно-мультиплікативній) моделі.
8. Тенденція поквартальної реалізації безалкогольних напоїв (млн дкл.) за Визначте прогнозні рівні реалізації безалкогольних напоїв на кожний квартал наступного року, скоригувавши їх на сезонність: для 1-го кварталу — 68 %; для 2-го — 135; для 3-го — 127; для 4-го — 70 %.
останні два роки описується лінійним трендом: Y = 86,0 + 0,13t, де t = 1, 2, …, 8. останні два роки описується лінійним трендом: Y = 86,0 + 0,13t, де t = 1, 2, …, 8.
9. Що таке тренд-циклічна компонента?
10. Які процеси описує гармонійна модель?
11. Сезонність реалізації антигрипозної вакцини описується моделлю гармо
нійного аналізу (перша гармоніка) Y t = 166,3 + 3,1cost + 0,60 sint. Оцініть адекватність моделі реальному процесу, якщо загальна варіація помісячних даних ?
2 = 5,86. характеризується дисперсією ?
2 = 5,86. нійного аналізу (перша гармоніка) Y t = 166,3 + 3,1cost + 0,60 sint. Оцініть адекватність моделі реальному процесу, якщо загальна варіація помісячних даних характеризується дисперсією ?
2 = 5,86.
12. Сезонні коливання яйценосності курей описуються моделлю гармонійного аналізу; параметри моделей становлять:
Рікаbd
| 2010 |
19 |
6,2 |
0,82 |
| 2015 |
21 |
5,8 |
1,52 |
Для кожного року визначте амплітуду сезонних коливань, зробіть висновок, як змінилася сезонність.
13. Поясніть базову структуру моделі ARIMA.
14. Назвіть основні інструменти ідентифікації моделі ARIMA. Вкажіть вид моделей: а) ARIMA (0, 1, 1); б) ARIMA (1, 1, 0); в) ARIMA (0,1,1)(0,1,1)
4 .
15. Як врахувати в моделі ARIMA інтервенцією часового ряду?
ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ
5.1. Продаж плодів, ягід, горіхів (включаючи кавуни та дині) через мережу торговельних підприємств характеризується даними, тис. т.
Рік
1234
| 1 |
8,3 |
6,6 |
9,8 |
7,8 |
| 2 |
9,2 |
7,5 |
10,4 |
8,4 |
| 3 |
9,7 |
8,6 |
10,8 |
9,0 |
| 4 |
10,0 |
9,1 |
11,3 |
10,2 |
| 5 |
10,8 |
10,2 |
11,7 |
10,6 |
Визначте прогнозні рівні продажу плодів, ягід, горіхів на кожний квартал наступного року, скоригувавши їх на сезонність: для 1-го кварталу — 101 %; для 2-го — 88; для 3-го — 114; для 4-го
— 97 %.
5.2. Сезонні коливання обсягів відпущеної теплоенергії в регіоні характеризується даними:
| Місяць |
тис. Гкал |
Місяць |
тис. Гкал |
Місяць |
тис. Гкал |
| 16 |
95 |
|
14 |
91 |
1 |
| 26 |
26 |
|
81 |
0 |
29 |
| 36 |
07 |
|
81 |
1 |
58 |
| 43 |
18 |
|
91 |
2 |
72 |
Опишіть динаміку обсягів відпущеної теплоенергії моделлю гармонійного аналізу. Оцініть адекватність моделі.
5.3. Динаміка пасажирообороту залізниці характеризується даними, млрд пасажиро-км:
Місяць1-й рік2-й рік3-й рік
| Січень |
68 |
68 |
70 |
| Лютий |
67 |
70 |
74 |
| Березень |
91 |
94 |
93 |
| Квітень |
102 |
107 |
102 |
| Травень |
120 |
131 |
120 |
| Червень |
152 |
162 |
148 |
| Липень |
155 |
161 |
149 |
| Серпень |
131 |
140 |
126 |
| Вересень |
101 |
104 |
93 |
| Жовтень |
76 |
76 |
79 |
| Листопад |
53 |
57 |
57 |
| Грудень |
54 |
59 |
61 |
Здійсніть сезонну декомпозицію наведеного часового ряду:
1) опишіть тенденцію часового ряду, вибір функціонального виду трендової моделі обґрунтуйте;
2) оцініть сезонний фактор у межах сезонного циклу;
3) здійсніть фільтрацію сезонної компоненти ряду;
4) визначте тренд-циклічну компоненту ряду;
5) проаналізуйте випадкову компоненту.
За результатами сезонної декомпозиції часового ряду визначте прогнозні рівні пасажирообороту на кожний місяць наступного року.
5.4. За даними файлу Stoсks (папка Examples системи Statistica), який містить динаміку біржових цін на акції компанії IBM:
1) проведіть графічний аналіз часового ряду, визначте наявність тренда і сезонної компоненти;
2) визначте прогноз біржових цін методом експоненціального згладжування
на період попередження v = 6; на період попередження v = 6;
3) здійсніть аналіз залишків, зробіть висновок про адекватність моделі;
4) застосуйте до часового ряду модель ARIMA, обґрунтуйте структуру моде
лі, визначте прогноз на період попередження v = 6; лі, визначте прогноз на період попередження v = 6;
5) Порівняйте точність прогнозів біржових цін на акції, визначених методом експоненціального згладжування і на основі моделі ARIMA.
Зробіть висновки.
5.5. За даними файлу Series G (папка Examples системи Statistica), який містить помісячні дані перевезення пасажирів міжнародними авіалініями:
1) проведіть графічний аналіз часового ряду, визначте наявність тренда і сезонної компоненти;
2) проаналізуйте ряд методом експоненціального згладжування, визначте
прогноз на період попередження v = 6; прогноз на період попередження v = 6;
3) застосуйте до часового ряду модель ARIMA, обґрунтуйте структуру моде
лі, визначте прогноз на період попередження v = 6; лі, визначте прогноз на період попередження v = 6;
4) порівняйте точність прогнозів перевезення пасажирів авіалініями, визначених методом експоненціального згладжування і на основі моделі ARIMA.
Зробіть висновки.
РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Бокс Дж. Анализ временных рядов. Прогноз и управление: вып. 1 / Дж. Бокс, Г. Дженкинс ; пер. с англ. — М. : Мир, 1974. — С. 63—132.
2. Боровиков В. П. Statistica® — Статистический анализ и обработка данных в среде Windows® / В. П. Боровиков, И. П. Боровиков. — М. : Информ.-издат. дом «Филинъ», 1998. — С. 431—490.
3. Боровиков В. П. Прогнозирование в системе Statistica в среде Windows / В. П. Боровиков, Г. И. Ивченко. — М. : Финансы и статистика, 2000. — С. 7
— 233.
4. Єріна А. М. Статистичне моделювання та прогнозування : навч. посібн. / А. М. Єріна. — К. : КНЕУ, 2001.
— С. 56—86.
5. Лук’яненко І. Г. Сучасні економетричні методи у фінансах : навч. посібн. / І. Г. Лук’яненко, Ю. О. Городніченко. — К. : Літера ЛТД, 2002.
— С. 10
—74.
6. Тюрин Ю. Н. Статистический анализ данных на компьютере / Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров; под ред. В. Э. Фигурнова. — М. : ИНФРА-М. 1998. — С. 346
—401.
7. Халафян А. А. Statistica 6. Статистический анализ данных: учебник / А. А. Халафян. — М. : ООО «Бином-Пресс», 2007. — С. 431—447.
8. StatSoft. Inc. (2001): Электронный учебник по статистике. — Режим доступа : http://www. StatSoft.ru.
