Якщо DL-модель містить кілька лагів, оцінювання коефіцієнтів регресії МНК ускладнюється і може призвести до мультиколінеарності. У такому разі можна застосувати метод Альмона, суть якого полягає в поліноміальній апроксимації лагових коефіцієнтів моделі поліномами певного ступеня. Очевидно, адекватність такої моделі залежить від правильного визначення максимального лага і ступеня полінома, який описує його структуру.
Під час моделювання взаємозв’язків на динамічних рядах широко використовують відносні величини, передусім індекси. Це пояснюється більшою їх сталістю в часі порівняно з абсолютними величинами. Окрім того, з’являється можливість виключити мультиколінеарність та автокореляцію залишків. Описуються такі взаємозв’язки степеневою функцією: де ? i
— коефіцієнт еластичності, який показує, на скільки % у середньому зміниться у зі зміною х і на 1 % за умови незмінності інших факторів. Тобто коефіцієнт еластичності — це відносний ефект впливу і-го фактора на у.
При побудові нелінійних моделей у вигляді степеневих функцій значення всіх показників, окрім ознаки часу t, замінюються власними логарифмами. У системі Statistica така заміна здійснюється на етапі специфікації ознак (див. підр. 2.1).
Степенева функція лінійна в логарифмах, а тому параметри її визначаються МНК. Класичним прикладом такого типу нелінійної функції є виробнича функція Кобба
—Дугласа, яка описує співвідношення між факторами і результатом виробництва на будь-якому рівні економічної діяльності (фірма, галузь, регіон, економіка в цілому): де Q — результат виробництва; K — основний капітал; L — витрати праці (кількість занятих).
Параметри ? і ? — коефіцієнти еластичності: ? характеризує відносний де ? характеризує темп приросту функції за рахунок неекстенсивних факторів, зокрема неуречевлених факторів НТП (удосконалення технології, зростання кваліфікації робітників тощо).
приріст результату на одиницю приросту капіталу при L = const, а ? — відносний приріст результату на одниницю приросту витрат праці при К = const. Капітал і витрати праці розглядаються як фактори екстенсивного розвитку (залучення нових ресурсів). При трудомісткому виробництві ? > ?, при капіталомісткому, навпаки, ? > ? . У виробничій функції закладено умову, за якою (? + ?) =1, тобто результат зростає у такій же пропорції, як і фактори. Параметр А приводить масштаб (розмірність) факторів до масштабу результату. При використанні індексів А = 1, а тренд результату, зумовлений дією інших, неекстенсивних факторів, ураховується в моделі змінною часу е ?t . Модель набуває вигляду ний приріст результату на одниницю приросту витрат праці при К = const. Капітал і витрати праці розглядаються як фактори екстенсивного розвитку (залучення нових ресурсів). При трудомісткому виробництві ? > ?, при капіталомісткому, навпаки, ? > ? . У виробничій функції закладено умову, за якою (? + ?) =1, тобто результат зростає у такій же пропорції, як і фактори. Параметр А приводить масштаб (розмірність) факторів до масштабу результату. При використанні індексів А = 1, а тренд результату, зумовлений дією інших, неекстенсивних факторів, ураховується в моделі змінною часу е ?t . Модель набуває вигляду лучення нових ресурсів). При трудомісткому виробництві ? > ?, при капіталомісткому, навпаки, ? > ? . У виробничій функції закладено умову, за якою (? + ?) =1, тобто результат зростає у такій же пропорції, як і фактори. Параметр А приводить масштаб (розмірність) факторів до масштабу результату. При використанні індексів А = 1, а тренд результату, зумовлений дією інших, неекстенсивних факторів, ураховується в моделі змінною часу е ?t . Модель набуває вигляду місткому, навпаки, ? > ? . У виробничій функції закладено умову, за якою (? + ?) =1, тобто результат зростає у такій же пропорції, як і фактори. Параметр А приводить масштаб (розмірність) факторів до масштабу результату. При використанні індексів А = 1, а тренд результату, зумовлений дією інших, неекстенсивних факторів, ураховується в моделі змінною часу е ?t . Модель набуває вигляду (? + ?) =1, тобто результат зростає у такій же пропорції, як і фактори. Параметр А приводить масштаб (розмірність) факторів до масштабу результату. При використанні індексів А = 1, а тренд результату, зумовлений дією інших, неекстенсивних факторів, ураховується в моделі змінною часу е ?t . Модель набуває вигляду використанні індексів А = 1, а тренд результату, зумовлений дією інших, неекстенсивних факторів, ураховується в моделі змінною часу е ?t . Модель набуває вигляду приріст результату на одиницю приросту капіталу при L = const, а ? — відносний приріст результату на одниницю приросту витрат праці при К = const. Капітал і витрати праці розглядаються як фактори екстенсивного розвитку (залучення нових ресурсів). При трудомісткому виробництві ? > ?, при капіталомісткому, навпаки, ? > ? . У виробничій функції закладено умову, за якою (? + ?) =1, тобто результат зростає у такій же пропорції, як і фактори. Параметр А приводить масштаб (розмірність) факторів до масштабу результату. При використанні індексів А = 1, а тренд результату, зумовлений дією інших, неекстенсивних факторів, ураховується в моделі змінною часу е ?t . Модель набуває вигляду Q = A K ? L ? е ?t , Q = A K ? L ? е ?t ,
Цей варіант моделі називають виробничою функцією Тінбергена. Застосувавши до неї логарифмічне диференціювання, дістанемо модель, яка описує взаємозв’язок темпів приросту: де q, k, l
q = ? k + ?l + ?, q = ? k + ?l + ?,
— темпи приросту, відповідно, результату, капіталу і витрат праці.
На основі такої моделі можна визначити внесок екстенсивних та інтенсивних факторів у розвиток процесів відтворення:
У табл. 8.7 наведено параметри макроекономічних функцій трьох індустріально розвинутих країн за період з 1950-го по 1977 р.: Q — валовий національний продукт; K
— основний капітал; L — трудові ресурси.
Таблиця 8.7
ПАРАМЕТРИ ВИРОБНИЧИХ ФУНКЦІЙ
| Країна |
? |
? |
? |
| США |
0,447 |
0,553 |
0,0134 |
|
|
|
|
Великобританія0,5060,4940,0053
| Японія |
0,397 |
0,603 |
0,0466 |
Джерело: [4, с. 41]
За значеннями параметрів функції можна зробити висновки про особливості економічного поступу кожної з цих країн у повоєнні роки. Так, досягнення НТП найінтенсивніше впроваджувалися в економіці Японії: параметр ? вищий порівняно зі США в 3,5 рази, порівняно з Великобританією — у 9 разів. Водночас де W — продуктивність праці; F — капіталоозброєність праці.
японська економіка характеризується найнижчою капіталомісткістю (? = 0,397) і відносно високим рівнем ефективності використання трудових ресурсів (? = 0,603). Для американської економіки характерна збалансованість співвідношення еластичностей по капіталу і труду. Середньорічні темпи приросту в США в повоєнні роки становили, %: валового національного продукту — 3,38, основних фондів — 2,79, трудових ресурсів — 1,46. Звідси внесок факторів у формування динаміки ВНП : (? = 0,603). Для американської економіки характерна збалансованість співвідношення еластичностей по капіталу і труду. Середньорічні темпи приросту в США в повоєнні роки становили, %: валового національного продукту — 3,38, основних фондів — 2,79, трудових ресурсів — 1,46. Звідси внесок факторів у формування динаміки ВНП : екстенсивних d екс =625,0
38,3
46,1553,079,2447,0 = ??? ; інтенсивних d інт =375,0
38,3
34,1 =.
На практиці використовують різні модифікації виробничої функції. Наприклад, розділивши обидві її частини на L, дістанемо функцію продуктивності праці: W = AF ? е ?t , японська економіка характеризується найнижчою капіталомісткістю (? = 0,397) і відносно високим рівнем ефективності використання трудових ресурсів (? = 0,603). Для американської економіки характерна збалансованість співвідношення еластичностей по капіталу і труду. Середньорічні темпи приросту в США в повоєнні роки становили, %: валового національного продукту — 3,38, основних фондів — 2,79, трудових ресурсів — 1,46. Звідси внесок факторів у формування динаміки ВНП : екстенсивних d екс =625,0
38,3
46,1553,079,2447,0 = ??? ; інтенсивних d інт =375,0
38,3
34,1 =.
На практиці використовують різні модифікації виробничої функції. Наприклад, розділивши обидві її частини на L, дістанемо функцію продуктивності праці: W = AF ? е ?t ,
У темпах приросту ця функція записується так:
w = ? f + ? = ? (k – l) + ?. w = ? f + ? = ? (k – l) + ?.
Внесок екстенсивних та інтенсивних факторів у динаміку продуктивності праці визначається аналогічно:
До темпів приросту застосовують класичну регресію. Як приклад розглянемо зв’язок між темпами приросту капіталоозброєності (Var1) і продуктивності праці (Var2) в одній з галузей промисловості (табл. 8.8).
Таблиця 8.8
ТЕМПИ ПРИРОСТУ ЯК ІНФОРМАЦІЙНА БАЗА НЕЛІНІЙНОЇ ДИНАМІЧНОЇ МОДЕЛІ
| Показник |
Ланцюгові темпи приросту, % |
| 2007 |
2008 |
2009 |
2010 |
2011 |
2012 |
2013 |
| Var1 |
1,4 |
2,5 |
1,7 |
0,9 |
1,0 |
2,6 |
2,8 |
| Var2 |
2,6 |
2,7 |
2,8 |
1,5 |
1,8 |
2,4 |
3,2 |
Результати розрахунків за стандартною процедурою модуля Multiple Regres-
sion наведено в табл. 8.9. Параметри моделі становлять: ? = 0,581; ? = 1,358, тобто приріст капіталоозброєності праці на 1 % спричиняє зростання продуктивності праці на 0,581 %. За рахунок інших факторів щорічний приріст продуктивності праці становить у середньому 1,358 %. Середньорічні темпи приросту капіталоозброєності праці — 1,8 %, продуктивності праці
— 2,4 %. Звідси внесок екстенсивних факторів у динаміку продуктивності праці становить (1,8 · 0,581) : 2,4 = 0,436; інтенсивних — 1,358 : 2,4 = 0,566. новить (1,8 · 0,581) : 2,4 = 0,436; інтенсивних — 1,358 : 2,4 = 0,566. sion наведено в табл. 8.9. Параметри моделі становлять: ? = 0,581; ? = 1,358, тобто приріст капіталоозброєності праці на 1 % спричиняє зростання продуктивності праці на 0,581 %. За рахунок інших факторів щорічний приріст продуктивності праці становить у середньому 1,358 %. Середньорічні темпи приросту капіталоозброєності праці — 1,8 %, продуктивності праці
— 2,4 %. Звідси внесок екстенсивних факторів у динаміку продуктивності праці становить (1,8 · 0,581) : 2,4 = 0,436; інтенсивних — 1,358 : 2,4 = 0,566.
Таблиця 8.9
ПАРАМЕТРИ НЕЛІНІЙНОЇ ДИНАМІЧНОЇ МОДЕЛІ НА ТЕМПАХ ПРИРОСТУ
| Regression Summary for Dependent Variable: Var2 (---.sta) R= ,7762 R?= ,6024 Adjusted R?= ,5229 F(1,5)=7,577 p<,04019 Std.Error of estimate: ,408 |
|
BETA |
B |
St. Err. of B |
t(5) |
p-level |
| Intercpt |
|
1,358 |
,418 |
3,245 |
,0223 |
| Var1 |
,776 |
,581 |
,211 |
2,753 |
,0402 |
Степеневою функцією описується також взаємозв’язок між попитом С, середньодушовим доходом населення D і цінами на товар P. Тренд попиту, зумовлений звичками, модою тощо, включаються в модель змінною часу е ?t : де ? і ? — коефіцієнти еластичності попиту від доходу та цін.
С = A D ? P ? е ?t ,
С = A D ? P ? е ?t ,
Різновидом степеневої моделі є гравітаційна модель, яка описує економічну й соціальну взаємодію між просторовими об’єктами (містами, регіонами, країнами). Гравітаційна модель має безліч модифікацій, проте найчастіше її використовують для оцінювання торговельних потоків. У такому разі модель ґрунтується на припущенні, що величина (сила) взаємодії між об’єктами пропорційна добутку показників їхнього масштабу (наприклад, обсягу ВВП чи чисельності населення) і обернено пропорційна відстані між ними. ВВП об’єкта-експортера характеризує експортні можливості, а об’єкта-імпортера — ємність його ринку. За необхідності в модель включають також dummy-змінні Р, які враховують зміну умов торгівлі (торговельних преференцій, митних бар’єрів тощо). Класичний вигляд гравітаційної моделі зовнішньоторговельного потоку: де Х ij — торговельний потік з країни і до країни j; Y i , Y j — номінальний ВВП країн — торговельних партнерів, характеризує економічний потенціал цих країн;
Р — dummy-змінна, характеризує умови торгівлі (торгівельні преференції, умови вільної торгівлі та ін.); D ij — географічна відстань між економічними центрами країн, її пов’язують з торговельними, насамперед, транспортними витратами; а
1 , а
2 , а
3 , а
4 ,
— коефіцієнти еластичності, характеризують відносні ефекти впливу на торговельний потік між країнами включених до моделі факторів – валового внутрішнього продукту обох країн, умов торгівлі між ними та відстані між їхніми економічними центрами.
У логарифмічній формі рівняння має вигляд
Економічний потенціал торговельних партнерів позитивно впливає на обсяг зовнішньої торгівлі, натомість відстань між економічними центрами країн має негативний вплив. Коефіцієнт при dummy-змінній показує, наскільки чільний режим зовнішньої торгівлі впливає на обсяги торгівлі за інших однакових умов.
Різні модифікації гравітаційної моделі використовують у дослідженнях потоків, інтенсивність яких залежить від значущості (масштабу) об’єктів і відстані між ними (процеси урбанізації, міграції населення та ін.). Більшість гравітаційних моделей базуються на панельних даних.
