Потенціал точки — це число, що показує, наскільки щільно в її околиці розташовані експериментальні дані. Чим вищий потенціал точки, тим ближче вона до центру кластера. Потенціал точки y i , i = 1, 2, …, v, визначається за формулою: …, v, j = 1, 2, …, C, де де µ i — ступінь приналежності елемента нечіткій множині Y. Для розв’язання даної задачі використовують потенційну функцію з гірського методу кластеризації.
Потенціал точки — це число, що показує, наскільки щільно в її околиці розташовані експериментальні дані. Чим вищий потенціал точки, тим ближче вона до центру кластера. Потенціал точки y i , i = 1, 2, …, v, визначається за формулою: y i , i = 1, 2, …, v, визначається за формулою: = j
1 ??? =? v yy i ji e
1 )(4
22 , де ? > 0
— коефіцієнт, що задає ступінь компактності кластера. Перед застосуванням цієї формули експериментальні дані слід відобразити на відрізок [0, 1].
Ступені приналежності нечіткій множині Y розраховують у такий спосіб: i iY y ? ? =µ =,...,2,1 max )(. j vj ? =,...,2,1 max y v ): (y
1 , y
2 , ..., y v ) ? (µ ij ), i = 1, 2, …, v, j = 1, 2, …, C, де µ ij — ступінь приналежності елемента нечіткій множині Y j . Для розв’язання даної задачі використовують нечітку кластеризацію за методом нечітких c-середніх.
Друга задача — синтез однієї нечіткої множини Y, функція приналежності якої відповідає розподілу даних (y
1 , y
2 , ..., y v ), що відповідає відображенню вигляду: (y
1 , y
2 , ..., y v ) ? (µ
1 , µ
2 , …, µ v ,), i = 1, 2, …, v, j = 1, 2, …, C, де де µ i — ступінь приналежності елемента нечіткій множині Y. Для розв’язання даної задачі використовують потенційну функцію з гірського методу кластеризації.
Потенціал точки — це число, що показує, наскільки щільно в її околиці розташовані експериментальні дані. Чим вищий потенціал точки, тим ближче вона до центру кластера. Потенціал точки y i , i = 1, 2, …, v, визначається за формулою: ? = ??? =? v j yy i ji e
1 )(4
22 , де ? > 0
— коефіцієнт, що задає ступінь компактності кластера. Перед застосуванням цієї формули експериментальні дані слід відобразити на відрізок [0, 1].
Ступені приналежності нечіткій множині Y розраховують у такий спосіб: j vj i iY y ? ? =µ =,...,2,1 max )(.
За необхідності знайдену нечітку множину Y можна апроксимувати придатною параметричною функцією приналежності.
Візуалізувати функції приналежності нечітких множин можна шляхом побудови графіка залежності значення функції приналежності µ від значення елемента нечіткої множини x.
Розрізняють такі основні типи функцій приналежності: кусково-лінійні функції, Z-подібні та S-подібні функції, П-подібні функції.
Розглянемо основні функції приналежності. При цьому визначимо формат виклику функцій пакета Matlab, що реалізують відповідні функції приналежності.
де a , b , c — числові пара метри , що п р ийма ю ть довільні дійсні значення й уп орядковані відношенням : a ? b ? c . Ця фу нкція в паке ті Matlab ма є ім ’ я trimf, по р ядок її параметрів : [ a , b , c ] |
де a , b , c , d — чис л ові па рамет р и , що прий мають дові льні дійсні з н ачення й у по р ядковані відношенням : a ? b ? c ? d . Ця фу нк ція в па к е т і Matlab має ім ’ я tra p mf, порядок її па раметрів : [ a , b , c , d ] |
де a , b — числові па р ам ет р и , що п р ий м а ю т ь до вільні дійсні значення й уп орядковані відношенням : a < b |
де a , b — числові па р ам ет р и , що п р ий м а ю т ь до вільні дійсні значення й уп орядковані відношенням : a < b . Ця функція в пакеті Matlab ма є ім ’ я zmf , порядок її пара метрів : [ a , b ] |
де a , b — числові па р ам ет р и , що п р ий м а ю т ь до вільні дійсні значення й уп орядковані відношенням : a < b |
де a , b — числові па р ам ет р и , що п р ий м а ю т ь до вільні дійсні значення й уп орядковані відношенням : a < b |
де a , b — числові па р ам ет р и , що п р ий м а ю т ь до вільні дійсні значення й уп орядковані відношенням : a < b . Ця функція в пакеті Matlab ма є ім ’ я smf , п орядок її па р а метрів : [ a , b ] |
де a , b — числові па р ам ет р и , що п р ийм ают ь до вільні дійсні значення й уп орядковані відношенням : a < b |
де a , b — числові па р ам ет р и , що п р ий м а ю т ь до вільні дійсні значення й у по р ядковані відношенням : a < b , e — осн о ва натура льни х ло га р и фм ів . Пр и a > 0 мо ж е бу ти от р им а н а S подібна фу нк ція , п р и a <0 — Z по дібна функція . Ця функ ція в пакеті M a tlab має ім ’ я sigmf, по рядок її пара метрів : [ a , b ] |
де µ S ( x ) — S подібна фун кція , µ Z ( x ) — Z по дібна функ ція . Ця фу нкція в пакеті Matlab ма є ім ’ я p im f , по р ядок її па р амет р ів : [ a , b , c , d ] , де [ a , d ] — но с і й нечіткої множини ; [ b , c ] — ядро нечіткої м н ожи н и ; [ a , b ] — па раметри фун кції smf , [ c , d ] — пара метри функ ції zmf |
де a , b , c , d — чис л ові па рамет р и , що прий мають дові льні дійсні з н ачення , пр ичому a > 0, c < 0, і уп орядко вані відношенням : a ? b < | c | ? d , e — ос но в а натура ль них ло га р и ф мів . Ця фу нк ція в па к е т і Matlab має ім ’ я psigmf , порядок її парам е трів : [ a , b , c , d ] |
де a , b , c , d — чис л ові па рамет р и , що прий мають дові льні дійсні з н ачення й у по р ядко вані відношення м : a < b , c < d , e — основ а на турал ь них лога рифмів . Ця фу н к ція в пак е ті Matlab має ім ’ я dsigmf , по рядок її па рамет рів : [ a , b , c , d ] |
де a , b , c — числові пара метри , що п р ийма ю ть довільні дійсні значення й уп орядковані відношенням : a < b < c , п р и чом у b >0 . Ця фу н кція в пакеті Matlab ма є ім ’ я gbellmf , п орядок її параме трів : [ a , b , c ] |
де a 2 — д и сперсія розподілу , b — м а тематичн е спо д і вання . Ця функ ція в пакеті M a tlab має ім ’ я ga ussmf , по рядок її пара метрів : [ a , b ] |
де a 2 , c 2 — диспе р сії р озподілів , b , d — м а те м а ти чн і сподівання . Ця фу н кція в паке т і Matlab має ім ’ я gauss 2 mf , порядо к її па раметрів : [ a , b , с , d ] |
значення певного показника: (y
14.4. Основні характеристики та властивості нечітких множин
множини Е та множиною приналежностей М = [0; 1] .
Висотою (супремумом) нечіткої множини А називається величина )(max)sup(x A Ex A µ=µ ? — це точна верхня межа або максимальне значення приналежності, що є у множині.
Нормальною є нечітка множина А, якщо її висота дорівнює 1, тобто верхня межа її функції приналежності дорівнює 1 ( )
1)(?max= ? x A Ex .
Субнормальною називається нечітка множина А при ()
1µmax ? <x A Ex .
Порожньою називається нечітка множина A (порожня множи()
0µ:??=xEx A .
Унімодальною є нечітка множина А, якщо µ
А (х) = 1 тільки на одному х з Е.
Ядром нечіткої множини A називають таку звичайну множину {}
1µ?
1 ==xExA A .
Носієм нечіткої множини А є звичайна підмножина B з влас{}
0µ>?=xExB A .
Скінченною є нечітка множина, якщо її носій є скінченною множиною.
Нескінченною є нечітка множина, якщо її носій є нескінченною множиною.
Межами нечіткої множини A є такі елементи універсальної множини E, для яких значення функції приналежності µ
А (х) відрізняються від 0 та 1: 0 <µ
А (х) <1.
Точками переходу множини А називаються такі елементи ?, для яких µ
А (х) = 0,5.
Найближчою чіткою множиною А
1 до нечіткої множини А є множина з характеристичною функцією:
1)(?max= ? x A Ex .
Субнормальною називається нечітка множина А при ()
1µmax ? <x A Ex .
Порожньою називається нечітка множина A (порожня множи()
0µ:??=xEx A .
Унімодальною є нечітка множина А, якщо µ
А (х) = 1 тільки на одному х з Е.
Ядром нечіткої множини A називають таку звичайну множину {}
1µ?
1 ==xExA A .
Носієм нечіткої множини А є звичайна підмножина B з влас{}
0µ>?=xExB A .
Скінченною є нечітка множина, якщо її носій є скінченною множиною.
Нескінченною є нечітка множина, якщо її носій є нескінченною множиною.
Межами нечіткої множини A є такі елементи універсальної множини E, для яких значення функції приналежності µ
А (х) відрізняються від 0 та 1: 0 <µ
А (х) <1.
Точками переходу множини А називаються такі елементи ?, для яких µ
А (х) = 0,5.
Найближчою чіткою множиною А
1 до нечіткої множини А є множина з характеристичною функцією:
1µmax ? <x A Ex .
Порожньою називається нечітка множина A (порожня множи()
0µ:??=xEx A .
Унімодальною є нечітка множина А, якщо µ
А (х) = 1 тільки на одному х з Е.
Ядром нечіткої множини A називають таку звичайну множину {}
1µ?
1 ==xExA A .
Носієм нечіткої множини А є звичайна підмножина B з влас{}
0µ>?=xExB A .
Скінченною є нечітка множина, якщо її носій є скінченною множиною.
Нескінченною є нечітка множина, якщо її носій є нескінченною множиною.
Межами нечіткої множини A є такі елементи універсальної множини E, для яких значення функції приналежності µ
А (х) відрізняються від 0 та 1: 0 <µ
А (х) <1.
Точками переходу множини А називаються такі елементи ?, для яких µ
А (х) = 0,5.
Найближчою чіткою множиною А
1 до нечіткої множини А є множина з характеристичною функцією: на позначається як ?), якщо
0µ:??=xEx A .
Унімодальною є нечітка множина А, якщо µ
А (х) = 1 тільки на одному х з Е.
Ядром нечіткої множини A називають таку звичайну множину {}
1µ?
1 ==xExA A .
Носієм нечіткої множини А є звичайна підмножина B з влас{}
0µ>?=xExB A .
Скінченною є нечітка множина, якщо її носій є скінченною множиною.
Нескінченною є нечітка множина, якщо її носій є нескінченною множиною.
Межами нечіткої множини A є такі елементи універсальної множини E, для яких значення функції приналежності µ
А (х) відрізняються від 0 та 1: 0 <µ
А (х) <1.
Точками переходу множини А називаються такі елементи ?, для яких µ
А (х) = 0,5.
Найближчою чіткою множиною А
1 до нечіткої множини А є множина з характеристичною функцією:
Унімодальною є нечітка множина А, якщо µ
А (х) = 1 тільки на одному х з Е.
Ядром нечіткої множини A називають таку звичайну множину {}
1µ?
1 ==xExA A .
Носієм нечіткої множини А є звичайна підмножина B з влас{}
0µ>?=xExB A .
Скінченною є нечітка множина, якщо її носій є скінченною множиною.
Нескінченною є нечітка множина, якщо її носій є нескінченною множиною.
Межами нечіткої множини A є такі елементи універсальної множини E, для яких значення функції приналежності µ
А (х) відрізняються від 0 та 1: 0 <µ
А (х) <1.
Точками переходу множини А називаються такі елементи ?, для яких µ
А (х) = 0,5.
Найближчою чіткою множиною А
1 до нечіткої множини А є множина з характеристичною функцією: А
1 , елементи якої задовольняють умові:
1µ
1 ==xExA A .
Носієм нечіткої множини А є звичайна підмножина B з влас{}
0µ>?=xExB A .
Скінченною є нечітка множина, якщо її носій є скінченною множиною.
Нескінченною є нечітка множина, якщо її носій є нескінченною множиною.
Межами нечіткої множини A є такі елементи універсальної множини E, для яких значення функції приналежності µ
А (х) відрізняються від 0 та 1: 0 <µ
А (х) <1.
Точками переходу множини А називаються такі елементи ?, для яких µ
А (х) = 0,5.
Найближчою чіткою множиною А
1 до нечіткої множини А є множина з характеристичною функцією: тивістю µ
А () > 0, тобто
0µ>=xExB A .
Скінченною є нечітка множина, якщо її носій є скінченною множиною.
Нескінченною є нечітка множина, якщо її носій є нескінченною множиною.
Межами нечіткої множини A є такі елементи універсальної множини E, для яких значення функції приналежності µ
А (х) відрізняються від 0 та 1: 0 <µ
А (х) <1.
Точками переходу множини А називаються такі елементи ?, для яких µ
А (х) = 0,5.
Найближчою чіткою множиною А
1 до нечіткої множини А є множина з характеристичною функцією: різняються від 0 та 1: 0 <µ
А () <1.
Точками переходу множини А називаються такі елементи ?, для яких µ
А (х) = 0,5.
Найближчою чіткою множиною А
1 до нечіткої множини А є множина з характеристичною функцією: Ex?, для яких µ
А (х) = 0,5.
Найближчою чіткою множиною А
1 до нечіткої множини А є множина з характеристичною функцією: ? ? =µ .5,0якщо,1або0
1 х
А
А A ? ? >µ =µ ,5,0якщо,1
1 х x
А
А A ? ? ? >µ <µ =µ ,5,0якщо,1 ,5,0якщо,0
1 х х x
А
А A
Нехай А — нечітка множина з елементами з універсальної множини Е та множиною приналежностей М = [0; 1] .
Висотою (супремумом) нечіткої множини А називається величина )(max)sup(x A Ex A µ=µ ? — це точна верхня межа або максимальне значення приналежності, що є у множині.
Нормальною є нечітка множина А, якщо її висота дорівнює 1, тобто верхня межа її функції приналежності дорівнює 1 ( )
1)(?max= ? x A Ex .
Субнормальною називається нечітка множина А при ()
1µmax ? <x A Ex .
Порожньою називається нечітка множина A (порожня множина позначається як ?), якщо ()
0µ:??=xEx A .
Унімодальною є нечітка множина А, якщо µ
А (х) = 1 тільки на одному х з Е.
Ядром нечіткої множини A називають таку звичайну множину А
1 , елементи якої задовольняють умові: (){}
1µ?
1 ==xExA A .
Носієм нечіткої множини А є звичайна підмножина B з властивістю µ
А (х) > 0, тобто (){}
0µ>?=xExB A .
Скінченною є нечітка множина, якщо її носій є скінченною множиною.
Нескінченною є нечітка множина, якщо її носій є нескінченною множиною.
Межами нечіткої множини A є такі елементи універсальної множини E, для яких значення функції приналежності µ
А (х) відрізняються від 0 та 1: 0 <µ
А (х) <1.
Точками переходу множини А називаються такі елементи Ex?, для яких µ
А (х) = 0,5.
Найближчою чіткою множиною А
1 до нечіткої множини А є множина з характеристичною функцією: () () () () ? ? ? ? ? =µ >µ <µ =µ .5,0якщо,1або0 ,5,0якщо,1 ,5,0якщо,0
1 х х х x
А
А
А A
Опуклою називають нечітку множину А, якщо її функція приналежності задовольняє нерівності: µ
А (х) ? min{µ A (a), µ A (b)}
min{µ
А (),µ
А ()}, для будь-яких , , , при котрих: < < та a ? b.
Міру нечіткості Ягера нечіткої множини А у метриці p визначають як: p p p n AAD AFuz
1 , –1=, елементів. Значення p = 1 відповідає метриці Хеммінга: ()() ? = µ= n i iA xAAD
1
1
1–2, , а p = 2
— метриці Евкліда: = i
1 , а p = 2
— метриці Евкліда: µ= iA xAAD
1
1
1–2, , а p = 2
— метриці Евкліда: ()() ? = µ= n i iA xAAD
1
1
1–2, , а p = 2
— метриці Евкліда: = i
1
Лінійний індекс нечіткості визначається за формулою: µ= iA xAAD
1
2
2
1–2,.
Лінійний індекс нечіткості визначається за формулою: = i
1
Квадратичний індекс нечіткості визначається за формулою: µµ= iAiA xx n Av
1 –1,min 2 .
Квадратичний індекс нечіткості визначається за формулою: = i
1 µµ=? iAiA xx n A
1
2 –1,min
2 . = i
1 i i A x ? = µ
1 ??= iAiA xx n AH
1 ln n1
1 –, () () () i n i A iA iA x x x ? = µ µ =?
1 . i =
1 () () AA AA A ? ? = card card Fuz , ється з n елементів, визначається за формулою: card(F
1 ) = n.
Кардинальне число нечіткої множини F визначається за формулою: = i
1 µ= iA xFcard
1 .min{µ
А (a),µ
А (b)}, для будь-яких x, a, b ? E, при котрих: a< x < b та a ? b.
Міру нечіткості Ягера нечіткої множини А у метриці p визначають як: () () p p p n AAD AFuz
1 , –1=, де () AAD p , — міра відстані між множинами А та A, що містять n елементів. Значення p = 1 відповідає метриці Хеммінга: ()() ? = µ= n i iA xAAD
1
1
1–2, , а p = 2
— метриці Евкліда: ()()() ? = µ= n i iA xAAD
1
2
2
1–2,.
Лінійний індекс нечіткості визначається за формулою: ()()(){} ? = µµ= n i iAiA xx n Av
1 –1,min 2 .
Квадратичний індекс нечіткості визначається за формулою: ()()() {} ? = µµ=? n i iAiA xx n A
1
2 –1,min
2 .
Ентропія нечіткої множини A визначається за формулою: ()()()() ? = ??= n i iAiA xx n AH
1 ln n1
1 –, () () () i n i A iA iA x x x ? = µ µ =?
1 .
Міру нечіткості Коско (ентропійну) визначають як: () () () AA AA A ? ? = card card Fuz , де card(F) — кардинальне число множини F.
Кардинальне число чіткої скінченної множини F
1 , що складається з n елементів, визначається за формулою: card(F
1 ) = n.
Кардинальне число нечіткої множини F визначається за формулою: ()() ? = µ= n i iA xFcard
1 .
Чітка множина ?-рівня (альфа-зріз) А ? нечіткої множини А універсальної множини Е — елементи, приналежність яких вища
або дорівнює заданому порогу: А ? = {х| µ
А (х) ? ?}, де ? — поріг: ? ? 1, (поріг, що дорівнює 1/2, називають точкою переходу). Влаабо дорівнює заданому порогу: А ? = {х| µ
А (х) ? ?}, де ? — поріг: ? ? 1, (поріг, що дорівнює 1/2, називають точкою переходу). Властивість множини ?-рівня: якщо ?
1 ? ?
2 , то
1 ? A?
2 ? A.
14.5. Операції над нечіткими множинами для них не виконуються ані А ? В, ані В ? А.
лежність кожного елемента: ?x ? Е, М = [0, 1]: A µ(х) = 1–µ
А (х). Тут доповнення визначене для М = [0, 1], але очевидно, що його можна визначити для будь-якого упорядкованого М). Тут доповнення визначене для М = [0, 1], але очевидно, що його можна визначити для будь-якого упорядкованого М). Інволюція — подвійне доповнення: AA=.
Логічні операції
Нехай А та В — нечіткі множини на універсальній множині Е.
Доповнення (заперечення множини) A: інвертується приналежність кожного елемента: ?x ? Е, М = [0, 1]: A µ(х) = 1–µ
А (х). Тут доповнення визначене для М = [0, 1], але очевидно, що його можна визначити для будь-якого упорядкованого М). Інволюція — подвійне доповнення: () AA=.
Включення (підмножина, домінування) А ? В: А міститься в B (B домінує над А), якщо ?x ? Е: µ
А (х) ? µ
В (х).
Непорівнянними є нечіткі множини А та B, задані на E, якщо
Рівність А = В: А та В рівні, якщо ?x ? Е: µ
А (х) = µ
В (х).
Власною нечіткою підмножиною A нечіткої множини B (А ? В) називають, якщо ?x ? Е: µ
А (х)<µ
В (х).
Об’єднання (логічна сума множин): А ? В ? найменша нечітка підмножина, що містить як А, так і В, із функцією приналежності: µ
А?В (х) = max(µ A (x), µ B (x)) ? створюється нова множина з елементів вихідних множин, причому для однакових елементів приналежність береться максимальною. Операція об’єднання моделює логічне зв’язування «АБО». ? B — найбільша нечітка підмножина, що міститься одночасно в А та В: µ A?B (x) = min(µ A (x), µ B (x)) — створюється нова множина з однакових елементів вихідних множин, приналежність яких береться мінімальною. Операція перетинання моделює логічне зв’язування «ТА».
Властивості операцій об’єднання і перетинання. Нехай A, B, C — нечіткі множини, тоді виконуються такі властивості: µ A?B (x) = min(µ A (x), µ B (x)) — створюється нова множина з однакових елементів вихідних множин, приналежність яких береться мінімальною. Операція перетинання моделює логічне зв’язування «ТА».
Властивості операцій об’єднання і перетинання. Нехай A, B, C — нечіткі множини, тоді виконуються такі властивості: ? комутативність: А ? В = В ? А, А ? В = В ? А; ? асоціативність: (А ? В) ? С = А ? (В ? С), (А ? В) ? С = = А ? (В ? С);
Рівність А = В: А та В рівні, якщо ?x ? Е: µ
А (х) = µ
В (х).
Власною нечіткою підмножиною A нечіткої множини B (А ? В) називають, якщо ?x ? Е: µ
А (х)<µ
В (х).
Об’єднання (логічна сума множин): А ? В ? найменша нечітка підмножина, що містить як А, так і В, із функцією приналежності: µ
А?В (х) = max(µ A (x), µ B (x)) ? створюється нова множина з елементів вихідних множин, причому для однакових елементів приналежність береться максимальною. Операція об’єднання моделює логічне зв’язування «АБО».
Перетинання (логічний добуток множин): A ? B — найбільша нечітка підмножина, що міститься одночасно в А та В: µ A?B (x) = min(µ A (x), µ B (x)) — створюється нова множина з однакових елементів вихідних множин, приналежність яких береться мінімальною. Операція перетинання моделює логічне зв’язування «ТА».
Властивості операцій об’єднання і перетинання. Нехай A, B, C — нечіткі множини, тоді виконуються такі властивості: ? комутативність: А ? В = В ? А, А ? В = В ? А; ? асоціативність: (А ? В) ? С = А ? (В ? С), (А ? В) ? С = = А ? (В ? С);
? ідемпотентність: А ? А = А, А ? А = А; ? дистрибутивність: А ? (В ? С) = (А ? В) ? (А ? С), А ? (В ? С) = (А ? В) ? (А ? С); ? поглинання: А ? (А ? В) = А ? (А ? В) = А; ? універсальні верхня та нижня межі: А ? ? = А, А ? ? = ?, А ? Е = А, А ? Е = Е; ? закони де Моргана: BABAIU=, BABAUI=.
Різниця AB або A–B:
0,max / xxх BAВА µ?µ=µ. Зауважимо, що AB ? BA. ? В = (A ? B) ? ()()() xxx BABA µ?µ=µ ? .
Симетрична різниця: А ? В = (А В) ? (В А), А ? В = (A ? B) ? ()()() xxx BABA µ?µ=µ ? . ? (A ? B): xxx BABA µ?µ=µ ? .
Диз’юнктивна сума: A ? B = (A ? B) ? (A ? B) із функціµ
А ? В (х) = max(min(µ A (x), 1 ? µ B (x)), min(1 ? µ
А (x), µ B (x))). єю приналежності: µ
А ? В (х) = max(min(µ A (x), 1 ? µ B (x)), min(1 ? µ
А (x), µ B (x))). Е: µ
АB (x) = µ
А (x)µ B (x).
Алгебраїчна сума (алгебраїчне об’єднання) А + )
В: ?x ? E:
Алгебраїчна сума (алгебраїчне об’єднання) А + )
В: ?x ? E: A)(–)()()(xxxx ABABA µµ+µ=µ + ) · )(x B µ .
Властивості операцій алгебраїчної суми й алгебраїчного добутку: ) B = B + ) A; ) B) + ) C = A + ) (B + ) C); ) ? = A, A · ? = ?, A · E = A, A + ) E = E; ) , BABA+=· ) . µ A)(–)()()(xxxx ABABA µµ+µ=µ + ) · )(x B µ .