6.3. Визначення очікуваної дохідності та ризику портфеля

Головними параметрами в управлінні портфелем фінансових інвестицій, які необхідно визначити менеджеру, є очікувана дохідність та ризик портфеля. Формуючи портфель, менеджер не може точно визначити майбутню динаміку його дохідності та ризику. Тому свій інвестиційний вибір він будує на їх очікуваних значеннях. Ці величини оцінюються передусім на основі статистичних звітів за поперед ні проміжки часу. Оскільки майбутнє навряд чи повторить минуле зі стовідсотковою ймовірністю, то отримані оцінки менеджер може коригувати відповідно до своїх очікувань розвитку майбутньої кон’юнктури.

Дохідність портфеля фінансових активів за фіксований період визначається як середньозважена дохідність активів, які входять до його складу, а саме: GGp RwRwRwR+++=...

2211 , (6.1) де R p — дохідність портфеля за період р; R g — дохідність активу за період g; w g — вага активу g в портфелі (частка ринкової вартості активу g в сукупній ринковій вартості всього портфеля); G

— кількість активів у портфелі.

Коротко рівняння (6.1) можна записати так: g G g gp RwR ? = =

1 . (6.2)

Вираз (6.2) показує, що дохідність портфеля, що складається з G активів (R p ), дорівнює сумі всіх зважених дохідностей окремих активів цього портфеля. Таку дохідність портфеля іноді називають дохідністю за період володіння (holding period return) або реалізованою дохідністю (ex post return). Інвестор і менеджер з управління портфелем звичайно бажають знати очікувану дохідність портфеля (ex ante return), що є зваженою сумою очікуваних дохідностей активів, що входять до складу цього портфеля. При цьому вага очіку ваної дохідності кожного активу визначається як частка ринкової вартості окремого активу в сукупній ринковій вартості портфеля. Таким чином: )(...)()()(

2211GGp REwREwREwRE+++=. (6.3)

Сума всіх питомих ваг активів, які входять до складу портфеля, завжди дорівнює одиниці. Інвестор може включати у свій портфель як ризикові, так і безризикові активи. Ризикові активи (risky asset) — це активи, дохідність яких у майбутньому є невизначеною. Припустимо, інвестор купує акції компанії «Стирол» і планує їх тримати один рік. У мо мент купівлі він не знає, який дохід він одержить у кінці строку. Це залежить від вартості акцій «Стиролу» через рік і дивідендів, які компанія сплачує протягом року. Тому зазначені акції, так само як і акції інших компаній, — це ризикові активи. Навіть цінні папери, що випускаються урядами країн, є ризико вими.

Наприклад, інвестор купив облігації внутрішньої державної позики зі строком погашення 5 років. Він не знає, який дохід отримає, якщо протримає їх всього один рік, оскільки на вартість цих облігацій упродовж року впливає зміна відсоткової ставки.

До безризикових активів (risk-free, або riskless asset) зазвичай відносять короткострокові державні цінні папери. П рипустимо, інвестор купує казначейські зобов’язання строком погашення один рік і планує тримати їх до погашення. У цьому разі відносно дохідності цих цінних паперів немає жодної невизначеності. Інвестор знає, що в день їх погашення уряд сплатить певну суму, що погашає борг.

Для визначення очікуваної дохідності ризикового активу потрібно задати розпо діл імовірностей (функція, що зіставляє кожне можливе значення дохідності та ймовірності його реалізації) для можливих значень реалізованої дохідності. Математично очікувана дохідність активу має такий вигляд: E(R i ) = p

1 r

1 + p

2 r

2 + … + p N r N ., (6.4)

де r n — n-не можливе значення дохідності і-го активу; p n — імовірність реалізації значення дохідності n для і-го активу; N — кількість можливих значень дохідності.

Наприклад, інвестор має намір придбати акції компанії XYZ, розподіл імовірностей дохідностей яких за певний період наведено в табл. 6.1. На практиці розподіл імовірностей ґрунтується на статистичних оцінках даних про колишні (реалізовані) дохідності.

Підстановка в рівняння (6.4) даних таблиці дає такі результати: панії XYZ.

Таблиця 6.1

n	Дохідність, %

Коли інвестор купує актив, він орієнтується не тільки на значення його очікуваної дохідності, а й на рівень його ризику. Очікувана дохідність виступає як певна величина, яку очікує отримати інвестор, наприклад 15%. Однак дохідність, яку отримає інвестор, може як дорівнювати, так і бути відмінною від 15%. Таким чином, ризик інвестора поляга є в тому, що він може отримати результат, який відрізняється від очікуваної дохідності. Якщо фактична дохідність буде більшою за 15%, то це плюс для інвестора. На практиці як ступень ризику використовують показники варіації і стандартного відхилення. Вони показують, якою мірою і з якою ймовірністю фактична дохідність активу може відрізнятися ві д величини його очікуваної, тобто середньої, дохідності.

Ці параметри враховують відхилення як у бік збільшення, так і у бік зменшення дохідності порівняно з очікуваним значенням. компанії XYZ, можна визначити варіацію дохідності R :

v ar(R i ) = p

1 [r

1 — E(R i )] 2 + p

2 [r

2 – E(R i )]

2 +…+p N [r N — E(R i )] 2 , var(R i ) = p = n1 n [r n — E(R i )] 2 . i = n1 nni 2 .

Формула для визначення варіації (дисперсії) дохідності і-го активу записується так: v ar(R i ) = p

1 [r

1 — E(R i )] 2 + p

2 [r

2 – E(R i )]

2 +…+p N [r N — E(R i )] 2 , або (6.5) var(R i ) = p ? = N n1 n [r n — E(R i )] 2 .

Використовуючи розподіл імовірностей дохідності для акцій var(R XYZ ) = 0,50 (15 % – 11%) 2 + 0,30 (10% – 11%) 2 + 0,13 (5% – 11%) 2 + 0,05 (0% – 11%) 2 + 0,02 (– 5% – 11%) 2 = 24%.

Таким чином, варіація враховує не тільки розмір відхилень можливих значень дохідності від середнього, а й імовірність такого відхилення. Ця обставина і дозволила Г. Марковіцу вважати варіацію дохідності оцінкою ризику інвестицій.

Стандартне відхилення визначається як квадратний корінь з варіації – 11%) 2 + 0,05 (0% – 11%) 2 + 0,02 (– 5% – 11%) 2 = 24%.

Таким чином, варіація враховує не тільки розмір відхилень можливих значень дохідності від середнього, а й імовірність такого відхилення. Ця обставина і дозволила Г. Марковіцу вважати варіацію дохідності оцінкою ризику інвестицій.

Стандартне відхилення визначається як квадратний корінь з варіації ()().var ii RRSD= %.9,424== XYZ RSDXYZ var(R XYZ ) = 0,50 (15 % – 11%) 2 + 0,30 (10% – 11%) 2 + 0,13 (5% – 11%) 2 + 0,05 (0% – 11%) 2 + 0,02 (– 5% – 11%) 2 = 24%.

Таким чином, варіація враховує не тільки розмір відхилень можливих значень дохідності від середнього, а й імовірність такого відхилення. Ця обставина і дозволила Г. Марковіцу вважати варіацію дохідності оцінкою ризику інвестицій.

Стандартне відхилення визначається як квадратний корінь з варіації ()().var ii RRSD=

Тоді для акцій компанії XYZ стандартне відхилення дорівнює: () %.9,424== XYZ RSD

Оскільки варіація і стандартне відхилення, по суті, є еквівалентними, то говорять, що ризик інвестицій тим більший, чим більшою є варіація, або стандартне відхилення.

Однак існують два заперечення проти використання варіації як оцінки ризику:

1) варіація враховує відхилення в обидві сторони відносно середнього значення. Інвестор при цьому не розцінює перевищення реальної дохідності над очікуваною як несприятливий результат. Тому багато дослідників вважають, що під час оцінювання ризику не повинні враховуватись випадки, коли можлива дохідність вища за очікувану.

Г. Марковіц розумів цей недолік варіації і пропонував оцінку ризику, яка враховувала б лише випадки зниження дохідності відносно середнього значення — напівваріацію. Однак складність розрахунку, пов’язана з використанням напівваріації, призвела до

того, що у своїх працях Марковіц був змушений обмежитись звичайною варіацією;

2) варіація є нечутливою до асиметричності розподілу відхилень від середнього значення. У разі несиметричних розподілів доводиться користуватись іншими характеристиками, наприклад коефіцієнтом асиметрії. Марковіц не розглядав подібні характеристики у своїй теорії. Використання варіації можна виправдати, ґрунтуючись на емпіричних дослідженнях, що підтверджують відносну симетричність статистичних розподілів дохідностей акцій. Оскільки вважається, що для прийняття рішення інвестор розглядає тільки очікувану дохідність і варіацію, теорія портфеля в формулюванні Марковіца отримала назву двопараметричної моделі (two-parameter model).

Формула (6.5) дає варіацію окремого активу. Знайти варіацію портфеля з двох активів набагато складніше. На відміну від очікуваної дохідності портфеля, його ризик не обов’язково є середньозваженою величиною стандартних відхилень дохідностей активів. Справа в тому, що різні активи можуть по-різному реагувати на зміни кон’юнктури ринку. У результа ті стандартні відхилення (варіації) дохідності різних активів у ряді випадків будуть гасити один одного, що приведе до зниження ризику портфеля. Ризик портфеля залежить від того, в якому напрямі змінюються дохідності активів у разі зміни кон’юнктури ринку і якою мірою. де cov(R i R j ) — коваріація дохідностей активів i та j.

Коваріація — це показник ступеня взаємозв’язку дохідностей двох активів. Додатна коваріація означає, що дохідності обох акде r in — n-не можливе значення дохідності активу і; r jn

cov(R i ,R j ) = p

1 [r i1 – E(R i )][r j1 – E(R j )] + p

2 [r i2 – E(R i )][r j2 – E(R j )] … p N [r iN – E(R i )][r jN – E(R j )], (6.7) + … p N [r iN – E(R i )][r jN – E(R j )], (6.7) + тивів змінюються в одному напрямі, а від’ємна — в протилежному. Коваріація двох активів розраховується за формулою: cov(R i ,R j ) = p

1 [r i1 – E(R i )][r j1 – E(R j )] + p

2 [r i2 – E(R i )][r j2 – E(R j )] … p N [r iN – E(R i )][r jN – E(R j )], (6.7) +

— n-не можливе значення дохідності активу j; p n

— імовірність реалізації n-го значення дохідності для активів і, j; N — число можливих значень дохідності.

Для того, щоб продемонструвати, як розраховується коваріація двох активів, скористаємось даними табл. 6.1 і 6.2.

Таблиця 6.2

РОЗПОДІЛ ІМОВІРНОСТЕЙ ДОХІДНОСТІ АКЦІЙ КОМПАНІЇ XYZ І АВС

n	Дохідності акцій XYZ, %	Дохідності акцій АВС, %	Імовірність подій
1	15	8	0,50
2	10	11	0,30
3	5	6	0,13

Закінчення табл. 6.2

n	Дохідності акцій XYZ, %	Дохідності акцій АВС, %	Імовірність подій
4	0	0	0,05
5	– 5	– 4	0,02
Усього			1,00
Очікувана дохідність	11	8
Варіація	24	9
Стандартне відхилення	4,9	3

Поняття коваріації є аналогічним поняттю кореляції між дохідностями активів. Кореляція дохідностей двох активів визначається як коваріація двох активів, поділена на добуток їх стандартних відхилень.

. )()( ,cov ji ji ji RSDRSD RR RR= (6.8) () . )()( ),cov( ,cov ji ji ji RSDRSD RR RR= (6.8)

Ділення коваріації на результат стандартного відхилення просто нормує коваріацію, перетворюючи її в коефіцієнт, який при

ймає значення в проміжку від – 1 до + 1. Кореляція дохідностей акцій компаній XYZ і АВС така: ()() .60,0

39,4

9,8 ,cor== ABCXYZ RR ймає значення в проміжку від – 1 до + 1. Кореляція дохідностей акцій компаній XYZ і АВС така: () ()() .60,0

39,4

9,8 ,cor== ABCXYZ RR

Тепер розглянемо портфель, який складається з безризикового і ризикового активів. Як було зазначено вище, ризик портфеля, який складається з двох активів, визначається за формулою

Оскільки один актив є безризиковим, наприклад j-й актив, а

у інший ризиковим (і-й актив), то var(R j )=0 і cov i,j .=0. Тому формула для цього випадку набуває вигляд у інший ризиковим (і-й актив), то var(R j )=0 і cov i,j .=0. Тому формула для цього випадку набуває вигляд var(R p ) = wvar(R

2 i i ). var(R p ) = wvar(R

2 i i ).

Отже, ризик цього портфеля дорівнює добутку ризику ризикового активу і його питомої ваги в портфелі. Очікувана дохідність визначається за формулою n

Графічно залежність між очікуваними ризиком і дохідністю являє собою пряму лінію, як показано на рис. 6.2. Наприклад, змінюючи питому вагу ризикового активу А, інвестор може побудувати портфель з різними характеристиками ризику і дохідності; усі вони розташовуються на відрізку АВ, і їх ризик пропорційний питомій вазі активу А. Такий випа док можна розглядати як купівлю інвестором ризикового активу А, а також надання кредиту (купівля активу В), оскільки придбання активу без ризику — це кредитування емітента. Тому портфелі на відрізку АВ (наприклад портфель С), є кредитними.

А

С

В E (R P ) D SD(R P )

Рис. 6.2. Варіанти портфелів, які складаються з ризикового й безризикового активів Інвестор може побудувати свою стратегію не тільки на основі надання кредиту, а й позичаючи кошти за нижчий відсоток, ніж очікувана дохідність ризикового активу А, щоб придбати на них актив А і отримати додатковий дохід. У цьому разі інвестор отримує можливість сформувати будь-який портфель, який розташовується на продовженні прямої АВ за ме жами точки А, наприклад портфель D. Йому властиві вищі ризик і очікувана дохідність. Оскільки для формування портфеля D інвестор позичає кошти, то його називають позиковим портфелем. Отже, усі портфелі, які знаходяться на продовженні прямої АВ вище від точки А, називають позиковими.

Наприклад, інвестор купує ризиковий актив А на 10 тис. грн за рахунок власних коштів. Одночасно він позичає 5 тис. грн під 10% і також інвестує їх в актив А. Очікувана дохідність активу А дорівнює 15%, а ризик — 3%.

Очікувана дохідність сформованого портфеля дорівнює

Припустимо, що дохідність активу А стала дорівнювати очікуваній дохідності. Таким чином, інвестор, позичивши додаткові кошти під 10% і розмістивши їх в актив з дохідністю 15%, отри

мав дохідність на свої інвестиції у розмірі 17,5%. Додаткові 2,5% дохідності виникли за рахунок ефекту фінансового важеля, коли кошти позичалися під 10%, а принесли 15%. Якщо реальна дохідність активу А стане на одне стандартне відхилення більше очікуваної дохідності, тобто 18%, то дохідність портфеля становитиме:

%.22)5,0(%105,1%18=??+? %.22)5,0(%105,1%18=??+?

Якщо інвестор позичить 5 тис. грн під 10% та інвестує їх у ще більш ризиковий актив, наприклад, з очікуваною дохідністю 30%, то очікувана дохідність такого портфеля становитиме:

З наведених прикладів випливає, що формування позикового портфеля дозволяє інвестору збільшити значення очікуваної дохідності. Але слід враховувати, що позиковий портфель може принести інвестору нижчу дохідність і навіть призвести до фінансових втрат, якщо реальна дохідність ризикового активу буде менше за очікувану. Наприклад, якщо реальна дохідність активу А буде на два стандартни х відхилення менше за очікувану, тобто 9% (15% – 2 ? 3%), то реальна дохідність портфеля становитиме:

Використовуючи фінансовий важіль, теоретично інвестор може отримати будь-яке високе значення очікуваної дохідності. Такі портфелі розташовуються на продовженні прямої АВ (рис. 6.2) вище від точки А. Однак на практиці вкладник зіткнеться з двома проблемами, які обмежать очікувану дохідність його стратегії:

1) проблема отримання кредиту в більших розмірах, ніж дозволяє йог о фінансове становище;

2) законодавство встановлює верхню межу використання позичкових коштів під час купівлі цінних паперів.

Ризик портфеля, який складається з декількох активів, здійснюється за такою самою схемою, що і для портфеля з двох активів. Так, для портфеля з трьох акцій і, j і k ризик задається виразом:

var(R p ) = w

2 i var(R i )+ wvar(R

2 j j )+ wvar(R

2 k k )+ +2w i w j cov(R i ,R j )+2w i w k cov(R i ,R k )+2w j w k cov(R j ,R k (6.9) ). var(R p ) = w

2 i var(R i )+ wvar(R

2 j j )+ wvar(R

2 k k )+ +2w i w j cov(R i ,R j )+2w i w k cov(R i ,R k )+2w j w k cov(R j ,R k (6.9) ).

Отже, варіація дохідності портфеля — це зважена сума варіацій дохідностей та їх коваріацій. Інакше кажучи, варіація очікуваної дохідності портфеля — це зважена сума окремих варіацій активів портфеля плюс зважена сума «ступенів їх взаємодії».

У загальному вигляді варіація портфеля з G активів така: ,,covvarvar

2 RRwwRwR hghgggP += ???? ==== (6.10)

1111 g h g h ====()()() ,,covvarvar

1111

2 RRwwRwR g h g h hghgggP += ???? ==== (6.10)

.для gh G G G G ?

Наприклад, портфель складається з трьох активів — А, В і С;

w A = 0,35; w B = 0,45; w C = 0,2; var(R

А ) = 0,025; var(R

В ) = 0,048; var(R

С ) = 0,065; соv A,B = 0,031; сov A,C = 0,034; сov B,A = 0,031; сov B,C = 0,055; сov C,A = 0,034; сov C,B = 0,055.

Зведемо дані про дисперсію та коваріацію фінансових активів у табл. 6.3.

Таблиця 6.3 var(R

С ) = 0,065; соv A,B = 0,031; сov A,C = 0,034; сov B,A = 0,031; сov B,C = 0,055; сov C,A = 0,034; сov C,B = 0,055.

Зведемо дані про дисперсію та коваріацію фінансових активів у табл. 6.3.

Таблиця 6.3 сov B,C = 0,055; сov C,A = 0,034; сov C,B = 0,055.

Зведемо дані про дисперсію та коваріацію фінансових активів у табл. 6.3.

Таблиця 6.3 w A = 0,35; w B = 0,45; w C = 0,2; var(R

А ) = 0,025; var(R

В ) = 0,048; var(R

С ) = 0,065; соv A,B = 0,031; сov A,C = 0,034; сov B,A = 0,031; сov B,C = 0,055; сov C,A = 0,034; сov C,B = 0,055.

Зведемо дані про дисперсію та коваріацію фінансових активів у табл. 6.3.

Таблиця 6.3

КОВАРІАЦІЙНА МАТРИЦЯ

	А	В	С
А	0,025	0,031	0,034
В	0,031	0,048	0,055
С	0,034	0,055	0,065

Коваріаційна матриця характеризується тим, що її діагональні члени є дисперсіями випадкових величин. У нашому прикладі це позиції АА, ВВ, СС. Інші члени є коваріаціями дохідностей активів.

У формулі ризику портфеля, який складається з декількох активів стоїть знак подвійної суми Він означає, що розкри?? G G .

ваючи формулу, треба спочатку взяти значення g = 1 і помножити на нього всі значення h від 1 до G, а потім повторити цю операцію, але вже для g = 2 і т. д. У підсумку буде G доданків. Розрахунки подано у табл. 6.4. операцію, але вже для g = 2 і т. д. У підсумку буде G доданків. Розрахунки подано у табл. 6.4. ваючи формулу, треба спочатку взяти значення g = 1 і помножити на нього всі значення h від 1 до G, а потім повторити цю операцію, але вже для g = 2 і т. д. У підсумку буде G доданків. Розрахунки подано у табл. 6.4. == g h11 ваючи формулу, треба спочатку взяти значення g = 1 і помножити на нього всі значення h від 1 до G, а потім повторити цю операцію, але вже для g = 2 і т. д. У підсумку буде G доданків. Розрахунки подано у табл. 6.4. == g h11

Таблиця 6.4

ВИЗНАЧЕННЯ ДИСПЕРСІЇ І СТАНДАРТНОГО ВІДХИЛЕННЯ

Активи	Добутки
АА АВ АС ВА ВВ ВС СА СВ СС	0,35 ? 0,35 ? 0,025 = 0,00306 0,35 ? 0,45 ? 0,031 = 0,00488 0,35 ? 0,2 ? 0,034 = 0,00238 0,45 ? 0,35 ? 0,031 = 0,00488 0,45 ? 0,45 ? 0,048 = 0,00972 0,45 ? 0,2 ? 0,055 = 0,00495 0,2 ? 0,35 ? 0,034 = 0,00238 0,2 ? 0,45 ? 0,055 = 0,00495 0,2 ? 0,2 ? 0,065 = 0,00260
var(R p ) = 0,1995