1 ? ? t(df). Критичні значення двостороннього t-критеється істотним, коли |t| >
1 ? ? t(df). Критичні значення двостороннього t-критерію
1 ? ? t (df), де df = n – 1, наведено в дод. 5. Наприклад, при ? = 0,05 і k = 20 критичне значення
1 ? ? t (20) = 2,09. Якщо співвідношення коефіцієнта регресії b і
Нульова гіпотеза H
0 : b i = 0 відхиляється, і ефект впливу і-го фактора визнається істотним, коли |t| >
2
1 ? ? t(df). Критичні значення двостороннього t-критерію
2
1 ? ? t (df), де df = n – 1, наведено в дод. 5. Наприклад, при ? = 0,05 і k = 20 критичне значення
1 ? ? t (20) = 2,09. Якщо співвідношення коефіцієнта регресії b і
2 і його стандартної похибки i b ? перевищує 2,09, вплив і-го фактора з імовірністю 0,95 визнається істотним; в іншому випадку істотність впливу не доведена.
Довірчі межі ефекту впливу визначаються за правилами вибіркового методу i bi tb?± ? ?
1 , де
1 ? ? t — значення двостороннього t-критерію.
2
2
Процедури регресійного аналізу об’єднані в модулі Multiply Regression — Множинна регресія. У стартовому вікні модуля Multiple Linear Regression (рис. 6.2) необхідно відкрити файл даних (Open Data) і провести селекцію ознак — Variables: визначити залежну (Dependent) і незалежні (Independent) ознаки. Окрім того, на вкладці Advanced можна задати такі установки:• Advanced options (stepwise or ridge regression) — розширені опції — ступінчаста (покрокова) або гребенева регресія;
• Review descriptive statistics, correlation matrix — огляд дескриптивних статистик, кореляційна матриця;
• Extended precision computation — підвищена точність розрахунків;
• Batch processing / reporting — пакетна обробка даних / друк.
Рис. 6.2. Діалогове вікно Multiple Linear Regression
Активація установки Advanced options відкриває діалогове вікно побудови моделі — Model definition, яке містить вкладки Quick, Advanced, Stepwise і Descriptives. Вкладка Advanced охоплює методи (рис. 6.3) :
— Standard — стандартний;
— Forward stepwise
— покроковий з включенням;
— Backward stepwise
— покроковий з виключенням.
Метод покрокового включення передбачає поступове введення в модель факторних ознак з одночасною перевіркою істотності впливу новоутвореної ознакової множини за допомогою часткових коефіцієнтів кореляції, t-критерію та значень p-level. Процес розширення моделі припиняється тоді, коли чергова включена в модель ознака не веде до збільшення сукупного R 2 , і склад сформованої до її включення ознакової множини залишається незмінним.
Метод виключення діє у зворотному порядку порівняно з методом включення. Процедура починається з розгорнутої ознакової множини, яка містить усі основні факторні ознаки, відібрані на етапі теоретичного аналізу взаємозв’язку. За результатами перевірки істотності впливу кожної з них неістотні фактори
поступово виключаються з моделі. Процес виключення триває доти, доки в моделі залишаться лише істотні ознаки. Проте слід зауважити, що в ознаковій множині можуть бути деякі ознаки поза конкурсом, їх залишають незалежно від результатів процедури виключення.
Рис. 6.3. Дефініція регресійної моделі, вкладка Advanced
Гребеневу (ridge) регресію застосовують тоді, коли факторні ознаки висококорельовані і стандартний МНК не забезпечує належної точності коефіцієнтів регресії. Гребеневі оцінки виявляються більш точними.
За допомогою опції Stepwise метод стандартного регресійного аналізу можна замінити методом покрокового включення факторних ознак до моделі (Forward stepwise) чи виключення їх з моделі (Backward stepwise). Ці методи застосовують переважно в складних системах з великою кількістю факторних ознак.
Як приклад розглянемо стандартну регресійну модель залежності виходу цукру з 1 т сировини в кг y від цукристості буряку х
1 , втрат сировини під час транспортування та зберігання х
2 та втрат цукру при переробці сировини х
3 . Первинні дані наведено в табл. 2.1 (файл даних Sugar1). Залежна величина — вихід цукру з 1 т сировини, незалежні — Var2-Var4.
За командою на виконання програми з’являється вікно результатів аналізу — Multiple Regression Results (рис. 6.4). У верхній, інформаційній, частині цього вікна міститься основна інформація про результати оцінювання адекватності моделі, там же наведено ?-коефіцієнти включених до моделі факторів:
• Dependent (назва залежної ознаки) — Var1;
• No. of cases (обсяг сукупності) — 15;
• Multiple R= 0,9192 (коефіцієнт множинної кореляції);
• Multiple R= 0,9192 (коефіцієнт множинної кореляції);
• R 2 = 0,84498 (коефіцієнт детермінації);
• Adjusted R
2 = 0,8027 (скоригований коефіцієнт детермінації);
• Standard error of estimate: = 0,3640 (стандартна похибка оцінювання адек
• Adjusted R
2 = 0,8027 (скоригований коефіцієнт детермінації);
• Standard error of estimate: = 0,3640 (стандартна похибка оцінювання адек
• Standard error of estimate: = 0,3640 (стандартна похибка оцінювання адек
• R 2 = 0,84498 (коефіцієнт детермінації);
• Adjusted R
2 = 0,8027 (скоригований коефіцієнт детермінації);
• Standard error of estimate: = 0,3640 (стандартна похибка оцінювання адек
ватності моделі);
• Intercеpt: 9,8122 (вільний член рівняння регресії b
0 );
• Std.error: 8,2871 (стандартна похибка параметра b
0 ); тування b
• t(11) = 1,1840, р = 0,2614 (значення t-критерію і рівень істотності для тес
• t(11) = 1,1840, р = 0,2614 (значення t-критерію і рівень істотності для тес
0 ); вільний член рівняння регресії виявився не істотним. число ступенів свободи і рівень істотності для оцінювання адекватності моделі в цілому).
• F = 19,9863, df = 3, 11, р = 0,000093 (значення дисперсійного F-критерію,
• F = 19,9863, df = 3, 11, р = 0,000093 (значення дисперсійного F-критерію,
Рис. 6.4. Діалогове вікно Multiple Regression Results (вкладка Advanced)
Наведені результати регресійного аналізу свідчать про достатньо щільний зв’язок між результатом і факторами: 84,5 % варіації виходу цукру з 1 т сирогресійна модель адекватно описує взаємозв’язок між показниками ефективності виробництва цукру.
вини пояснюють включені до моделі фактори (R 2 = 0,84498). Отже, лінійна ревини пояснюють включені до моделі фактори (R 2 = 0,84498). Отже, лінійна ре
У нижній, функціональній, частині вікна на вкладках розміщені різні процедури, за допомогою яких можна провести всебічний аналіз результатів регресійного аналізу. Так, вкладка Advanced містить:
• Summary: Regression results
— підсумкова таблиця результатів аналізу;
• ANOVA — аналіз варіації;
• Partial cоrrelаtions — часткові кореляції та ін.
За опцією Regression Summary отримаємо таблицю, в якій подаються для всіх включених до моделі факторів ? i -коефіцієнти, коефіцієнти регресії b і зі стандартними похибками, значення t і -критерію і фактичні рівні істотності p-level. У табл. 6.8 наведено характеристики регресійної моделі виходу цукру з 1 т сировини. Згідно з даними таблиці рівняння регресії має вигляд
Зі збільшенням цукристості буряку на 1 % за умови незмінності інших факторів вихід цукру з 1 т сировини зростає в середньому на 0,953 %; щодо порушень технології зберігання й переробки сировини, то вони мають негативний вплив, особливо порушення технології зберігання. Значення t-критерію і p-level свідчать про істотність ефектів впливу всіх факторів.
Таблиця 6.8
ПІДСУМКОВА ТАБЛИЦЯ РЕГРЕСІЙНОГО АНАЛІЗУ
| Regression Summary for Dependent Variable: VAR1 (Sugаr1) |
|
| R= ,919228 R?= ,844981 Adjusted R?= ,802703 |
|
|
| F(3,11)=19,986 p<,00009 Std.Error of estimate: ,36406 |
|
|
|
|
St. Err. |
|
St. Err. |
|
|
|
BETA |
of BETA |
B |
of B |
t(11) |
p-level |
| Intercpt |
|
|
9,812 |
8,287 |
1,184 |
0,261 |
| Var1 |
0,332 |
0,146 |
0,953 |
0,420 |
2,267 |
0,044 |
| Var2 |
–0,507 |
0,157 |
–10,084 |
3,128 |
–3,223 |
0,008 |
| Var3 |
–0,377 |
0,130 |
–1,729 |
0,598 |
–2,888 |
0,014 |
ANOVA (Analysis of Variance) виконує декомпозицію варіації показникафункції, в таблиці наводяться девіати (Sums of Squares): факторна Regress., залишкова Residual та загальна Total, число ступенів свободи df, оцінки дисперсій Mean Squares, значення F-критерію та p-level (табл. 6.9).
Таблиця 6.9
ДЕКОМПОЗИЦІЯ ВАРІАЦІЇ
У таблиці Partial cоrrelаtion наводяться часткові (Partial Cor.) і напівчасткові (Semipart Cor.) коефіцієнти кореляції для кожної змінної, а також пропонується тест толерантності, за яким оцінюється ступінь зв’язку х і з іншими включеними до моделі факторами.
Частковий коефіцієнт кореляції показує ступінь впливу і-го фактора на результат за умови, що значення інших факторів зафіксовані на певному рівні. Як зазначалося вище, на основі часткових коефіцієнтів кореляції за аналогією з ? i -коефіцієнтами можна ранжирувати фактори за ступенем впливу на результат. У моделі ефективності виробництва цукру (табл. 6.10) найвагоміший вплив має фактор Var3, потім Var4 і Var2. Окрім того, часткові коефіцієнти кореляції можна використати в процесі формування ознакової множини моделі, перевіряючи доцільність включення того чи іншого фактора до моделі. Semipart Cor. (напівчасткова кореляція) — це кореляція між і-м фактором і результатом за умови, що контролюється вплив інших факторів на і-й фактор, але не контролюється вплив і-го фактора на результат. Коли напівчасткова кореляція мала, а часткова відносно велика, то відповідний і-й фактор може мати свою самостійну, не пов’язану з іншими факторами частину в поясненій варіації результату. З табл. 6.10 видно, що всі включені до моделі фактори мають таку частину.
Таблиця 6.10
ЧАСТКОВА КОРЕЛЯЦІЯ І ТОЛЕРАНТНІСТЬ ФАКТОРІВ
| Variables currently in the Equation; DV: Var1 (Sugar1) |
|
|
|
|
|
Partial |
Semipart |
|
|
|
|
|
Beta in |
Cor. |
Cor. |
Tolernce |
R-square |
t(11) |
p-level |
| Var2 |
0,332 |
0,564 |
0,269 |
0,656 |
0,344 |
2,267 |
0,045 |
| Var3 |
–0,507 |
–0,697 |
–0,383 |
0,570 |
0,430 |
–3,223 |
0,008 |
| Var4 |
–0,377 |
–0,657 |
–0,343 |
0,826 |
0,174 |
–2,889 |
0,015 |
R-square — це квадрат коефіцієнта множинної кореляції між фактором х і і рештою включених до моделі факторів, різницю (1 — R-square) називають Tolerаnce (толерантність). Якщо х і є лінійною комбінацією інших факторів, то R-square наближається до 1, а Tolerаnce
— до 0. Фактор з малою толерантністю не несе додаткової інформації, і включення його до моделі не виправдане. У моделі ефективності виробництва цукру толерантність факторів достатньо висока. Про істотність впливу факторів на вихід цукру з 1 т сировини свідчать значення t-критерію і p-level — імовірності відхилення гіпотези щодо істотності часткових коефіцієнтів кореляції не перевищують 0,05.
Укладка Residuals/assumptions/prediction (залишки, оцінки, передбачення) містить процедури оцінювання адекватності моделі та прогнозування значень результату (див. підрозд. 6.1). За процедурою Predіct dependent variable (прогноз залежної ознаки) можна здійснювати інтерактивний аналіз на зразок «що, коли» і для заданих з клавіатури значень предикторів (факторів х) інтерактивно визначати очікувані значення показника Y.
Рис. 6.5. Діалогове вікно Multiple Regression Results, вкладка Residuals/assumptions/prediction
Розраховане для вказаних предикторів (очікуване) значення показника-функції для j-го елемента сукупності Y j часто називають потенційно можливим, а відхилення фактичного значення від очікуваного, тобто залишок (y j – Y j ), розглядають як невикористаний резерв його підвищення чи зниження. Таке трактування залишкових величин доволі дискусійне. Ознакова множина регресійної моделі містить як об’єктивні, так і суб’єктивні фактори. Об’єктивні фактори є зовнішніми щодо окремого j-го елемента сукупності й не піддаються регулюванню на його рівні, суб’єктивні фактори — внутрішні і піддаються регулюванню. Отже, потенційно можливим рівнем показника-функції можна вважати такий рівень, розрахунок якого ґрунтується на фактичних рівнях об’єктивних факторів і теоретично можливих, зафіксованих на певному рівні (середньому чи стандартному) значеннях суб’єктивних факторів, позначимо його Y j * . У такому разі відношення фактичного рівня до потенційно можливого характеризує ступінь використання об’єктивних можливостей K: j
Ефект регулювання і-го суб’єктивного фактора на j-му об’єкті визначається за формулою
?x і = b i (x ij – x i0 ),
?x і = b i (x ij – x i0 ),
де b i — коефіцієнт регресії і-го фактора; x i0 — база порівняння (середня величина, норматив, стандарт тощо).
Сумарний ефект регулювання кількох суб’єктивних факторів k ? m розглядають як невикористані резерви підвищення (зниження) показника-функції: k
Щодо регресійної моделі ефективності цукрового виробництва можна припустити, що цукристість буряку сягне 16,0 %, а втрати цукристості під час транспортування і переробки будуть мінімальними: 0,9 i 2,0 % відповідно. Значення факторних ознак задаються у вікні Specify values for indep.vars. процедури Predіct dependent variable. В табл. 6.11 наведено розрахунок теоретично можливого значення виходу цукру з 1 т сировини: значення ознак (value) множаться на відповідні коефіцієнти регресії (b-weight), до суми добутків додається вільний член рівняння регресії (intercept). За вказаних умов очікуваний рівень виходу цукру з 1 т Тобто з імовірністю 0,95 можна стверджувати, що вихід цукру з 1 т сировини буде щонайменше 11,55 кг і не перевищить 13,49 %.
сировини становитиме Y = 12,52 кг, довірчі межі цього показника [11,55?13,49]. сировини становитиме Y = 12,52 кг, довірчі межі цього показника [11,55?13,49].
Таблиця 6.11
РОЗРАХУНОК ПРОГНОЗНИХ ЗНАЧЕНЬ НА ОСНОВІ РЕГРЕСІЙНОЇ МОДЕЛІ
Визначимо ступінь використання об’єктивних можливостей j-го цукрового заводу та резерв збільшення виходу цукру з 1 т сировини за рахунок суб’єктивних факторів, які піддаються регулюванню. Це зменшення втрат під час зберігання цукрового буряку x
3 і в процесі його переробки x
4 . Така оцінка, природно, орієнтована на кращі досягнення в галузі: мінімальні втрати становлять 0,9 і 2,0 % відповідно.
Як приклад візьмемо цукровий завод № 2, на якому вихід цукру з 1 т сировини становить 9,13 кг, втрати цукристості буряку в процесі зберігання — 1,06 %, втрати цукру в процесі переробки — 2,68 %. Ефект доведення цих втрат до мінімального рівня становить:
за рахунок фактора x
3 : (1,06 – 0,9)·(–10,084) = –1,613; за рахунок фактора x
4 : (2,68 – 2,0)·(–1,729) = –1,176.за рахунок фактора x
4 : (2,68 – 2,0)·(–1,729) = –1,176.за рахунок фактора x
3 : (1,06 – 0,9)·(–10,084) = –1,613; за рахунок фактора x
4 : (2,68 – 2,0)·(–1,729) = –1,176.
Сумарний ефект за рахунок обох факторів становить (–2,79), а потенційно можливий вихід цукру з 1 т сировини за незмінності цукристості буряку, яка є хунку ефектів регулювання факторів подано в табл. 6.12.
зовнішнім, об’єктивним фактором, буде 11,92 кг (9,13 + 2,79). Порядок розразовнішнім, об’єктивним фактором, буде 11,92 кг (9,13 + 2,79). Порядок розра
Таблиця 6.12
ДО РОЗРАХУНКУ ЕФЕКТІВ РЕГУЛЮВАННЯ ФАКТОРІВ
| Фактор |
Рівень втрат, % |
Відхилення |
Коефіцієнт регресії |
Ефект регулювання фактора |
| фактичний |
мінімальний |
| x 3 |
1,06 |
0,90 |
0,16 |
–10,084 |
–1,613 |
| x 4 |
2,68 |
2,0 |
0,68 |
–1,729 |
–1,176 |
Визначимо ступінь використання об’єктивних можливостей цукрового заводу щодо ефективності виробництва: тобто ефективність цукрового виробництва на заводі № 2 нижча за потенційно можливий рівень на 23,4 %. Інтерактивний аналіз взаємозв’язків не виключає поєднання об’єктивних і суб’єктивних факторів.
РЕЗЮМЕ
Методологічні проблеми побудови моделей взаємозв’язку можна об’єднати в дві групи: формування ознакової множини і модельна специфікація (вибір функціонального виду моделі, ідентифікація й оцінка параметрів). Інформаційна база моделі залежить від того, як подано об’єкт моделювання. Коли це статична сукупність елементів, інформація подається просторовими кість включених до моделі факторів. Коли об’єкт моделювання розглядається як первинний, неподільний елемент (країна, регіон, вид економічної діяльності), то інформаційною базою моделі є багатовимірний динамічний ряд, де n
рядами у вигляді матриці обсягом (m + 1) · n, де n — обсяг сукупності, m — кільрядами у вигляді матриці обсягом (m + 1) · n, де n — обсяг сукупності, m — кіль
— довжина динамічного ряду.
На етапі модельної специфікації враховується характер зв’язку та особливості наявної інформації. За своїм характером зв’язки поділяються на стохастичні, різновидом яких є кореляційні, та жорстко детерміновані (функціональні). Кореляційні зв’язки описуються переважно регресійними моделями, функціональні — балансовими або індексними моделями.
Балансові моделі мають матричну структуру й описують наявні пропорції або рівновагу між потребою та ресурсами. До класу матричних належить модель «витрати — випуск» В. Леонтьєва, яка формалізує взаємозв’язки між обсягами виробництва окремих видів продукції та сукупною потребою в цій продукції у вигляді системи лінійних рівнянь.Індексна система — це особлива форма статистичних моделей, яка описує функціональний зв’язок між показником y і елементами його розрахункової формули х і . Взаємозв’язок між показниками має переважно мультиплікативний характер, тобто один показник є добутком інших. У межах індексної системи визначається роль кожного окремого фактора x i , оцінюється ступінь і абсолютний розмір його впливу на динаміку у. Така оцінка ґрунтується на методі абстракції. Щоб виявити вплив одного фактора, необхідно абстрагуватися від впливу інших, включених до моделі факторів, зафіксувати їх на постійному рівні.
Регресійна модель описує об’єктивно існуючі між явищами кореляційні зв’язки. За характером кореляційні зв’язки надзвичайно складні й різноманітні. В одних випадках результат у зі зміною фактора х і зростає чи зменшується рівномірно, в інших — нерівномірно. Іноді зростання може змінитися зменшенням і навпаки. Простежити всі ці взаємозв’язки і встановити точний функціональний вид практично неможливо. А тому при виборі типу функції йдеться лише про апроксимацію відносно простими функціями незрівнянно складніших за своєю природою взаємозв’язків. На практиці перевагу віддають моделям, які лінійні або зводяться до лінійного виду перетворенням змінних, наприклад, логарифмуванням.
У регресійній моделі основне навантаження покладається на коефіцієнт регресії b і , він розглядається як своєрідна міра «очищеного» впливу х і на у і називається ефектом впливу. Процедура оцінювання параметрів регресійної моделі ґрунтується на методі найменших квадратів (МНК).
Значення коефіцієнтів регресії певною мірою залежать від складу включених до моделі факторів. З розширенням ознакової множини моделі відбувається перерозподіл впливу попередньо включених факторів. Що вагоміший вплив нововведеного фактора, то помітніші зміни.
Оскільки факторні ознаки мають, як правило, різні одиниці вимірювання, для порівняння ефектів їх впливу в рамках моделі використовують стандарти
зовані коефіцієнти регресії x ii i b ? ? =? (бета-коефіцієнти) або коефіцієнти еластичності y x b i ii =?. зовані коефіцієнти регресії y x ii i b ? ? =? (бета-коефіцієнти) або коефіцієнти еластичності y x b i ii =?.
Множинну регресію використовують для прогнозування, діагностики стану об’єкта моделювання і прийняття управлінських рішень.
Діагностика стану об’єкта ґрунтується на порівнянні фактичного рівня результативного показника у з потенційно-можливим, тобто таким, що формується за рахунок факторів, які піддаються регулюванню (суб’єктивних факторів). Співвідношення фактичного і теоретично-можливого рівнів показника у характеризує ступінь використання потенційних можливостей об’єкта моделювання, різницю розглядають як невикористаний резерв підвищення (зниження) показника-функції.
Процедури регресійного аналізу об’єднані в модулі Multiply Regression — Множинна регресія.
ПИТАННЯ І ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОПІДГОТОВКИ
1. Поясніть сутність балансової моделі. Які макроекономічні завдання можна вирішити за допомогою таблиць «витрати — випуск»?
2. На яких припущеннях ґрунтується моделювання взаємозв’язків у таблицях «витрати — випуск»?
3. Чим різняться коефіцієнти прямих і повних витрат?
4. Які аналітичні функції виконує основне рівняння моделі «витрати-випуск»?
5. Припустимо, що економіка умовної країни складається з двох видів економічної діяльності. Матриця коефіцієнтів прямих витрат на одиницю продук
ції становить: ? ? ? ? ? ? =?
3,02,0
4,03,0 , валовий випуск продукції першого ВЕД —
526
1 =X, другого — 474
2 =X. За наведеними даними обчисліть валовий внутрішній продукт по економіці в цілому.
6. Припустимо, що економіка країни складається з двох секторів. Матриця
526
1 =X, другого — 474
2 =X. За наведеними даними обчисліть валовий внутрішній продукт по економіці в цілому.
6. Припустимо, що економіка країни складається з двох секторів. Матриця коефіцієнтів прямих витрат на одиницю продукції становить А = ? ? ? ? ? ?
6,07,0
2,03,0 , кінцеве використання продукції в першому секторі економіки — 2600
1 =Y, у другому — 7400
2 =Y. За наведеними даними обчисліть:
1) валовий випуск продукції по економіці в цілому; кінцеве використання продукції в першому секторі економіки — 2600
1 =Y, у другому — 7400
2 =Y. За наведеними даними обчисліть:
1) валовий випуск продукції по економіці в цілому; другому — 7400
2 =Y. За наведеними даними обчисліть:
1) валовий випуск продукції по економіці в цілому; ції становить: ? ? ? ? ? ? =?
3,02,0
4,03,0 , валовий випуск продукції першого ВЕД —
526
1 =X, другого — 474
2 =X. За наведеними даними обчисліть валовий внутрішній продукт по економіці в цілому.
6. Припустимо, що економіка країни складається з двох секторів. Матриця коефіцієнтів прямих витрат на одиницю продукції становить А = ? ? ? ? ? ?
6,07,0
2,03,0 , кінцеве використання продукції в першому секторі економіки — 2600
1 =Y, у другому — 7400
