Важливим завданням моделювання динамічних процесів є визначення основної тенденції їхнього розвитку. Зручним засобом описування та екстраполяції тенденцій виявляється аналітичне вирівнювання часових рядів, коли причинний механізм формування особливостей розвитку в явному вигляді не цесу, змінна часу t просто акумулює комплекс постійно діючих умов та причин, які визначають цей процес. Описати властивий часовому ряду тренд аналітичним методом — означає надати досліджуваному процесу одноманітного характеру розвитку впродовж певного часового інтервалу.
враховуються, а рівні ряду виражаються у вигляді функції часу Y t = f (t), де t =1, 2, …, n. Певна річ, час не є чинником конкретного соціально-економічного провраховуються, а рівні ряду виражаються у вигляді функції часу Y t = f (t), де t =1, 2, …, n. Певна річ, час не є чинником конкретного соціально-економічного про
Процедура вирівнювання динамічних рядів охоплює два етапи:
— обґрунтування (вибір) типу функції, яка б адекватно описувала характер тренда;
— оцінювання параметрів функції.
У практиці статистичного моделювання соціально-економічних процесів використовують переважно функції, параметри яких мають конкретну інтерпре-
тацію залежно від характеру динаміки. Найбільш поширені поліноми (многочлени), різного роду експоненти та логістичні криві. Вони формують клас так званих кривих зростання. Розглянемо основні типи кривих. Параметри лінійного тренда характеризують: a — рівень динамічного ряду при шення ординат, b — початкова абсолютна швидкість, яка з плином часу змінюється на константу 2с. При цьому для однієї вітки параболи прирощення додатні, для другої — від’ємні. Параметри b і с визначають форму параболи. Залежно від значень цих параметрів крива відображає різну еволюцію розвитку процесу (табл. 4.3).
Поліном 1-го ступеня, тобто лінійний тренд Y t = a + bt, описує процеси, які рівномірно змінюються в часі та мають стабільні абсолютні прирости ординат.
Поліном 1-го ступеня, тобто лінійний тренд Y t = a + bt, описує процеси, які рівномірно змінюються в часі та мають стабільні абсолютні прирости ординат. t = 0; b
— середню абсолютну швидкість зміни рівнів ряду.
2 описує процеси, характер
Поліном 2-го ступеня (парабола) Y t = a + bt + ct
2 описує процеси, характерною особливістю яких є рівноприскорене зростання або рівноприскорене зменt = 0; b
— середню абсолютну швидкість зміни рівнів ряду.
Поліном 2-го ступеня (парабола) Y t = a + bt + ct
2 описує процеси, характерною особливістю яких є рівноприскорене зростання або рівноприскорене змен
Таблиця 4.3
АНАЛІТИЧНІ МОЖЛИВОСТІ ПАРАБОЛИ
Парабола описує
bc
| b > 0 |
c > 0 |
Прискорене зростання |
| b < –2Тcc |
> 0 |
Уповільнений спад |
| –2Тc < b < 0c |
> 0 |
Парабола має мінімум |
| b < 0 |
с < 0 |
Прискорений спад |
| b > –2Тc |
с < 0 |
Уповільнене зростання (вершина після Т) |
| 0 < b< –2Тc |
с < 0 |
Парабола має максимум |
Завдяки таким універсальним властивостям параболу використовують для описування широкого спектра економічних процесів, серед них дві форми па
раболи визнаються класичними: коли c > 0, вітки параболи напрямлені вгору — парабола має мінімум, коли c < 0, вітки параболи напрямлені вниз — парабола має максимум. Екстремум функції досягається у точці t = –b/2c. раболи визнаються класичними: коли c > 0, вітки параболи напрямлені вгору — парабола має мінімум, коли c < 0, вітки параболи напрямлені вниз — парабола має максимум. Екстремум функції досягається у точці t = –b/2c.
Наприклад, динаміка захворювань при епідемії грипу (осіб) описується па
раболою Y t = 264 + 45 t –1,5 t
2 . Звідси екстремум функції t = – 45 / 2 ? (–1,5) = 15. Максимум захворювань буде зафіксовано через 15 днів від початку відліку часу
2 ? 601 особа. 2 + dt знак прирощення ординати і становитиме Y мах = 264 + 45?15 –1,5?15
2 ? 601 особа. 2 + dt знак прирощення ординати
У полінома 3-го ступеня Y t = a + bt + ct 2 + dt знак прирощення ординати може змінюватися один чи два рази. раболою Y t = 264 + 45 t –1,5 t
2 . Звідси екстремум функції t = – 45 / 2 ? (–1,5) = 15. Максимум захворювань буде зафіксовано через 15 днів від початку відліку часу і становитиме Y мах = 264 + 45?15 –1,5?15
2 ? 601 особа.
У полінома 3-го ступеня Y t = a + bt + ct 2 + dt знак прирощення ординати може змінюватися один чи два рази.
Процеси, характерною властивістю динаміки яких є стабільна відносна швидкість (темпи приросту), описуються експонентою. Алгебраїчно експонента може набувати різних еквівалентних форм, які приводяться до лінійного вигляду заміною y t десятковими або натуральними логарифмами (табл. 4.4).
Таблиця 4.4
ЕКВІВАЛЕНТНІ ФОРМИ ЕКСПОНЕНТИ
| Форма експоненти |
Трансформації параметрів |
Лінеаризована форма експоненти |
| Y t = ab t |
Основна форма (показникова) b > 0 |
lg Y = lg a + t lg b, ln Y = ln a + t ln b = ln a + ?t |
| Y t = aе ?t |
b замінюється на е ? , де ? = ln b; е = 2,718 — основа натурального логарифма; ln е = 1 |
ln Y = ln a + ?t ln e = = ln a + ?t |
|
|
|
| t = a(1 – r) t |
b замінюється на (1 – r), де r= b – 1l |
n Y = ln a + t ln (1 – r) |
Y
Основна форма експоненти — показникова Y t = ab t , де b — стабільна відносна швидкість зміни ординати, тобто темп зростання: при b > 1 ордината моносна швидкість зміни ординати, тобто темп зростання: при b > 1 ордината монотонно (зі стабільним темпом) зростає, при 0 < b < 1, навпаки, монотонно змен
Основна форма експоненти — показникова Y t = ab t , де b — стабільна відносна швидкість зміни ординати, тобто темп зростання: при b > 1 ордината монотонно (зі стабільним темпом) зростає, при 0 < b < 1, навпаки, монотонно змен
шується. Абсолютний приріст пропорційний досягнутому рівню. зує тенденцію прискореного розвитку, наприклад, зростання чисельності населення в епоху «демографічного вибуху» або темп гіперінфляції.
Рис. 4.16. Експоненцiальна функцiя
Форму експоненти Y t = a(1 – r) t найчастіше використовують у фінансових розрахунках. Припустимо, капітал фірми С
0 перебуває в банку протягом t років з річним процентом r. Через t років капітал становитиме С t = С
0 (1 + r) t . Очевид-з річним процентом r. Через t років капітал становитиме С t = С
0 (1 + r) t . Очевид-
Форму експоненти Y t = a(1 – r) t найчастіше використовують у фінансових розрахунках. Припустимо, капітал фірми С
0 перебуває в банку протягом t років з річним процентом r. Через t років капітал становитиме С t = С
0 (1 + r) t . Очевид-
но, на основі цієї функції можна оцінити майбутні витрати чи прибутки С t у вартості поточного року С
0 . Наприклад, необхідно порівняти кошти, які витрачаються на різні інвестиційні проекти у поточному періоді С
0 і майбутні очікувані прибутки відповідних проектів С t :
t r )1( C
0 + = . t t r C )1( C
0 + = . t t r C )1( C
0 + = .
Переходячи до форми Y t = aе ?t , можна отримати поширене у фінансових розрахунках так зване правило 70, на основі якого визначають термін подвоєння капіталу:
Переходячи до форми Y t = aе ?t , можна отримати поширене у фінансових розрахунках так зване правило 70, на основі якого визначають термін подвоєння капіталу:
С t = 2С
0 = С
0 е ?t , звідси ? ? = ? = ? =
70,06931,02ln t .
С t = 2С
0 = С
0 е ?t , звідси ? ? = ? = ? =
70,06931,02ln t .
С t = 2С
0 = С
0 е ?t , звідси ? ? = ? = ? =
70,06931,02ln t .
Логарифмічна крива у = а +blnt обернена до показникової, вона описує процеси, яким властиве уповільнене зростання (скорочення абсолютного приросту) за відсутності граничного рівня. Це стосується передусім динаміки таких показників, які з часом дедалі складніше поліпшувати, наприклад спортивні рекорди.
Степенева форма тренда Y = at b при a > = 0, що є типовим для економічних процесів, залежно від знака параметра b описує невпинне зростання процесу чи його спад. Коли b = 1, степеневий тренд перетворюється на лінійний, коли b = 2 — на параболічний.
Оцінювання параметрів трендових рівнянь найчастіше здійснюють методом найменших квадратів (МНК), основною умовою якого є мінімізація суми квадратів відхилень фактичних значень y t від теоретичних Y t , визначених за трендовим рівнянням
Степенева форма тренда Y = at b при a > = 0, що є типовим для економічних процесів, залежно від знака параметра b описує невпинне зростання процесу чи його спад. Коли b = 1, степеневий тренд перетворюється на лінійний, коли b = 2 — на параболічний.
Оцінювання параметрів трендових рівнянь найчастіше здійснюють методом найменших квадратів (МНК), основною умовою якого є мінімізація суми квадратів відхилень фактичних значень y t від теоретичних Y t , визначених за трендовим рівнянням чи його спад. Коли b = 1, степеневий тренд перетворюється на лінійний, коли b = 2 — на параболічний.
Оцінювання параметрів трендових рівнянь найчастіше здійснюють методом найменших квадратів (МНК), основною умовою якого є мінімізація суми квадратів відхилень фактичних значень y t від теоретичних Y t , визначених за трендовим рівнянням b = 2 — на параболічний.
Оцінювання параметрів трендових рівнянь найчастіше здійснюють методом найменших квадратів (МНК), основною умовою якого є мінімізація суми квадратів відхилень фактичних значень y t від теоретичних Y t , визначених за трендовим рівнянням
Логарифмічна крива у = а +blnt обернена до показникової, вона описує процеси, яким властиве уповільнене зростання (скорочення абсолютного приросту) за відсутності граничного рівня. Це стосується передусім динаміки таких показників, які з часом дедалі складніше поліпшувати, наприклад спортивні рекорди.
Степенева форма тренда Y = at b при a > = 0, що є типовим для економічних процесів, залежно від знака параметра b описує невпинне зростання процесу чи його спад. Коли b = 1, степеневий тренд перетворюється на лінійний, коли b = 2 — на параболічний.
Оцінювання параметрів трендових рівнянь найчастіше здійснюють методом найменших квадратів (МНК), основною умовою якого є мінімізація суми квадратів відхилень фактичних значень y t від теоретичних Y t , визначених за трендовим рівнянням .min)(
2 =? ? tt n Yy .min)(
2 =? ? tt n Yy
1
Параметри многочленів визначають безпосередньо розв’язуванням систем розглянутих нелінійних функцій, але попередньо треба усунути нелінійність, тобто перетворити їх на лінійні (лінеаризувати). Найчастіше для цього застосовують логарифмічне перетворення даних. Саме в такий спосіб зводяться до лінійного виду експоненти будь-якої форми, степенева і логарифмічна функції, що дає змогу визначати параметри цих функцій методом найменших квадратів.
р +1 нормальних рівнянь. За допомогою МНК можна визначити параметри р +1 нормальних рівнянь. За допомогою МНК можна визначити параметри
Побудову трендових моделей МНК розглянемо за даними динаміки витрат оборонного бюджету умовної країни (табл. 4.3). Для часового ряду характерний тренд до зростання витрат відносно стабільними темпами, що дає підстави опи
сати тренд експонентою Y t = aе ?t . Параметри функції визначимо за процедурами модуля Multiple Regresion, який детально описано в підрозд. 5.3.сати тренд експонентою Y t = aе ?t . Параметри функції визначимо за процедурами модуля Multiple Regresion, який детально описано в підрозд. 5.3.
Таблиця 4.5
ДИНАМІКА ВИТРАТ ОБОРОННОГО БЮДЖЕТУ КРАЇНИ
| Рік |
Витрати, млрд дол. |
Ланцюгові темпи зростання |
Рік |
Витрати, млрд дол. |
Ланцюгові темпи зростання |
| 2003 |
22,8 |
— |
2008 |
37,3 |
1,060 |
| 2004 |
21,7 |
0,952 |
2009 |
42,2 |
1,131 |
| 2005 |
24,3 |
1,119 |
2010 |
48,4 |
1,147 |
| 2006 |
27,8 |
1,144 |
2011 |
52,8 |
1,091 |
| 2007 |
35,2 |
1,266 |
2012 |
57,5 |
1,089 |
Експонента набуває вигляду Y t = 18,366е
0,117t , тобто витрати оборонного бюджету країни щороку зростали в середньому на 11,7 %, стандартна похибка s e = 2,236. На рис. 4.17 наведено криву зростання, про її адекватність свідчить коефіцієнт детермінації R
2 = 0,9752. коефіцієнт детермінації R
2 = 0,9752.
Експонента набуває вигляду Y t = 18,366е
0,117t , тобто витрати оборонного бюджету країни щороку зростали в середньому на 11,7 %, стандартна похибка s e = 2,236. На рис. 4.17 наведено криву зростання, про її адекватність свідчить коефіцієнт детермінації R
2 = 0,9752.
70
60
50
y = 18,366e
0,117x
30 R 2 = 0,9752
30 y = 18,366e
0,117x R 2 = 0,9752
30
40
20
10
0
2003200420052006200720082010201020112012
Рис. 4.17. Крива зростання витрат оборонного бюджету країни
Виявлену тенденцію можна продовжити за межі динамічного раду. Така процедура називається екстраполяцією тренда. Принципова можливість екстраполяції ґрунтується на припущенні, що умови, які визначали тенденцію в минулому, не зазнають істотних змін у майбутньому. Формально операцію екстраполяції можна подати як визначення функції
t+v t Y t+v = f (Y t *, v), Y t+v = f (Y t *, v), t+vY t * — база екстраполяції, найчастіше це останній, визначений за трендом рівень ряду.де Y t+v — прогнозне значення на період попередження v; Y t * — база екстраполяції, найчастіше це останній, визначений за трендом рівень ряду.
Якщо, скажімо, у 2012 р. (t n = 10) теоретичний рівень витрат оборонного бюджету становив Y t = 18,366 ·1,117
10 = 55,5 млрд дол, то у 2013 р. можна очікувати Y
10+1 = 55,5 · 1,117 = 62,0 млрд дол.
Одне з основних завдань, що виникають при екстраполяції тренда, полягає у джету становив Y t = 18,366 ·1,117
10 = 55,5 млрд дол, то у 2013 р. можна очікувати Y
10+1 = 55,5 · 1,117 = 62,0 млрд дол.
Одне з основних завдань, що виникають при екстраполяції тренда, полягає у
10+1
Одне з основних завдань, що виникають при екстраполяції тренда, полягає у ти Y
10+1 = 55,5 · 1,117 = 62,0 млрд дол.
Одне з основних завдань, що виникають при екстраполяції тренда, полягає у
Якщо, скажімо, у 2012 р. (t n = 10) теоретичний рівень витрат оборонного бюджету становив Y t = 18,366 ·1,117
10 = 55,5 млрд дол, то у 2013 р. можна очікувати Y
10+1 = 55,5 · 1,117 = 62,0 млрд дол.
Одне з основних завдань, що виникають при екстраполяції тренда, полягає у
визначенні довірчих меж прогнозу. Екстраполяція тренда дає точковий прогноз. Очевидно, що влучення в точку малоймовірне. Адже тренду властива невизначеність, передусім через похибки параметрів. Джерелом цих похибок є обмежена сукупність спостережень y t, , кожне з яких містить випадкову компоненту e t . Зсунення періоду спостереження лише на один крок веде до зсунення оцінок параметрів. Випадкова компонента буде наявна і за межами динамічного ряду, тож її необхідно врахувати. Для цього визначають довірчий інтервал, який би з динамічного ряду навколо тренда та ймовірності висновку (1– ?): Y , де s p — стандартна похибка прогнозу, значення якої залежить від дисперсії тренда
t+v перетворюється на інтервальний. Ширина інтервалу залежить від варіації рівнів певною ймовірністю окреслив межі можливих значень Y t+v . Точковий інтервал перетворюється на інтервальний. Ширина інтервалу залежить від варіації рівнів t+v
1-? p t+v ± t
1-? s p
2 Y s та дисперсії відхилень від тренда
2 е s. Зокрема, для лінійного тренда рень похибку прогнозу за лінійним трендом можна подати так: е намічного ряду (передісторії) n і періоду попередження v. Чим довший період передісторії, тим похибка менша, а збільшення періоду попередження, навпаки, веде до зростання похибки прогнозу. Як зазначалося в підрозд. 1.2, довжина ретроспекції має перевищувати період попередження в 3—4 рази.
Визначаючи інтервальний прогноз для лінійного тренда (експоненти), можна
скористатися таблицями Є. Четиркіна. У дод. 6 наведено значення z* = t
0,90 z для n = 7 … 20 та v = 1 … 4. Як бачимо, вони прямо пропорційні до періоду попередження v й обернено пропорційні до довжини динамічного ряду n.
Скористаємося значеннями z* для з’ясування довірчих меж прогнозу витрат оборонного бюджету. При n = 10 і v = 1 значення Z* = 2,252. Оскількиn = 7 … 20 та v = 1 … 4. Як бачимо, вони прямо пропорційні до періоду попередження v й обернено пропорційні до довжини динамічного ряду n.
Скористаємося значеннями z* для з’ясування довірчих меж прогнозу витрат оборонного бюджету. При n = 10 і v = 1 значення Z* = 2,252. Оскількитрат оборонного бюджету. При n = 10 і v = 1 значення Z* = 2,252. Оскількискористатися таблицями Є. Четиркіна. У дод. 6 наведено значення z* = t
0,90 z для n = 7 … 20 та v = 1 … 4. Як бачимо, вони прямо пропорційні до періоду попередження v й обернено пропорційні до довжини динамічного ряду n.
Скористаємося значеннями z* для з’ясування довірчих меж прогнозу витрат оборонного бюджету. При n = 10 і v = 1 значення Z* = 2,252. Оскільки
s e = 2,236, то похибка прогнозу витрат оборонного бюджету становить s p = 2,236 · 2,252 = 5,035, а довірчі межі прогнозу на 2013 р. 62,0 ± 5,035. Отже, з імовірністю 0,90 можна стверджувати, що у 2013 р. витрати оборонного бюджету будуть щонайменше 56,965 і не перевищать 67,035 млрд дол.
У модулі Multiple Regression екстраполяцію тренда на період попередження v можна здійснити за опцією Predict dependent var (див. підрозд. 5.4). Для цього у вікні Specify dependent for indep. vars. треба вказати значення t + v.
Важливим етапом моделювання динаміки є оцінювання адекватності моделі реальному процесу. Основою перевірки гіпотези про адекватність моделі є аналіз залишків, тобто відхилень між первинними рівнями ряду і вирівняними за ?=. За умови, що модель вибрана правильно, випадкова склаs p = 2,236 · 2,252 = 5,035, а довірчі межі прогнозу на 2013 р. 62,0 ± 5,035. Отже, з імовірністю 0,90 можна стверджувати, що у 2013 р. витрати оборонного бюджету будуть щонайменше 56,965 і не перевищать 67,035 млрд дол.
У модулі Multiple Regression екстраполяцію тренда на період попередження v можна здійснити за опцією Predict dependent var (див. підрозд. 5.4). Для цього у вікні Specify dependent for indep. vars. треба вказати значення t + v.
Важливим етапом моделювання динаміки є оцінювання адекватності моделі реальному процесу. Основою перевірки гіпотези про адекватність моделі є аналіз залишків, тобто відхилень між первинними рівнями ряду і вирівняними за ?=. За умови, що модель вибрана правильно, випадкова склау вікні Specify dependent for indep. vars. треба вказати значення t + v.
Важливим етапом моделювання динаміки є оцінювання адекватності моделі реальному процесу. Основою перевірки гіпотези про адекватність моделі є аналіз залишків, тобто відхилень між первинними рівнями ряду і вирівняними за ?=. За умови, що модель вибрана правильно, випадкова склатрендом ttt Yye?=. За умови, що модель вибрана правильно, випадкова складова є стаціонарним процесом з математичним сподіванням M(e) = 0 і дисперсією дова є стаціонарним процесом з математичним сподіванням M(e) = 0 і дисперсією
s e = 2,236, то похибка прогнозу витрат оборонного бюджету становить s p = 2,236 · 2,252 = 5,035, а довірчі межі прогнозу на 2013 р. 62,0 ± 5,035. Отже, з імовірністю 0,90 можна стверджувати, що у 2013 р. витрати оборонного бюджету будуть щонайменше 56,965 і не перевищать 67,035 млрд дол.
У модулі Multiple Regression екстраполяцію тренда на період попередження v можна здійснити за опцією Predict dependent var (див. підрозд. 5.4). Для цього у вікні Specify dependent for indep. vars. треба вказати значення t + v.
Важливим етапом моделювання динаміки є оцінювання адекватності моделі реальному процесу. Основою перевірки гіпотези про адекватність моделі є аналіз залишків, тобто відхилень між первинними рівнями ряду і вирівняними за трендом ttt Yye?=. За умови, що модель вибрана правильно, випадкова складова є стаціонарним процесом з математичним сподіванням M(e) = 0 і дисперсією
2 )( де m — кількість параметрів функції. Іншою умовою адекватності тренда є відсутність автокореляції залишкових величин (див. підрозд. 4.1).
fy n tt ? ?
