ПЕРЕЛІК ЗНАНЬ ТА НАВИЧОК
Після опанування теми студент має знати:
• концепцію нечіткої множини;
• нечіткі множини та змінні;
• прямі та непрямі методи побудови функцій належності;
• основні характеристики та властивості нечітких множин;
• операції над нечіткими множинами;
• характеристику нечітких відношень; має вміти:
• аналізувати оптимізаційні методи побудови функцій належності;
• використовувати прямі та непрямі методи побудови функцій належності;
• аналізувати метод побудови функцій належності шляхом кластеризації експериментальних даних.
ЗМІСТ ПИТАНЬ З ТЕМИ
14.1. Теорія нечітких множин
Теорія нечітких множин (fuzzy sets theory) бере свій початок з 1965 року, коли професор Лотфі Заде (Lotfi Zadeh) з університету Берклі опублікував основну працю «Fuzzy Sets» у журналі «Information and Control». Прикметник «fuzzy» (нечіткий, розмитий) уведено в назву нової теорії з метою відокремлення від традиційної
Розділ 5
Лютфі Аськер Заде — американський математик, засновник теорії нечітких множин і нечіткої логіки, професор Каліфорнійського університету (Берклі).
Концепція нечіткої множини зародилася у Заде «як незадоволеність математичними методами класичної теорії систем, що змушувала домагатися штучної точності, недоречної в багатьох системах реального світу, особливо в так званих гуманістичних системах, що включають людей».
Початком практичного застосування теорії нечітких множин можна вважати 1975 рік, коли Е. Мамдані (E. Mamdani) побудував перший нечіткий контролер. Успіх першого промислового контролера, заснованого на нечітких лінгвістичних правилах «Якщо — то», викликав сплеск інтересу до теорії нечітких множин серед математиків та інженерів.
Можливість використання нечіткої логіки базується на таких результатах:
• 1992 р. Б. Коско (B. Kosko) була доведена теорема про нечітку апроксимацію (Fuzzy Approximation Theorem), відповідно до якої будь-яка математична система може бути апроксимована системою, заснованою на нечіткій логіці. Іншими словами, за допомогою природно-мовних висловлень-правил «Якщо — то», з подальшою їх формалізацією засобами теорії нечітких множин, можна скільки завгодно точно відбити довільний взаємозв’язок «вхід — вихід» без використання складного апарата диференціального й інтегрального числень, традиційно застосовуваного в керуванні та ідентифікації.
• 1992 р. Л. Ванг (L. Wang) довів, що нечітка система є універсальним апроксиматором, тобто може апроксимувати будьяку неперервну функцію з довільною точністю, якщо використовує набір з n (n ? ?) правил вигляду «Якщо — то», гаусові функції належності, композиції у вигляді добутку, імплікації у формі Ларсена та центроїдний метод приведення до чіткості.
• 1995 р. Дж. Кастро (J. Castro) довів, що логічний контролер Мамдані також є універсальним апроксиматором за симетричних трикутних функцій належності, композиції з використанням операції мінімум, імплікації у формі Мамдані і центроїдного методу приведення до чіткості.
Системи з нечіткою логікою доцільно застосовувати для складних процесів, коли немає простої математичної моделі, а також якщо експертні знання про об’єкт або про процес можна сформулювати тільки в лінгвістичній формі.
чіткої математики й аристотелевої логіки, що оперують з чіткими поняттями: «належить — не належить», «істина — хибність».
Системи, що базуються на нечіткій логіці, застосовувати недоцільно, якщо необхідний результат може бути отриманий якимнебудь іншим (стандартним) способом, або якщо для об’єкта або процесу вже знайдена адекватна і легко досліджувана математична модель.
Основні недоліки систем з нечіткою логікою: вихідний набір нечітких правил, що постулюються, формулюється експертомлюдиною і може виявитися неповним або суперечливим; вид і параметри функцій приналежності, що описують вхідні та вихідні змінні системи, обираються суб’єктивно і можуть виявитися такими, що цілком не відбивають реальну дійсність.
14.2. Нечіткі множини та змінні
Нехай E — універсальна множина, х — елемент Е, a G — деяка властивість. Звичайна (чітка) підмножина А універсальної множини Е, елементи якої мають властивість G, визначається як
множина впорядкованих пар {<µ
А ()|>}, де µ
А () — характеристична функція приналежності, що набирає значення 1, якщо х має властивість G, та 0 — у протилежному випадку.
Нечітка підмножина відрізняється від звичайної тим, що для елементів х з Е немає однозначної відповіді «ні» або «так» щодо властивості G. У зв’язку з цим нечітка підмножина А універсальної множини Е визначається як множина впорядкованих пар А = {<µ
А (х)|х>}, де µ
А (х) — характеристична функція приналежності (або просто функція приналежності), що набирає значення в деякій цілком упорядкованій множині М (наприклад, М = [0; 1]).
Функція приналежності вказує ступінь приналежності елемента х підмножині А. Множину М називають множиною приналежностей. Якщо М = {0, 1}, то нечітка підмножина А може розглядатись як чітка множина.
Нечітка змінна визначається як <a, E, А>, де a — найменування змінної, E = {x} — область визначення змінної, набір можливих значень x, А={<µ
А (x)|x>} — нечітка множина, що описує обмеження на можливі значення змінної a (семантику). Нечітка змінна — це те саме, що й нечітке число, тільки з додаванням імені, яким формалізується поняття, що описується цим числом.
Лінгвістична змінна визначається як <B, T, X, G, M>, де B — найменування змінної, T — множина її значень (базова терммножина), що складається з найменувань нечітких змінних, областю визначення кожної з яких є множина X; G — синтаксична= {<µ
А ()|>}, де µ
А () — характеристична сті (або просто функція приналежності), що набирає значення в деякій цілком упорядкованій множині М (наприклад, М = [0; 1]).
Функція приналежності вказує ступінь приналежності елемента х підмножині А. Множину М називають множиною приналежностей. Якщо М = {0, 1}, то нечітка підмножина А може розглядатись як чітка множина.
Нечітка змінна визначається як <a, E, А>, де a — найменування змінної, E = {x} — область визначення змінної, набір можливих значень x, А={<µ
А (x)|x>} — нечітка множина, що описує обмеження на можливі значення змінної a (семантику). Нечітка змінна — це те саме, що й нечітке число, тільки з додаванням імені, яким формалізується поняття, що описується цим числом.
Лінгвістична змінна визначається як <B, T, X, G, M>, де B — найменування змінної, T — множина її значень (базова терммножина), що складається з найменувань нечітких змінних, областю визначення кожної з яких є множина X; G — синтаксичнадеякій цілком упорядкованій множині М (наприклад, М = [0; 1]).
Функція приналежності вказує ступінь приналежності елемента х підмножині А. Множину М називають множиною приналежностей. Якщо М = {0, 1}, то нечітка підмножина А може розглядатись як чітка множина.
Нечітка змінна визначається як <a, E, А>, де a — найменування змінної, E = {x} — область визначення змінної, набір можливих значень x, А={<µ
А (x)|x>} — нечітка множина, що описує обмеження на можливі значення змінної a (семантику). Нечітка змінна — це те саме, що й нечітке число, тільки з додаванням імені, яким формалізується поняття, що описується цим числом.
Лінгвістична змінна визначається як <B, T, X, G, M>, де B — найменування змінної, T — множина її значень (базова терммножина), що складається з найменувань нечітких змінних, областю визначення кожної з яких є множина X; G — синтаксичнаностей. Якщо М = {0, 1}, то нечітка підмножина А може розглядатись як чітка множина.
Нечітка змінна визначається як <a, E, А>, де a — найменування змінної, E = {x} — область визначення змінної, набір можливих значень x, А={<µ
А (x)|x>} — нечітка множина, що описує обмеження на можливі значення змінної a (семантику). Нечітка змінна — це те саме, що й нечітке число, тільки з додаванням імені, яким формалізується поняття, що описується цим числом.
Лінгвістична змінна визначається як <B, T, X, G, M>, де B — найменування змінної, T — множина її значень (базова терммножина), що складається з найменувань нечітких змінних, областю визначення кожної з яких є множина X; G — синтаксична
Нечітка змінна визначається як <a, E, А>, де a — найменування змінної, E = {x} — область визначення змінної, набір можливих значень x, А={<µ
А (x)|x>} — нечітка множина, що описує обмеження на можливі значення змінної a (семантику). Нечітка змінна — це те саме, що й нечітке число, тільки з додаванням імені, яким формалізується поняття, що описується цим числом.
Лінгвістична змінна визначається як <B, T, X, G, M>, де B — найменування змінної, T — множина її значень (базова терммножина), що складається з найменувань нечітких змінних, областю визначення кожної з яких є множина X; G — синтаксичнавання змінної, E = {x} — область визначення змінної, набір можливих значень x, А={<µ
А (x)|x>} — нечітка множина, що описує обмеження на можливі значення змінної a (семантику). Нечітка змінна — це те саме, що й нечітке число, тільки з додаванням імені, яким формалізується поняття, що описується цим числом.
Лінгвістична змінна визначається як <B, T, X, G, M>, де B — найменування змінної, T — множина її значень (базова терммножина), що складається з найменувань нечітких змінних, областю визначення кожної з яких є множина X; G — синтаксичналивих значень x, А={<µ
А (x)|x>} — нечітка множина, що описує обмеження на можливі значення змінної a (семантику). Нечітка змінна — це те саме, що й нечітке число, тільки з додаванням імені, яким формалізується поняття, що описується цим числом.
Лінгвістична змінна визначається як <B, T, X, G, M>, де B — найменування змінної, T — множина її значень (базова терммножина), що складається з найменувань нечітких змінних, областю визначення кожної з яких є множина X; G — синтаксична
Лінгвістична змінна визначається як <B, T, X, G, M>, де B — найменування змінної, T — множина її значень (базова терммножина), що складається з найменувань нечітких змінних, областю визначення кожної з яких є множина X; G — синтаксичнамножина впорядкованих пар {<µ
А (х)|х>}, де µ
А (х) — характеристична функція приналежності, що набирає значення 1, якщо х має властивість G, та 0 — у протилежному випадку.
Нечітка підмножина відрізняється від звичайної тим, що для елементів х з Е немає однозначної відповіді «ні» або «так» щодо властивості G. У зв’язку з цим нечітка підмножина А універсальної множини Е визначається як множина впорядкованих пар А = {<µ
А (х)|х>}, де µ
А (х) — характеристична функція приналежності (або просто функція приналежності), що набирає значення в деякій цілком упорядкованій множині М (наприклад, М = [0; 1]).
Функція приналежності вказує ступінь приналежності елемента х підмножині А. Множину М називають множиною приналежностей. Якщо М = {0, 1}, то нечітка підмножина А може розглядатись як чітка множина.
Нечітка змінна визначається як <a, E, А>, де a — найменування змінної, E = {x} — область визначення змінної, набір можливих значень x, А={<µ
А (x)|x>} — нечітка множина, що описує обмеження на можливі значення змінної a (семантику). Нечітка змінна — це те саме, що й нечітке число, тільки з додаванням імені, яким формалізується поняття, що описується цим числом.
Лінгвістична змінна визначається як <B, T, X, G, M>, де B — найменування змінної, T — множина її значень (базова терммножина), що складається з найменувань нечітких змінних, областю визначення кожної з яких є множина X; G — синтаксична
множини T, зокрема — генерувати нові осмислені терми; T’ = T ? G(T) задає розширену терм-множину (? — знак об’єднання); M — семантична процедура, що дозволяє приписати кожному новому значенню лінгвістичної змінної нечітку семантику шляхом формування нової нечіткої множини.
Лінгвістична змінна — це множина нечітких змінних, вона використовується для того, щоб надати словесний опис деякому нечіткому числу, отриманому в результаті деяких операцій.
Терм-множина — це множина всіх можливих значень лінгвістичної змінної.
Терм — будь-який елемент терм-множини. У теорії нечітких множин терм формалізується нечіткою множиною за допомогою функції приналежності.
Нечіткий терм — це нечітка множина, котра має властивість, якій відповідає певне поняття. множини T, зокрема — генерувати нові осмислені терми; T’ = T ? G(T) задає розширену терм-множину (? — знак об’єднання); M — семантична процедура, що дозволяє приписати кожному новому значенню лінгвістичної змінної нечітку семантику шляхом формування нової нечіткої множини.
Лінгвістична змінна — це множина нечітких змінних, вона використовується для того, щоб надати словесний опис деякому нечіткому числу, отриманому в результаті деяких операцій.
Терм-множина — це множина всіх можливих значень лінгвістичної змінної.
Терм — будь-який елемент терм-множини. У теорії нечітких множин терм формалізується нечіткою множиною за допомогою функції приналежності.
Нечіткий терм — це нечітка множина, котра має властивість, якій відповідає певне поняття.
14.3. Функції приналежності
Функції приналежності нерозривно пов’язані із нечіткими множинами. Тип функції приналежності значною мірою визначає властивості нечіткої системи.
Задавання функцій приналежності можна здійснювати у вигляді списку з явним перелічуванням усіх елементів та відповідних їм значень функції приналежності (наприклад, використовуючи відносні частоти за даними експерименту як значення приналежності), або аналітично у вигляді формул (наприклад, використовуючи типові форми кривих для задання функцій приналежності (у формі (L-R)-типу) з уточненням їхніх параметрів відповідно до даних експерименту). Існують прямі та непрямі методи побудови функцій приналежності.
При використанні прямих методів експерт просто задає для кожного х ? Е значення µ(х). Як правило, прямі методи побудови функції приналежності використовуються для вимірних понять, таких як швидкість, час, відстань, тиск, температура тощо, або тоді, коли виділяються полярні значення.
У багатьох задачах, характеризуючи об’єкт, можна виділити набір ознак і для кожної з них визначити полярні значення, що відповідають значенням функції приналежності 0 або 1. Для конкретного об’єкта експерт, виходячи з наведеної шкали, задає
процедура (граматика), що дозволяє оперувати елементами терм
А (х) ? [0, 1], формуючи векторну функцію приналежності {µ
А (х
1 ), µ
А (х
2 ), ..., µ
А (х n )}.
Різновидом прямих методів побудови функцій приналежності є прямі групові методи, коли, наприклад, групі експертів пред’являють конкретний об’єкт, і кожен має дати одну із двох відповідей: належить чи не належить цей об’єкт до заданої множини. Тоді число позитивних відповідей, поділене на загальне число експертів, дає значення функції приналежності об’єкта до даної нечіткої множини.
Непрямі методи визначення значень функції приналежності використовуються у випадках, коли немає вимірних елементарних властивостей, через які визначається нечітка множина. Як правило, це методи попарних порівнянь. Якщо значення функцій
приналежності відомі, наприклад, µ
А (i ) = i , = 1, 2, ..., , то попарні порівняння можна подати матрицею відношень А = {а ij }, де а ij = w i /w j (операція розподілу).
На практиці експерт сам формує матрицю А, при цьому передбачається, що діагональні елементи дорівнюють 1, а для елементів, симетричних щодо головної діагоналі, а ij = 1/а ji , тобто якщо один елемент оцінюється як в а разів більш значущий ніж інший, то цей останній має бути в 1/а разів більш значущим, ніж перший. У загальному випадку задача зводиться до пошуку вектора w, що задовольняє рівнянню вигляду: Aw = ? max w, де ? max — найбільше власне значення матриці А. Оскільки матриця А позитивна за побудовою, розв’язок даної задачі існує і є позитивним.
Обмеженням методів попарного порівняння є використання суб’єктивної інформації і деяких припущень при перетворенні її в ступені приналежності нечітких множин.
Оптимізаційні методи побудови функцій приналежності засновані на параметричній ідентифікації нечітких моделей за експериментальними даними «входи — вихід», при якій оптимізують параметри функцій приналежності з метою мінімізації відхилення між експериментальними даними і результатами нечіткого моделювання. Використання оптимізаційного підходу позбавляє суб’єктивізму побудови функцій приналежності, однак замість цього потребує навчаючої вибірки та нечіткої моделі «входи — вихід». Недоліком даних методів є те, що функції приналежності однакових за змістом нечітких множин виходять різними в результаті ідентифікації різних залежностей «входи — вихід». Отже, функція приналежності стає досить чуттєвою до навчаючої вибірки та структури нечіткої моделі.
Метод побудови функцій приналежності шляхом кластеризації експериментальних даних. Будемо вважати, що відомі числовіпарні порівняння можна подати матрицею відношень А = {а ij }, де а ij = w i /w j (операція розподілу).
На практиці експерт сам формує матрицю А, при цьому передбачається, що діагональні елементи дорівнюють 1, а для елементів, симетричних щодо головної діагоналі, а ij = 1/а ji , тобто якщо один елемент оцінюється як в а разів більш значущий ніж інший, то цей останній має бути в 1/а разів більш значущим, ніж перший. У загальному випадку задача зводиться до пошуку вектора w, що задовольняє рівнянню вигляду: Aw = ? max w, де ? max — найбільше власне значення матриці А. Оскільки матриця А позитивна за побудовою, розв’язок даної задачі існує і є позитивним.
Обмеженням методів попарного порівняння є використання суб’єктивної інформації і деяких припущень при перетворенні її в ступені приналежності нечітких множин.
Оптимізаційні методи побудови функцій приналежності засновані на параметричній ідентифікації нечітких моделей за експериментальними даними «входи — вихід», при якій оптимізують параметри функцій приналежності з метою мінімізації відхилення між експериментальними даними і результатами нечіткого моделювання. Використання оптимізаційного підходу позбавляє суб’єктивізму побудови функцій приналежності, однак замість цього потребує навчаючої вибірки та нечіткої моделі «входи — вихід». Недоліком даних методів є те, що функції приналежності однакових за змістом нечітких множин виходять різними в результаті ідентифікації різних залежностей «входи — вихід». Отже, функція приналежності стає досить чуттєвою до навчаючої вибірки та структури нечіткої моделі.
Метод побудови функцій приналежності шляхом кластеризації експериментальних даних. Будемо вважати, що відомі числовіа ij = w i /w j (операція розподілу).
На практиці експерт сам формує матрицю А, при цьому передбачається, що діагональні елементи дорівнюють 1, а для елементів, симетричних щодо головної діагоналі, а ij = 1/а ji , тобто якщо один елемент оцінюється як в а разів більш значущий ніж інший, то цей останній має бути в 1/а разів більш значущим, ніж перший. У загальному випадку задача зводиться до пошуку вектора w, що задовольняє рівнянню вигляду: Aw = ? max w, де ? max — найбільше власне значення матриці А. Оскільки матриця А позитивна за побудовою, розв’язок даної задачі існує і є позитивним.
Обмеженням методів попарного порівняння є використання суб’єктивної інформації і деяких припущень при перетворенні її в ступені приналежності нечітких множин.
Оптимізаційні методи побудови функцій приналежності засновані на параметричній ідентифікації нечітких моделей за експериментальними даними «входи — вихід», при якій оптимізують параметри функцій приналежності з метою мінімізації відхилення між експериментальними даними і результатами нечіткого моделювання. Використання оптимізаційного підходу позбавляє суб’єктивізму побудови функцій приналежності, однак замість цього потребує навчаючої вибірки та нечіткої моделі «входи — вихід». Недоліком даних методів є те, що функції приналежності однакових за змістом нечітких множин виходять різними в результаті ідентифікації різних залежностей «входи — вихід». Отже, функція приналежності стає досить чуттєвою до навчаючої вибірки та структури нечіткої моделі.
Метод побудови функцій приналежності шляхом кластеризації експериментальних даних. Будемо вважати, що відомі числовіментів, симетричних щодо головної діагоналі, а ij = 1/а ji , тобто якщо один елемент оцінюється як в а разів більш значущий ніж інший, то цей останній має бути в 1/а разів більш значущим, ніж перший. У загальному випадку задача зводиться до пошуку вектора w, що задовольняє рівнянню вигляду: Aw = ? max w, де ? max — найбільше власне значення матриці А. Оскільки матриця А позитивна за побудовою, розв’язок даної задачі існує і є позитивним.
Обмеженням методів попарного порівняння є використання суб’єктивної інформації і деяких припущень при перетворенні її в ступені приналежності нечітких множин.
Оптимізаційні методи побудови функцій приналежності засновані на параметричній ідентифікації нечітких моделей за експериментальними даними «входи — вихід», при якій оптимізують параметри функцій приналежності з метою мінімізації відхилення між експериментальними даними і результатами нечіткого моделювання. Використання оптимізаційного підходу позбавляє суб’єктивізму побудови функцій приналежності, однак замість цього потребує навчаючої вибірки та нечіткої моделі «входи — вихід». Недоліком даних методів є те, що функції приналежності однакових за змістом нечітких множин виходять різними в результаті ідентифікації різних залежностей «входи — вихід». Отже, функція приналежності стає досить чуттєвою до навчаючої вибірки та структури нечіткої моделі.
Метод побудови функцій приналежності шляхом кластеризації експериментальних даних. Будемо вважати, що відомі числовітора w, що задовольняє рівнянню вигляду: Aw = ? max w, де ? max — найбільше власне значення матриці А. Оскільки матриця А позитивна за побудовою, розв’язок даної задачі існує і є позитивним.
Обмеженням методів попарного порівняння є використання суб’єктивної інформації і деяких припущень при перетворенні її в ступені приналежності нечітких множин.
Оптимізаційні методи побудови функцій приналежності засновані на параметричній ідентифікації нечітких моделей за експериментальними даними «входи — вихід», при якій оптимізують параметри функцій приналежності з метою мінімізації відхилення між експериментальними даними і результатами нечіткого моделювання. Використання оптимізаційного підходу позбавляє суб’єктивізму побудови функцій приналежності, однак замість цього потребує навчаючої вибірки та нечіткої моделі «входи — вихід». Недоліком даних методів є те, що функції приналежності однакових за змістом нечітких множин виходять різними в результаті ідентифікації різних залежностей «входи — вихід». Отже, функція приналежності стає досить чуттєвою до навчаючої вибірки та структури нечіткої моделі.
Метод побудови функцій приналежності шляхом кластеризації експериментальних даних. Будемо вважати, що відомі числовіприналежності відомі, наприклад, µ
А (х i ) = w i , i = 1, 2, ..., n, то попарні порівняння можна подати матрицею відношень А = {а ij }, де а ij = w i /w j (операція розподілу).
На практиці експерт сам формує матрицю А, при цьому передбачається, що діагональні елементи дорівнюють 1, а для елементів, симетричних щодо головної діагоналі, а ij = 1/а ji , тобто якщо один елемент оцінюється як в а разів більш значущий ніж інший, то цей останній має бути в 1/а разів більш значущим, ніж перший. У загальному випадку задача зводиться до пошуку вектора w, що задовольняє рівнянню вигляду: Aw = ? max w, де ? max — найбільше власне значення матриці А. Оскільки матриця А позитивна за побудовою, розв’язок даної задачі існує і є позитивним.
Обмеженням методів попарного порівняння є використання суб’єктивної інформації і деяких припущень при перетворенні її в ступені приналежності нечітких множин.
Оптимізаційні методи побудови функцій приналежності засновані на параметричній ідентифікації нечітких моделей за експериментальними даними «входи — вихід», при якій оптимізують параметри функцій приналежності з метою мінімізації відхилення між експериментальними даними і результатами нечіткого моделювання. Використання оптимізаційного підходу позбавляє суб’єктивізму побудови функцій приналежності, однак замість цього потребує навчаючої вибірки та нечіткої моделі «входи — вихід». Недоліком даних методів є те, що функції приналежності однакових за змістом нечітких множин виходять різними в результаті ідентифікації різних залежностей «входи — вихід». Отже, функція приналежності стає досить чуттєвою до навчаючої вибірки та структури нечіткої моделі.
Метод побудови функцій приналежності шляхом кластеризації експериментальних даних. Будемо вважати, що відомі числові
µ
1 , y
2 , ..., y v ), де v — кількість значень. Розглядаються дві задачі побудови функцій приналежності за цими даними.
Перша задача — синтез нечітких множин Y
1 , Y
2 , …, Y C , функції приналежності яких відповідають скупченням даних (y
1 , y
2 , ...,
y v ): (y
1 , y
2 , ..., y v ) ? (µ ij ), i = 1, 2, …, v, j = 1, 2, …, C, де µ ij — ступінь приналежності елемента нечіткій множині Y j . Для розв’язання даної задачі використовують нечітку кластеризацію за методом нечітких c-середніх.
Друга задача — синтез однієї нечіткої множини Y, функція приналежності якої відповідає розподілу даних (y
1 , y
2 , ..., y v ), що відповідає відображенню вигляду: (y
1 , y
2 , ..., y v ) ? (µ
1 , µ
2 , …, µ v ,), i = 1, 2, …, v, j = 1, 2, …, C, де де µ i — ступінь приналежності елемента нечіткій множині Y. Для розв’язання даної задачі використовують потенційну функцію з гірського методу кластеризації.
Потенціал точки — це число, що показує, наскільки щільно в її околиці розташовані експериментальні дані. Чим вищий потенціал точки, тим ближче вона до центру кластера. Потенціал точки y i , i = 1, 2, …, v, визначається за формулою: відає відображенню вигляду: (y
1 , y
2 , ..., y v ) ? (µ
1 , µ
2 , …, µ v ,), i = 1, 2, …, v, j = 1, 2, …, C, де де µ i — ступінь приналежності елемента нечіткій множині Y. Для розв’язання даної задачі використовують потенційну функцію з гірського методу кластеризації.
