До фрактальних об’єктів традиційно належать такі, що характеризуються розпливчастими межами, наприклад хмари, які щомиті ускладнюються (структура щоразу згущується або навпаки). Це об’єкти зі структурою, що ускладнюється або навпаки, які мають властивість масштабної інваріантності.
Фрактальні об’єкти є множинами одно-, дво- і тривимірного просторів, що мають специфічні властивості. Їхні якісно типові риси: наявність тонкої структури і надвисока ламаність
меж складових, що унеможливлює опис традиційними засобами евклідової геометрії; ієрархія самоподібності деталей об’єкта на різних масштабних рівнях. Отже, фрактал — це простий геометричний об’єкт, який неможливо назвати або віднести ні до лінії, ні до площини, ні до поверхні (куба) тощо. Істотна ознака фрактала: виглядає однаково, у якому б масштабі він не розглядався б.
Геометричні об’єкти пряма і площина визначаються як самоподібні: для елементарних перетворень (паралельне перенесення, поворот) вони залишаються такими ж. Це так звана повна симетрія. Між іншим, незалежність від перетворень називається в математиці симетрією. Наприклад, коло при повороті є самоподібним, це приклад гладкого фрактала. Але загалом фрактальний об’єкт — принципово не гладкий (не диференційовний), його поверхня повсюди ламана (зубчаста), складної структури й динаміки.
Самоподібність (автомодельність) — властивість множини точок, геометрична структура яких в одному масштабі подібна до її геометричної структури в іншому масштабі.
Автомодельність — особлива форма симетрії аналізованої економічної системи, яка проявляється в тому, що зміна масштабу незалежної змінної компенсується перетворенням подібності інших динамічних змінних. Автомодельність сприяє зменшенню кількості незалежних змінних.
Масштабна інваріантність (скейлінг) — властивість незмінності рівнянь, якими описується деяка економічна теорія або економічні об’єкт чи процес, при змінюваності всіх відстанейі проміжків часу в однакову кількості разів.
Масштабну інваріантність інколи називають подібністю або автомодельністю, тобто властивість подібностей розподілу характеристик економічної системи для різних моментів часу.
Властивість самоподібності як наслідок інваріантності об’єктів залежно від певних перетворень, що притаманно прямій (d = 1), площині (d = 2) і тривимірному фазовому економічному простору (d = 3).
Геометрична подібність характеризує наявність у геометричної фігури однакової форми незалежно від розмірів. Для двох подібних фігур відношення відстаней між довільними двома точками є величина стала — коефіцієнт подібності.
Геометричне перетворення, для якого всі фігури переходять у подібні до них з однаковим коефіцієнтом подібності, називається перетворенням подібності (гомотетією або скейлінгом).
Фізична подібність, узагальнюючи поняття геометричної подібності, означає подібність двох явищ, коли вони розрізняються лише кількісними значеннями параметрів. Фізична подібність дає змогу результати переносити розрахунків модельних систем на реальні вимірювання, які отримати інколи неможливо або вони викликають певні труднощі.
Наостанок зауважимо, що прикладом економічної самоподібності (у певних просторових або часових межах) є ланцюжок системи господарювання, а саме: «робоче місце — виробнича дільниця — цех — завод — концерн (об’єднання) — галузь».
Від опису фрактала перейдемо до визначення цього поняття, відразу наголосивши, що строгої та досить повної його дефініції поки що нема.
Визначення 1. Фракталом називається структура, графічне відображення якої складається із частин, що описує досліджувану економічну систему, які в певному сенсі подібні до цілого (системи).
Визначення 2. Геометрична фігура, у якій той самий фрагмент повторюється зі зменшенням або збільшенням масштабу (у просторі та часі).
Визначення 3. Фрактал — це така множина (об’єкт), яка має хаусдорфову H (фрактальну) розмірність, більшу за топологічну d.
Визначення 4. Фрактал характеризується як множина, що реалізована на найменших (допустимих) масштабах; є нерегулярною структурою (не описується традиційними засобами) як локально, так і глобально (на рівні структури в цілому).
Дефініції терміна «фрактал» не є бездоганними чи досконалими, але всі розуміють, про що йдеться, і застосовують однаково.
Характерною особливістю фрактального утворення є те, що його структура проявляється лише за сумісного розділення кількох рівнів, різниця масштабів яких ускладнює наочне уявлення про цю структуру. Взагалі кажучи, ієрархічна підпорядкованість і масштабна інваріантність — прояви фрактальності.
Однорідні самоподібні фрактальні множини характеризуються єдиним значенням фрактальної розмірності.
Фрактальні криві, розмірність яких не є сталою величиною, називаються неоднорідними.
За аналогією з визначенням самоподібних об’єктів вводиться поняття самоафінних об’єктів: вихідна множина розбивається на N неперетинних частин, кожна з яких отримується з початкової цілісної за допомогою афінного перетворення подібності.
Сутність афінного перетворення.Афінне перетворення стискує або розтягує фігуру в різних напрямах по-різному. Діагональне афінне перетворення визначається задаваннням певної нерухомої точки з координатами i a і різних коефіцієнтів i r за формулою: , де i x — координати афінного простору. Воно виключає обертання об’єктів.
Для самоафінних множин неможливо знайти розмірність подібності.
Взагалі кажучи, афінна геометрія — це те, що залишається від евклідової, якщо з неї вилучити вимірювання довжин, площ, кутів тощо.
Фрактальні властивості з’являються цілком природно у вивченні економічних процесів, наприклад в оцінюванні комерційного ризику, у фінансовій сфері. Також фрактальну властивість мають динаміка ринкових цін, вартість цінних паперів, розподіл доходів населення тощо.
Зауваження. Поява фрактальних властивостей спричиняється, головним чином, постійним дрейфом елементів і складових економічної системи з плином часу, наявністю зворотних полярних зв’язків, нелінійним характером взаємовпливів між ними, що відбуваються в умовах недостатньої визначеності й неповноти інформації про перебування на ринку товарів, цілеспрямованого співіснування зовнішнього середовища ендогенних якостей економічного механізму.
