Поновлюваною (англ. renewable) називають сукупність, склад якої постійно поновлюється — одні елементи вибувають, інші з’являються. У кожний момент часу t поновлювана сукупність об’єднує множину елементів (одиниць), які надійшли в різний час і мають різний вік. Процес поновлення пов’язаний із тривалістю перебування окремих елементів (одиниць) у межах сукупності. Вік (чи термін служби) окремих елементів сукупності — величина випадкова, оскільки на її значення впливає безліч причин, а процес вибуття має стохастичний, ймовірнісний характер. Дослідивши закономірність розподілу імовірностей вибуття одиниць сукупності залежно від віку, можна визначити кількість одиниць, що доживають до певного віку, ймовірність досягнення того чи іншого віку, середню тривалість майбутнього перебування в даному віці та інші характеристики. Методами статистики визначаються ймовірності вибуття елементів різного віку, і на цій основі складаються таблиці вибуття. Проблема поновлення безпосередньо пов’язана з дослідженням процесів простого і розширеного відтворення властивостей динамічних і складних за структурою систем.
Класичним прикладом поновлюваної сукупності є людська популяція. Смертність і народжуваність — це процеси заміни старших поколінь, які поступово вимирають, новими. Процеси поновлення поколінь описує матрична модель відтворення населення. Історично саме в демографічній, а згодом в актуарній (страховій) статистиці набув розвитку метод прогнозування на основі матричної моделі відтворення населення, яка ґрунтується на даних демографічних таблиць смертності або дожиття.
На відміну від екстраполяції матрична модель відтворення населення, описуючи процес поновлення поколінь, встановлює зв’язок між чисельністю і віковою структурою населення, з одного боку, та режимом народжуваності і порядком вимирання — з другого. До класу матричних моделей, що враховують вікову інтенсивність демографічних процесів, належить дискретна модель вікових пересувань. Довжину періоду, на який проводиться одне пересування, називають кроком пересувань. Найчастіше цей крок становить один рік.
Перспективні розрахунки чисельності та складу населення методом вікових пересувань ґрунтуються на матеріалах переписів населення та вікових коефі-
цієнтах смертності й народжуваності. Розрахунки виконують окремо для чоловіків і окремо для жінок через різний рівень їхньої смертності. Стартують з даних останнього перепису населення, тобто рік проведення перепису є базовим, нульовим. Кожного наступного року особи, враховані під час перепису, стануть на рік старші, а їхня чисельність зменшиться на кількість тих, хто не доживе до наступного року. Імовірності дожиття та вимирання одночасно живущих різних поколінь містяться в таблицях смертності (дожиття), складених методом умовведено в табл. 1.2.
ного покоління (базова чисельність l о = 100 000). Зміст і взаємозв’язок коефіцієнтів смертності і дожиття з іншими показниками демографічних таблиць наного покоління (базова чисельність l о = 100 000). Зміст і взаємозв’язок коефіцієнтів смертності і дожиття з іншими показниками демографічних таблиць на
Таблиця 1.2
ОСНОВНІ ПОКАЗНИКИ ТАБЛИЦІ СМЕРТНОСТІ АБО ДОЖИТТЯ
| Вік населення, років |
Кількість осіб, які доживають до віку х |
Імовірність померти в інтервалі віку від х до (х + 1) |
Імовірність дожити в інтервалі віку від х до (х + 1) |
Кількість осіб, які помирають в інтервалі віку від х до (х + 1) |
| х |
l x |
q x |
p x |
d x |
| 0 |
l 0 = 100 000 |
q x = d x : l x |
p x = l x+1 : l x |
d x = l x – l x+1 |
| 1 |
l x+1 = l x – d x |
|
|
|
| … |
|
|
|
|
| Взаємозв’язок показників |
l x+1 = l x · p x |
q x = 1 – p x |
p x = 1 – q x |
d x = l x · q x |
де x S — чисельність населення х-вікової групи; х де L x розраховують у кожній x-віковій групі як середню арифметичну просту:
P x
— коефіцієнт дожиття до наступного (х + 1) віку, на відміну від імовірності дожиття p x , визначається не моментними числами тих, хто доживає до віку (x + 1), а середніми числами осіб, які живуть в інтервалі віку від x до (x + 1): (x + 1), а середніми числами осіб, які живуть в інтервалі віку від x до (x + 1): х х L L P
1+ = . х х L L P
1+ = . P x
— коефіцієнт дожиття до наступного (х + 1) віку, на відміну від імовірності дожиття p x , визначається не моментними числами тих, хто доживає до віку (x + 1), а середніми числами осіб, які живуть в інтервалі віку від x до (x + 1): х х L L P
1+ = . .
2
1+ + = xx x ll L
Скажімо, якщо на момент останнього перепису вихідна чисельність насе.
2
1+ + = xx x ll L
Скажімо, якщо на момент останнього перепису вихідна чисельність насе.
2
1+ + = xx x ll L
Скажімо, якщо на момент останнього перепису вихідна чисельність населення x-вікової групи становила S
0 х , то через рік, у віці (х + 1), буде становити S = хх
РS
0 , де Р х — коефіцієнт дожиття в інтервалі віку від х до (х +1). Процедуру пересування застосовують до всіх вікових груп реального населення, крім
1+x хх , де Р х — коефіцієнт дожиття в інтервалі віку від х до (х +1). Процедуру пересування застосовують до всіх вікових груп реального населення, крім
1+x = хх
РS
0 , де Р х — коефіцієнт дожиття в інтервалі віку від х до (х +1). Процедуру пересування застосовують до всіх вікових груп реального населення, крім.
2
1+ + = xx x ll L
Скажімо, якщо на момент останнього перепису вихідна чисельність населення x-вікової групи становила S
0 х , то через рік, у віці (х + 1), буде становити
1+x S = хх
РS
0 , де Р х — коефіцієнт дожиття в інтервалі віку від х до (х +1). Процедуру пересування застосовують до всіх вікових груп реального населення, крім
1
В основі методів демографічних таблиць лежить фундаментальна передумова замкненості (закритості) покоління, відповідно до якої міграція населення не враховується.
нульової. Чисельність нульової групи визначається на основі прогнозних рівнів народжуваності і смертності немовлят.
Схему розрахунку кількості тих, хто житиме в кожному наступному році прогнозного періоду, з-поміж тих, хто врахований переписом населення, наведено у табл. 1.3. У вільних прямокутниках кожного періоду розміщується кількість дітей, які народилися після перепису населення.
Описана процедура ітеративно повторюється стільки разів, скільки років охоплює прогнозний період. Прогнозну чисельність усього населення за окремими віковими групами визначають як суму відповідної чисельності чоловіків і жінок.
Таблиця 1.3
СХЕМА ПЕРЕСУВАННЯ ВІКОВИХ ГРУП
| 3 |
P 3 |
0 3 S |
2 0 2 PS |
2 1 2 PS |
2 2 2 PS |
| 4 |
P 4 |
0 4 S |
3 0 3 PS |
3 1 3 PS |
3 2 3 PS |
| 5 |
P 5 |
0 5 S |
4 0 4 PS |
4 1 4 PS |
4 2 4 PS |
Методологічно демографічний прогноз виступає у вигляді оцінки майбутньої чисельності та статевовікової структури населення за даними про динаміку демографічних параметрів у минулому з урахуванням прийнятих гіпотез щодо їхньої динаміки в майбутньому. Тобто під час прогнозування минулі тенденції переносяться на майбутнє. Обґрунтованість і точність прогнозу залежить від точності оцінок стартового населення і точності передбачуваних у майбутньому параметрів народжуваності і смертності.
Аналогічні процеси поновлення відбуваються в сукупностях матеріальних предметів, скажімо, введення в експлуатацію та виведення з експлуатації основних засобів, товарів тривалого користування тощо. Методами статистики можна визначити термін служби об’єктів певного типу, можна встановити порядок вибуття, тобто з’ясувати, скільки об’єктів, уведених в експлуатацію одночасно, необхідно буде вивести з експлуатації через одну, дві, три і більше встановлених одиниць часу (день, тиждень, місяць, рік). Визначаючи термін служби засобів, припускають, що в процесі їх експлуатації буде забезпечено всі умови для нормального функціонування (технічний огляд, ремонт тощо).
Статистичними методами, за аналогією з таблицями смертності населення, складають таблиці вибуття більш-менш однорідних за терміном служби об’єктів. При цьому коефіцієнти дожиття і коефіцієнти вибуття об’єктів розглядають як імовірності настання певних подій. Коефіцієнт вибуття p t визначається відношенням кількості об’єктів, що вибули з експлуатації в інтерва
0
За умови простого відтворення, щоб урівноважити виведення об’єктів з експлуатації, необхідно в період t ввести в експлуатацію )(
0 tN об’єктів: де w — верхня межа терміну експлуатації; за цей період процес поновлення відбувається в повному обсязі.
0 tN визначається як зважена сума об’єктів, уведених в експлуатацію в попередні періоди. Вагами виступають відповідні коефіцієнти вибуття p t , сума ваг дорівнює одиниці. На основі рівняння поновлення можна послідовно визначити кількість об’єктів, що підля………………………….
Це основне рівняння поновлення, в якому )(
У табл. 1.4 наведено приклад застосування рекурентних рівнянь поновлення для розрахунку кількості об’єктів, що підлягають заміні. Припустимо, що початково введено в експлуатацію 1000 приладів, максимальний термін служби яких
три роки (w = 3), а коефіцієнти вибуття становлять: p
1 =
0,1; p
2 = 0,4; p
3 = 0,5. У другій графі таблиці наведено кількість нових приладів, які належить ввести в експлуатацію в окремі роки.
Графи 3—5 показують, скільки з цих об’єктів необхідно буде замінити після першого року, після двох і після трьох років експлуатації. Наприклад, у четвертому році підлягає заміні 581 прилад, з яких 41 було введено за рік до того (410 · 0,1), 40
— за два роки (100 · 0,4) і 500 — за три роки (1000 · 0,5). У таблиці кількість приладів, які щороку підлягають заміні
0 N (t), можна визначити підсумовуванням чисел по косих лініях.три роки (w = 3), а коефіцієнти вибуття становлять: p
1 =
0,1; p
2 = 0,4; p
3 = 0,5. У другій графі таблиці наведено кількість нових приладів, які належить ввести в експлуатацію в окремі роки.
Графи 3—5 показують, скільки з цих об’єктів необхідно буде замінити після першого року, після двох і після трьох років експлуатації. Наприклад, у четвертому році підлягає заміні 581 прилад, з яких 41 було введено за рік до того (410 · 0,1), 40
— за два роки (100 · 0,4) і 500 — за три роки (1000 · 0,5). У таблиці кількість приладів, які щороку підлягають заміні
0 N (t), можна визначити підсумовуванням чисел по косих лініях.
Таблиця 1.4
РОЗРАХУНОК КІЛЬКОСТІ ПОНОВЛЮВАНИХ ПРИЛАДІВ
| Термін |
|
Кількість вибулих об’єктів, які необхідно поновити |
|
служби, t
0 N (t) p
1 = 0,1p
2 = 0,4p
3 = 0,5
Термін служби, t
0 N (t) p
1 = 0,1p
2 = 0,4p
3 = 0,5
А
Як бачимо, динаміка поновлень зазнає коливань. Це так звані цикли поновлення, вони зумовлені концентрацією введення в експлуатацію нових об’єктів. Оскільки цикли поновлення тягнуть за собою коливання попиту і ринкової кон’юнктури, у системі управління важливо передбачити шляхи згладжування цих циклів. За умови розширеного відтворення методика моделювання поновлюваних сукупностей дещо ускладнюється.
