Характерною рисою механізму формування варіації та динаміки соціально-економічних показників є запізнення впливу факторів, коли причина і наслідок розірвані в часі. Часто вплив одних факторів на інші відбувається не миттєво, а з певним запізненням. Наприклад, інвестиції в іригацію і введення в дію зрошувальних земель, витрати на НДДКР і продуктивність праці, доходи населення і попит на товари тривалого користування, збільшення грошової маси і рівень споживчих цін. Запізнення впливу фактора на результат називають лагом. Часові лаги зумовлені тривалістю виробничого циклу, інерційністю процесів, наявністю зворотного зв’язку тощо. У статистичній літературі причини наявності лагів об’єднують в три групи: технологічні, інституційні та психологічні.
Для оцінки ефекту впливу і-го фактора на результат у з певним запізненням p до моделі включають лагові змінні х і , p . Класичними прикладами моделей, у яких важливу роль відіграє часовий лаг, є функції споживання, моделі інвестиційних процесів, моделі, що описують зв’язок між грошовою масою і рівнем цін, між витратами на науково-дослідну роботу і продуктивністю праці, між валютним курсом і торговельним балансом, та ін.
Динамічні моделі з лаговими змінними, кожна з яких має певну кількість лагів, поділяють на два класи:
1) моделі з розподіленими лагами (DL-модель, англ. distributed lags), в яких ознакова множина містить не лише поточні, а й лагові значення факторів; у таких моделях вплив фактора х розподіляється на кілька часових періодів: де b i,p — коефіцієнт регресії, характеризує ефект впливу і-го фактора з певним qt ?
tk221-t100t ...exbxbxbxbaY kttt ++++++= ?? , tk221-t100t ...exbxbxbxbaY kttt ++++++= ?? , запізненням (лаг p = 0,1, …, k); зі зростанням лагу р значення коефіцієнтів b i,p зменшуються;
2) змішані авторегресійні моделі (ADL-модель, англ. autoregressive distribu-ted lags), в яких ознакова множина містить і лагові змінні факторних ознак, запізненням (лаг p = 0,1, …, k); зі зростанням лагу р значення коефіцієнтів b i,p зменшуються;
2) змішані авторегресійні моделі (ADL-модель, англ. autoregressive distribu-ted lags), в яких ознакова множина містить і лагові змінні факторних ознак, і змінні авторегресії результативної ознаки y : tttttt eycycxbxbxba++++++= ????2211221100t Y tttttt eycycxbxbxba++++++= ????2211221100t Y
Очевидно, що ADL(p, 0)
— це модель з розподіленими лагами, ADL(0, q) — модель авторегресії.
У моделі з розподіленими лагами коефіцієнт b
0 показує вплив фактора х на зміну рівнів часового ряду показника-функції у поточному періоді, його шення коефіцієнтів при лагових змінних b і і загального мультиплікатора ?b і характеризують пропорції довгострокового впливу х на у за певний період. Нехай модель з розподіленими лагами має вигляд:
називають короткостроковим мультиплікатором. Сума коефіцієнтів моделі (b
0 + + b
1 + b
2 + … + b k ) дістала назву довгострокового, загального мультиплікатора; будь-яка інша сума коефіцієнтів є проміжним мультиплікатором. Співвідно+ b
1 + b
2 + … + b k ) дістала назву довгострокового, загального мультиплікатора; будь-яка інша сума коефіцієнтів є проміжним мультиплікатором. Співвідноназивають короткостроковим мультиплікатором. Сума коефіцієнтів моделі (b
0 + + b
1 + b
2 + … + b k ) дістала назву довгострокового, загального мультиплікатора; будь-яка інша сума коефіцієнтів є проміжним мультиплікатором. СпіввідноY t = const + 0,42x t + 0,26x t-1 + 0,12x t–2 . Y t = const + 0,42x t + 0,26x t-1 + 0,12x t–2 .
Довгостроковий мультиплікатор становить 0,42 + 0,26 + 0,12 = 0,8. Поділивши коефіцієнти b і на 0,8, отримаємо частки впливу за кожний період: 0,525, 0,325 і 0,15. Тобто 52,5 % впливу х на у відчувається негайно, 85,0 %
— з одиничним лагом і 100 % — з лагом р = 2.
Теоретично модель з розподіленими лагами можна узагальнити на будь-яку кількість лагових змінних (нескінченна модель), проте практична реалізація такої моделі наражається на непереборні труднощі, зумовлені обмеженістю динамічних рядів і складністю їхньої внутрішньої структури. Основною проб-одиничним лагом і 100 % — з лагом р = 2.
Теоретично модель з розподіленими лагами можна узагальнити на будь-яку кількість лагових змінних (нескінченна модель), проте практична реалізація такої моделі наражається на непереборні труднощі, зумовлені обмеженістю динамічних рядів і складністю їхньої внутрішньої структури. Основною проб-
Довгостроковий мультиплікатор становить 0,42 + 0,26 + 0,12 = 0,8. Поділивши коефіцієнти b і на 0,8, отримаємо частки впливу за кожний період: 0,525, 0,325 і 0,15. Тобто 52,5 % впливу х на у відчувається негайно, 85,0 %
— з одиничним лагом і 100 % — з лагом р = 2.
Теоретично модель з розподіленими лагами можна узагальнити на будь-яку кількість лагових змінних (нескінченна модель), проте практична реалізація такої моделі наражається на непереборні труднощі, зумовлені обмеженістю динамічних рядів і складністю їхньої внутрішньої структури. Основною проб-
лемою оцінювання моделі з розподіленими лагами є мультиколінеарність, оскільки суміжні рівні більшості часових рядів висококорельовані.
Апріорі складно визначити, скільки лагових змінних необхідно включати до моделі. Як правило, до моделі включають такі лагові змінні, для яких лаги обґрунтовані теоретично й перевірені емпірично. Інструментом визначення лагів слугує кроскореляційна функція, яка є множиною коефіцієнтів кореляції між рядами х і та у, зсуненими відносно один одного на лаг p.
У табл. 8.5 наведено коефіцієнти кроскореляції попиту на авто у і двох факторів: середньодушового доходу х
1 і цін х
2 . Як бачимо, зі збільшенням лага кроскореляційна функція згасає.
Таблиця 8.5
КОЕФІЦІЄНТИ КРОСКОРЕЛЯЦІЇ ПОПИТУ НА АВТО З ДОХОДАМИ І ЦІНАМИ
| Лаг |
х 1 |
х 2 |
| 0 |
0,823 |
0,612 |
| 1 |
0,646 |
0,441 |
| 2 |
0,416 |
0,187 |
| 3 |
0,098 |
0,098 |
Для фактора х
1 істотними виявилися лаги p = 0; 1; 2; для фактора х
2 — лаги p = 0; 1. Модель набуває вигляду: p = 0; 1. Модель набуває вигляду:
Для фактора х
1 істотними виявилися лаги p = 0; 1; 2; для фактора х
2 — лаги p = 0; 1. Модель набуває вигляду: Y = a
0 + b
10 x
1 + b
11 x
1,t-1 + b
12 x
1,t-2 + b
20 x
2 + b
21 x
2,t-1 + ct, Y = a
0 + b
10 x
1 + b
11 x
1,t-1 + b
12 x
1,t-2 + b
20 x
2 + b
21 x
2,t-1 + ct,
де параметри b
1,р і b
2,р характеризують ефекти впливу факторів з відповідними лагами, параметр с — вплив неідентифікованих факторів (мода, смаки тощо). Коли коефіцієнт регресії b і,р істотний, значить і-й фактор впливає на у з певним запізненням (лагом р).
Модель з визначеною довжиною лагів зводиться до множинної регресії й параметри її оцінюють традиційним МНК. Для оцінювання моделей з нескінченною довжиною лагів застосовують спеціальні методи, серед яких методи Койка і Альмона.
У системі Statistica аналіз розподілених лагів реалізований комплексом процедур Distributed Lags Analysis у модулi Time Series / Forecasting. Стартове вікно процедури Distributed Lags наведено на рис. 8.3. У групі опцій Method вибирають метод оцінювання коефіцієнтів регресії. У стартовому вікні необхідно виділити залежну ознаку, вказати довжину лага (Lag length) і метод оцінювання коефіцієнтів регресії — необмежений поліномінальний лаг (Uncons-trained polynomial lags) або поліноміальний лаг Альмона (Almon polynomial lags). Команда на виконання — Summary: Distributed Lags Analysis.
У наведеному стартовому вікні залежна ознака — Housing (введення в експлуатацію житла), незалежна — Invest (інвестиції в житлове будівництво), метод — Unconstrained polynomial lags, довжина лага — 2. Результати розрахунку подано в табл. 8.6.
Рис. 8.3. Стартове вікно процедури аналізу розподілених лагів, вкладка Quick
Значення t-критерію і p-level підтверджують, що залежність введення житла в експлуатацію від інвестицій в житлове будівництво виявляється не одразу, а з певним запізненням. Статистично значущим на рівні 0,071 виявився коефіцієнт регресії для лагу 2.
Таблиця 8.6
КОЕФІЦІЄНТИ РЕГРЕСІЙНОЇ МОДЕЛІ З РОЗПОДІЛЕНИМИ ЛАГАМИ
