клавіші Enter система сама розмістила цифри в порядку передбаченому використанням MatLab. Четверта команда (R.^3) стосувалася піднесення масиву до куба. Зауважте крапку, що стоїть після літери R. Цією крапкою ми показуємо, що підносити до третього степеня потрібно поелементно.
1. Створюємо новий m-файл. File?New?M-File.
2. Обираємо ім’я для нашої функції (а заодно і для нового файлу). Нехай він буде називатися Volter.
3. Записуємо програмний код у полі нового m-файлу. Для даної системи ЗДР він буде такий: function volter
y0=[200; 300]; [T,Y]=ode15s(@Lot, [1 100], y0); plot(Y(:,1), Y(:,2)); title(«система Вольтерра-Лотки) function F = Lot(t, y) F=[0.6*y(1)–0.008*y(1)*y(2);–1*y(2)+0.5*y(1)*y(2)].
4. Зберігаємо m-файл (File?Save або Ctrl+S).
5. У вікні команд прописуємо назву нашого файлу, у цьому разі volter.(рис. 3)
6. Дістаємо графік функції в окремому вікні (рис. 4).
На рис. 3 показано вікно програми MathLab з реалізованою системою Вольтерра–Лотки. [T,Y]=ode15s(@Lot, [1 100], y0); plot(Y(:,1), Y(:,2)); title(«система Вольтерра-Лотки) function F = Lot(t, y) F=[0.6*y(1)–0.008*y(1)*y(2);–1*y(2)+0.5*y(1)*y(2)].
4. Зберігаємо m-файл (File?Save або Ctrl+S).
5. У вікні команд прописуємо назву нашого файлу, у цьому разі volter.(рис. 3)
6. Дістаємо графік функції в окремому вікні (рис. 4).
На рис. 3 показано вікно програми MathLab з реалізованою системою Вольтерра–Лотки. function F = Lot(t, y) F=[0.6*y(1)–0.008*y(1)*y(2);–1*y(2)+0.5*y(1)*y(2)].
4. Зберігаємо m-файл (File?Save або Ctrl+S).
5. У вікні команд прописуємо назву нашого файлу, у цьому разі volter.(рис. 3)
6. Дістаємо графік функції в окремому вікні (рис. 4).
На рис. 3 показано вікно програми MathLab з реалізованою системою Вольтерра–Лотки. F=[0.6*y(1)–0.008*y(1)*y(2);–1*y(2)+0.5*y(1)*y(2)].
4. Зберігаємо m-файл (File?Save або Ctrl+S).
5. У вікні команд прописуємо назву нашого файлу, у цьому разі volter.(рис. 3)
6. Дістаємо графік функції в окремому вікні (рис. 4).
На рис. 3 показано вікно програми MathLab з реалізованою системою Вольтерра–Лотки.
4. Зберігаємо m-файл (File?Save або Ctrl+S).
5. У вікні команд прописуємо назву нашого файлу, у цьому разі volter.(рис. 3)
6. Дістаємо графік функції в окремому вікні (рис. 4).
На рис. 3 показано вікно програми MathLab з реалізованою системою Вольтерра–Лотки. y0=[200; 300]; [T,Y]=ode15s(@Lot, [1 100], y0); plot(Y(:,1), Y(:,2)); title(«система Вольтерра-Лотки) function F = Lot(t, y) F=[0.6*y(1)–0.008*y(1)*y(2);–1*y(2)+0.5*y(1)*y(2)].
4. Зберігаємо m-файл (File?Save або Ctrl+S).
5. У вікні команд прописуємо назву нашого файлу, у цьому разі volter.(рис. 3)
6. Дістаємо графік функції в окремому вікні (рис. 4).
На рис. 3 показано вікно програми MathLab з реалізованою системою Вольтерра–Лотки.
Рис. 3. Реалізація системи Вольтерра–Лотки
де x — кількість жертв; y — кількість хижаків; , , , - коефіцієнти, які виражають взаємодію між видами.
Рис. 4. Графік реалізованої системи ЗДР
Вважаємо за потрібне зупинитися на деяких нюансах прописаного програмного коду:
1) y0=[200; 300] — початкові умови, які вибрані нами довільно (мають міститися в квадратних дужках);
2) [T,Y]=ode15s(@Lot, [1 100], y0) — у цьому разі назва функції Lot нами вибрана довільно, усе інше — відповідно до синтаксичного запису;
3) plot(Y(:,1), Y(:,2)) — синтаксична форма запису, необхідна для побудови графіка в координатах x/y;
4) title(‘система Вольтерра–Лотки’) — команда, що виводить назву графіка;
5) function F = Lot(t, y) F=[0.6*y(1)-0.008*y(1)*y(2);
6) -1*y(2)+0.5*y(1)*y(2)] — форма запису системи Вольтерра–Лотки за допомогою операторів та операнд мови MathLab.
Розглянемо ще один приклад розв’язання системи ЗДР. Цього разу будемо працювати із системою Лоренца, яка має 3 рівняння. Виведемо графічні результати так, щоб отримати відразу 3 графіки інтегральних кривих і фазову площину. Програмний код у цьому разі матиме такий вигляд: function lorenz y0=[10;50;10]; [T,Y]=ode45(@kneu,[0 10],y0); subplot(2,2,1); plot(T, Y(:,1)); title(‘перша змінна’) subplot(2,2,2); plot(T, Y(:,2)); title(‘друга змінна’) subplot(2,2,3); plot(T, Y(:,3)); title(‘третя змінна’) subplot(2,2,4); plot(Y(:,1), Y(:,3)); title(‘x , y’) hold on; plot(T, Y(:,2), (‘k.:’)) function F = kneu(t,y) F = [-10*y(1)+10*y(1); -y(2)+166*y(1)-y(1)*y(3); -8/3*y(3)+y(1)*y(2)];
Графічний результат подано на рис. 5.
Рис. 5. Графічні результати інтегрування системи Лоренца
Зважаючи на особливості нашої дисципліни і обмеженість обсягу матеріалу, що може бути наведений у цьому навчальному посібнику, нами було висвітлено далеко не всі можливості обчислювального пакета MathLab. Вельми рекомендуємо скористатися інформацією про MathLab з інших джерел, яких наразі не бракує. Також у MathLab є внутрішня служба допомоги, яка викликається командою help. Наприклад, для того щоб отримати повний перелік операторів, достатньо в командному рядку ввести команду help ops. У результаті ми отримаємо таке:
Рис. 6. Приклад застосування функції help
Поданий список є дещо неповним через очевидну обмеженість і неспроможність вікна передати повноту переліку, утім це не применшує його наочності.
На завершення хочемо пригадати, що нинішнє покоління студентів живе в унікальний час, коли до диспозиції пропонується вельми широкий спектр допоміжних засобів різної комплектації й рівня складності. Ще 10 років тому тодішні студенти про таке могли лише мріяти. Процес навчання стає дедалі простішим і доступнішим, у тому числі й завдяки таким засобам, як MathLab.
Навчальне видання
ВІТЛІНСЬКИЙ Вальдемар Володимирович
КОЛЯДА Юрій Васильович
КРАВЧЕНКО Тетяна Володимирівна
СЕМАШКО Катерина Анатоліївна
НЕЛІНІЙНІ МОДЕЛІ
ЕКОНОМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ
Навчальний посібник
Редактор А. Фіялка
Коректор І. Савлук
Верстка В. Ремська
Підп. до друку 08.05.2015. Формат 60?84/8.
Друк. арк. 13,79. Зам. 13-4766.
Державний вищий навчальний заклад «Київський національний економічний університет імені Вадима Гетьмана»
03680, м. Київ, проспект Перемоги, 54/1
Свідоцтво про внесення до Державного реєстру суб’єктів видавничої справи (серія ДК, № 235 від 07.11.2000)
E-mail: [email protected]
