Posibniki.com.ua Інформатика Нелінійні моделі економічних процесів 5.3. Застосування катастрофи «складка» в моделюванні економічної політики держави


< Попередня  Змiст  Наступна >

5.3. Застосування катастрофи «складка» в моделюванні економічної політики держави


Фіскальна, або бюджетна (контролює державні видатки і податки), і монетарна (пропозиція грошей) політики можуть бути описані математичними моделями, які розробляються з використанням гладких поверхонь (без особливостей), зокрема площини.

Як відомо, значення загального рівня цін характеризує стан економіки, який залежить, зокрема, від обсягу виробництва (ВВП) і грошової пропозиції. Розглянемо цю залежність, попередньо скориставшись лінійним перетворенням: F де р — індекс загального рівня поточних цін; F p — те саме, але для гіпотетичної економіки (повної зайнятості працездатного населення — нульове безробіття, відсутність інфляції чи дефляції); Y — фізичний обсяг ВВП; — те саме, але для гіпотетичної економіки, що засвідчується нижнім індексом .F

Зазначене лінійне перетворення усуває відмінності у розмірностях макроекономічних показників — дефляції. Нерівність; — стану гіпотетичної економіки.

Зазначене лінійне перетворення усуває відмінності у розмірностях макроекономічних показників — дефляції. Нерівність; — стану гіпотетичної економіки.

0>p

0<p

0<y

0>y

0=y: додатне значення

0>p поточного рівня цін відповідає інфляції, а

0<p

0<y відповідає рецесії або депресії виробництва;

0>y — буму виробництва

0=y

Спершу опишемо класичну макроекономічну модель, що відображає взаємодії між інфляцією, дефляцією або нормальним рівнем цін та попитом і пропозицією, наявним національним доходом. Можливі стани економічної системи зображено на рис. 5.4.

Рис. 5.4. Геометричне зображення економічних станів де р — індекс цін, що характеризує рівень цін; y — національний дохід. Прямі ADструктурно описують агрегований попит; SRAS — короткострокова пропозиція; LRAS — пропозиція в довгостроковому періоді

Рис. 5.4. Геометричне зображення економічних станів де р — індекс цін, що характеризує рівень цін; y — національний дохід. Прямі ADструктурно описують агрегований попит; SRAS — короткострокова пропозиція; LRAS — пропозиція в довгостроковому періоді

На рис. 5.4 відображено стандартні (лінійні, у межах класичної економіки) співвідношення між національним доходом, цінами, агрегованими попитом AD і пропозицією в короткостроковому SRAS і довгостроковому LRAS періодах. Точки перетину LRAS і SRAS i дають очіго (не першого) степеня, але такою, щоб вона зростала зі збільшенням ціни і навпаки. Висунуті умови задовольняє функція вигляду де s y — обсяг пропозиції для короткострокового періоду; коефіцієнт ? — стала величина; m

)2 ,1(=ip e i . Точки перетину прямих ліній пропозиції SRAS

1 і попиту AD j відповідають стану інфляції (для

1=j ), дефляції (для

2=j ) і нормальної економіки

1=j

2=j

0=j куваний рівень цін )2 ,1(=ip e i . Точки перетину прямих ліній пропозиції SRAS

1 і попиту AD j відповідають стану інфляції (для

1=j ), дефляції (для

2=j ) і нормальної економіки (для

0=j ). Нелінійна функція агрегованої пропозиції має бути не лише поліномом найнижчо,?

3s ympp=+

5.3) ,?

3s ympp=+

5.3)

— скалярний параметр. Сімейство графіків функції (5.3) зображено на рис. 5.5,

Рис. 5.5. Графічні функції (5.3)

Рис. 5.5. Графічні функції (5.3)

1?=

32

427myD+= . Для від’ємного його значення існують 3 дійсні різні корені; для 0=D — три

32

427myD+= . Для від’ємного його значення існують 3 дійсні різні корені; для 0=D — тривіальний корінь кратності три; для 0>D — один дійсний корінь і два комплексно спряжені.де для простоти

1?= . Дискримінант кубічного рівняння (5.3) обчислюється за формулою

32

427myD+= . Для від’ємного його значення існують 3 дійсні різні корені; для 0=D — тривіальний корінь кратності три; для 0>D — один дійсний корінь і два комплексно спряжені.

Для 0>m крива принципово не відрізняється від прямої лінії SRAS у разі стаціонарної макромоделі (рис. 5.4). Але для 0<m характер поведінки кривої змінюється: вісь LRAS перетинатиметься на додатній ділянці або від’ємній, що відповідає двом або трьом точкам перетину. З економічного погляду зору це означає, що нормалізація ринку товарів і послуг відбуватиметься як за нормальної, так і дефляційної або інфляційної ціни.

Параметр m детермінується так: кромоделі (рис. 5.4). Але для 0<m характер поведінки кривої змінюється: вісь LRAS перетинатиметься на додатній ділянці або від’ємній, що відповідає двом або трьом точкам перетину. З економічного погляду зору це означає, що нормалізація ринку товарів і послуг відбуватиметься як за нормальної, так і дефляційної або інфляційної ціни.

Параметр m детермінується так:

Для 0>m крива принципово не відрізняється від прямої лінії SRAS у разі стаціонарної макромоделі (рис. 5.4). Але для 0<m характер поведінки кривої змінюється: вісь LRAS перетинатиметься на додатній ділянці або від’ємній, що відповідає двом або трьом точкам перетину. З економічного погляду зору це означає, що нормалізація ринку товарів і послуг відбуватиметься як за нормальної, так і дефляційної або інфляційної ціни.

Параметр m детермінується так: F F M M M MM m?? ? =1 )( , пропозиція грошей для економіки повної зайнятості. Від’ємне значення 0<m параметра свідчить про надлишок пропозиції грошей, їх більше, ніж для нормальної економіки; 0>m — нестача грошей; 0=m — відповідає стану нормальної економіки, де грошей достатньо, щоб не провокувати інфляцію чи дефляцію.

Надлишкова пропозиція грошей (0<m) деформує пряму лінію SRAS короткострокової пропозиції товарів і послуг. У разі нестачі грошей (0>m) очікування основних агентів ринку не змінюються доти, доки маса грошей не стане надлишковою.

Умова супернейтральності грошей за трансформаційної економіки зводиться до вивчення ситуацій, викликаних дискретним характером зміни параметра m для

0=y , тобто в площині дчить про надлишок пропозиції грошей, їх більше, ніж для нормальної економіки; 0>m — нестача грошей; 0=m — відповідає стану нормальної економіки, де грошей достатньо, щоб не провокувати інфляцію чи дефляцію.

Надлишкова пропозиція грошей (0<m) деформує пряму лінію SRAS короткострокової пропозиції товарів і послуг. У разі нестачі грошей (0>m) очікування основних агентів ринку не змінюються доти, доки маса грошей не стане надлишковою.

Умова супернейтральності грошей за трансформаційної економіки зводиться до вивчення ситуацій, викликаних дискретним характером зміни параметра m для

0=y , тобто в площині нестача грошей; 0=m — відповідає стану нормальної економіки, де грошей достатньо, щоб не провокувати інфляцію чи дефляцію.

Надлишкова пропозиція грошей (0<m) деформує пряму лінію SRAS короткострокової пропозиції товарів і послуг. У разі нестачі грошей (0>m) очікування основних агентів ринку не змінюються доти, доки маса грошей не стане надлишковою.

Умова супернейтральності грошей за трансформаційної економіки зводиться до вивчення ситуацій, викликаних дискретним характером зміни параметра m для

0=y , тобто в площині

Надлишкова пропозиція грошей (0<m) деформує пряму лінію SRAS короткострокової пропозиції товарів і послуг. У разі нестачі грошей (0>m) очікування основних агентів ринку не змінюються доти, доки маса грошей не стане надлишковою.

Умова супернейтральності грошей за трансформаційної економіки зводиться до вивчення ситуацій, викликаних дискретним характером зміни параметра m для

0=y , тобто в площині пропозиції товарів і послуг. У разі нестачі грошей (0>m) очікування основних агентів ринку не змінюються доти, доки маса грошей не стане надлишковою.

Умова супернейтральності грошей за трансформаційної економіки зводиться до вивчення ситуацій, викликаних дискретним характером зміни параметра m для

0=y , тобто в площині m

0=y F F F M M M MM m?? ? =1 )( , де величина M — поточна пропозиція грошей у номінальному виразі; F M — номінальна пропозиція грошей для економіки повної зайнятості. Від’ємне значення 0<m параметра свідчить про надлишок пропозиції грошей, їх більше, ніж для нормальної економіки; 0>m — нестача грошей; 0=m — відповідає стану нормальної економіки, де грошей достатньо, щоб не провокувати інфляцію чи дефляцію.

Надлишкова пропозиція грошей (0<m) деформує пряму лінію SRAS короткострокової пропозиції товарів і послуг. У разі нестачі грошей (0>m) очікування основних агентів ринку не змінюються доти, доки маса грошей не стане надлишковою.

Умова супернейтральності грошей за трансформаційної економіки зводиться до вивчення ситуацій, викликаних дискретним характером зміни параметра m для

0=y , тобто в площині

LRAS. Тоді розглядається рівняння величини y і m.

0 =+mpp , (5.3а)

0 =+mpp , (5.3а) ? ? ? ? ? ? ? ? ?= p m p , що означає таке: для нормальної економіки (

0=y ) зміна рівня цін відбувається пропорційно реальній вартості грошової маси.

Монетарна політика в чистому вигляді може продовжувати інфляцію і дефляцію: перехід від одного явища до іншого відбуватиметься плавно (поступово) для 0>m і в одному дійс? ? ? ? ? ? ? ? ?= p m p , що означає таке: для нормальної економіки (

0=y ) зміна рівня цін відбувається пропорційно реальній вартості грошової маси.

Монетарна політика в чистому вигляді може продовжувати інфляцію і дефляцію: перехід від одного явища до іншого відбуватиметься плавно (поступово) для 0>m і в одному дійсвід одного явища до іншого відбуватиметься плавно (поступово) для 0>m і в одному дійс

0=pmp?=

2 , що може мати місце навіть для плавних варіацій з якого випливає рівність ? ? ? ? ? ? ? ? ?= p m p , що означає таке: для нормальної економіки (

0=y ) зміна рівня цін відбувається пропорційно реальній вартості грошової маси.

Монетарна політика в чистому вигляді може продовжувати інфляцію і дефляцію: перехід від одного явища до іншого відбуватиметься плавно (поступово) для 0>m і в одному дійсному корені

0=p рівняння (5.3а) і стрибкоподібно — раптова і швидка зміна ціни як перехід від однієї до іншої гілки параболи mp?=

2 , що може мати місце навіть для плавних варіацій

Будь-яка економіка характеризується єдністю товарного і грошового ринків.

Нехай існує рівновага на товарному ринку, тобто вигляду де * p означає, що функція короткострокового попиту визначена у критичних точках потенціальної функції.

Також вважається, що го доходу, на яку є попит, до відносної швидкості v обігу грошової одиниці, що записується у вигляді формули

Також вважається, що го доходу, на яку є попит, до відносної швидкості v обігу грошової одиниці, що записується у вигляді формули

mmm sd == . Інакше кажучи, фізична маса продукту у національноmmm sd == . Інакше кажучи, фізична маса продукту у національнокупується за реальну вартість грошової маси * p m , пропорційної *3** * )(),(mppmpv p m += ? ? ? ? ? ? ? ? . *3** * )(),(mppmpv p m += ? ? ? ? ? ? ? ? .

Остання тотожність переписується звіди випливає вираз швидкості

Отже, швидкість обігу грошей зростає для збільшення відхилень ціни від рівноважного

yp v m * *

1 ? ? ? ? ? ? ? = матимемо рівність вигляду (5.3 б), яка записується так: рівня і падає, коли зростає грошова маса. З огляду на кембриджське рівняння yp v m * *

1 ? ? ? ? ? ? ? = матимемо рівність вигляду (5.3 б), яка записується так:

2*4** )( )(pmpyp+= .

2*4** )( )(pmpyp+= .

Формально ця рівність — домножений на * p вираз (5.3 б).

У загальному випадку економічної нерівноважності останній результат переписується у вигляді потенціальної функції трансформаційної економіки

Вона описує дисбаланс між ціновим виразом обсягу національного доходу y·p і протилежною йому грошовою масою у номінальному виразі, кратною відносно швидкості обігу грошової одиниці.

Вона описує дисбаланс між ціновим виразом обсягу національного доходу y·p і протилежною йому грошовою масою у номінальному виразі, кратною відносно швидкості обігу грошової одиниці.

Отже, числове значення потенціальної функції )(pE для кожної ціни p вказує на стан економіки в умовах загальної нерівноваги на ринках товарів, грошей і факторів виробництва.

Рівняння (5.3), яке описує криву агрегованої пропозиції для короткострокового періоду SRAS, відповідає першій похідній потенціальної функції ),,(ympE , обчисленій у точці * p . Поверхня, утворена сімейством кривих SRAS, представлена множиною критичних точок потенціальної функції або рівноважних станів економічної системи, що визначаються рівно

стями AD = SRAS або AD = SRAS = LRAS, допускаючи нееластичний агрегований попит AD. ds yy p E ?= ? ? .

Якщо є надлишок невикористаних ресурсів (?<SRASAD пропозиція перевищує попит), то ринкові ціни падають, економічна система рухається у напрямку до ближчої критичної точки потенціальної функції (рис. 5.6). стями AD = SRAS або AD = SRAS = LRAS, допускаючи нееластичний агрегований попит AD. Сказане вище відображається формально ds yy p E ?= ? ? .

Якщо є надлишок невикористаних ресурсів (?<SRASAD пропозиція перевищує попит), то ринкові ціни падають, економічна система рухається у напрямку до ближчої критичної точки потенціальної функції (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Крива SRAS градієнтної системи

5.3.1. Трансформаційна економіка як градієнтна система

Процеси квазістатики і динаміки подаються в такий спосіб. Для кожного моменту часу tагрегований попит (значення у кривої AD) задовольняється наявною пропозицією товарів і послуг (значення у на кривій короткострокової пропозиції SRAS). Тобто точка, що відповідає економічній системі, притискується до поверхні, утворюваної сімейством кривих короткострокової пропозиції SRAS: досягається економічна рівновага і економічна система пересува

98 Рис. 5.7. Потенціальна функція та її похідні, рівноважні точки

Рис. 5.7. Потенціальна функція та її похідні, рівноважні точки

У результаті дії ринкових сил та (або) монетарної (змінюваність параметра m) і фіскальної (варіативність змінної у) політики відбувається рух економічної системи по поверхні, утворюваній сімейством кривих короткострокової пропозиції. Отже, економіка належить до систем градієнтного типу, тобто виконується рівність ціальної функції визначено рівняння агрегованої пропозиції

5.3.2. Поверхня рівноважних станів економіки

5.3.2. Поверхня рівноважних станів економіки

Множина кривих SRAS короткострокової пропозиції при варіації величин у і m утворює поверхню зі складкою (зборка Уїтні). Різні перетини такої поверхні зображено на рис. 5.8.

Рис. 5.8. Перетини поверхні короткострокової пропозиції:

Рис. 5.8. Перетини поверхні короткострокової пропозиції:

5.8 а — вигляд прямої; 5.8 б — збоку; 5.8 в — зверху

Зауваження. На рис. 5.8 б показано лінії ціннісних очікувань або рівноважних станів для нормального ринку. На рис. 5.8 в In A — лінія постійної інфляції, а Re B — пряма сталої дефляції.

0427

32 =+my напівкубічної параболи або каспоїди знаходять, користуючись

00

3 * =?+?= ? ? ympp p E p і

030

2

2

2 * =+?= ? ? mp p E p . Воно характеризує множину особливих точок поверхні зі складкою, де економічна система здійснює стрибки з інфляційного листка поверхні на дефляційний і навпаки. Згадувана поверхня утворюється розгорну-

00

3 * =?+?= ? ? ympp p E p і

030

2

2

2 * =+?= ? ? mp p E p . Воно характеризує множину особливих точок поверхні зі складкою, де економічна система здійснює стрибки з інфляційного листка поверхні на дефляційний і навпаки. Згадувана поверхня утворюється розгорну-

Рівняння

0427

32 =+my напівкубічної параболи або каспоїди знаходять, користуючись умовами:

00

3 * =?+?= ? ? ympp p E p і

030

2

2

2 * =+?= ? ? mp p E p . Воно характеризує множину особливих точок поверхні зі складкою, де економічна система здійснює стрибки з інфляційного листка поверхні на дефляційний і навпаки. Згадувана поверхня утворюється розгорну-

2* * )( py p m+= відносно осі змінної * p . Це так звані лінії збалансованих полі

2* * )( py p m+= відносно осі змінної * p . Це так звані лінії збалансованих полі

тими прямими тик. Величина *

1 p відображає купівельну спроможність грошей.

2* * )( py p m+= отримується відношення const

1 * == p y m & & , де dt dm m= & і dt dy y= & , когерентності фіскальної і монетарної політик, коли ціни або купівельна спроможність сталі.

Диференціюванням виразу

2* * )( py p m+= отримується відношення const

1 * == p y m & & , де dt dm m= & і dt dy y= & , когерентності фіскальної і монетарної політик, коли ціни або купівельна спроможність сталі.

5.3.3. Нелінійна модифікація логістичного рівняння як складка

На завершення параграфа зауважимо таке. У моделюванні економічних проблем широко використовується логістичне рівняння , де величина a — внутрішня швидкість зростання без лімітизації з боку середовища; величина d відображає ступінь зменшення згадуваної швидкості за рахунок впливу щільності попу

xdxax)(?= & xdxax)(?= &

2 dxax= немає зростання.

Гіпотезу про лінійний характер зменшення внутрішньої швидкості замінимо на нелінійну, наприклад квадратичну. Тоді модифіковане логістичне рівняння записується ляції (біологічної, економічної тощо). Очевидний факт, що за умови

2 dxax= немає зростання.

Гіпотезу про лінійний характер зменшення внутрішньої швидкості замінимо на нелінійну, наприклад квадратичну. Тоді модифіковане логістичне рівняння записується xdxax)( 2 ?= & . xdxax)( 2 ?= & .

З урахуванням цілком природного зменшення швидкості матимемо остаточну модифікацію логістичного рівняння

Отже, наведене розвинення ортодоксальної логістичної моделі надає канонічне рівняння катастрофи типу «зборка».

Отже, наведене розвинення ортодоксальної логістичної моделі надає канонічне рівняння катастрофи типу «зборка».


< Попередня  Змiст  Наступна >
Iншi роздiли:
РОЗДІЛ 6. ЯКІСНІ МЕТОДИ АНАЛІЗУ ПЕРЕБІГУ СОЦІАЛЬНО-ЕКОНОМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ
6.2. Фазові та параметричні портрети ключових математичних моделей нелінійної економічної динаміки
Частина 2. 6.2. Фазові та параметричні портрети ключових математичних моделей нелінійної економічної динаміки
6.3. Структурний портрет нелінійної економічної системи
РОЗДІЛ 7. ЛОГІСТИЧНЕ ВІДОБРАЖЕННЯ В МОДЕЛЮВАННІ ЕКОНОМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ
Дисциплiни

Медичний довідник новиниКулінарний довідникАнглійська моваБанківська справаБухгалтерський облікЕкономікаМікроекономікаМакроекономікаЕтика та естетикаІнформатикаІсторіяМаркетингМенеджментПолітологіяПравоСтатистикаФілософіяФінанси

Бібліотека підручників та статтей Posibniki (2022)