Posibniki.com.ua Інформатика Нелінійні моделі економічних процесів 6.3. Структурний портрет нелінійної економічної системи


< Попередня  Змiст  Наступна >

6.3. Структурний портрет нелінійної економічної системи


Сучасну економічну науку вже важко уявити без математичного моделювання, особливо динамічних процесів економіки. У літературі відома, зокрема, така тріада моделювання , де є методологія побудови моделей; — практика побудови і застосування моделей і блок — теорія моделювання.

Зважаючи на глобальний характер нелінійної динаміки процесів та явищ економічних систем, зрозуміло, що розглядати тільки економетричні моделі вкрай недостатньо. Епоха лінійної парадигми в економіці закінчилася. Тепер провідна роль ЕММод нелінійної економічної динаміки належить ММ іншого ґатунку — точковим (скупченим) або системам звичайних диференціальних рівнянь з початковими умовами, як це має місце в природознавстві чи техніці. Насамкінець варто зауважити, що розглядаються моделі стосовно відповідних економічних теорій і моделі реальних економічних об’єктів.

6.3.1. Аналіз досліджень: здобутки і проблеми, цілі

У багатьох працях, зокрема [2, 6, 8, 13, 15, 30, 32], зазначається, що сучасній економіці притаманні інтенсивні взаємодії, зокрема її складових, наявність адаптивних і біфуркативних механізмів на шляху розвитку. Економічній системі, такій, що самоорганізується, відкритій, нелінійній, дисипативній і людиновимірній, у процесі еволюції також властиві гетерархія змінюваності, спадковості та відбору, почерговість атракторів і плавного розвитку, комбінації зворотних зв’язків полярних знаків тощо.

Підкреслюється таке: а) ортодоксальна теорія економічної рівноваги має обмежене застосування в сучасній динамічній економіці; б) пояснення проблем трансформаційної економіки з позиції лінійного мислення вкрай недостатньо; в) ступінь взаємодії різнорідних складових та компонентів економічної системи вимагає критичного переосмислення домінантних положень і лінійних принципів економічного аналізу; г) протягом останнього десятиліття активно формується нелінійний стиль економічного мислення.

Стверджується, що розвиток економічної теорії продукує нові постулати, змінюючи базові поняття та ідеї. Формується парадигма системного і нелінійного наукового економічного мислення, долучаючи здобутки синергетичної економіки. Системна парадигма ставить своєю метою вивчення реального світу економіки по можливості найповніше, що стає доступним лише на підґрунті якісного (аналітичного) дослідження поведінки розв’язків і кількісного (чисельного) аналізу адекватних ММ.

Стисло причини і результати сучасного аналітичного аналізу ММ нелінійної економічної динаміки, який окрім традиційних фазових траєкторій охоплює параметричний портрет — наявність особливих точок і поведінка траєкторій моделі залежно від числових значень її коефіцієнтів, викладено в попередньому параграфі. Варто зауважити, що поняття параметричного портрета вперше трапляється в ЕММод, хоча цілком виправдано й успішно фігурує в математичній біології, біофізиці, екології тощо.

Вивчення нелінійної економічної динаміки логічно завершується в тому сенсі, що наводиться найзагальнішого вигляду параметричний портрет (для фазового простору трьох параметрів). Справді, якщо раніше було розглянуто фазові траєкторії для параметричних пар , то тепер належить їх синтезувати у повніший структурний портрет.

Разом з тим, беручи до уваги слова: «хаотичні явища в нестійких нелінійних динамічних системах можуть бути зрозумілими тільки за допомогою математики (тобто математичного

Разом з тим, беручи до уваги слова: «хаотичні явища в нестійких нелінійних динамічних системах можуть бути зрозумілими тільки за допомогою математики (тобто математичного

лу. Інший можливий варіант розвитку подій — відбувається зародження відразу великого циклу, на вигляд начебто жорсткого збудження, але при русі у зворотному напрямку для того самого значення параметра не спостерігається місця явище гістерезису (рух по циклу припиняється).

Мета параграфа: на підґрунті якісного аналізу ММ нелінійної економічної динаміки (так званого аналітичного моделювання) графічно відтворити надскладну біфуркативну поведінку (наявність стійких особливих точок і граничних циклів, їх злиття та руйнацію) динамічних траєкторій, яка спостерігається залежно від числових коефіцієнтів моделі. Результати такого роду у своїй сукупності утворюють структурний портрет динаміки нелінійної економіки.

6.3.2. Побудова структурного портрета

Будемо розглядати таку модель нелінійної економічної динаміки використовуючи безрозмірні змінні u і v ( u & , v & — їхні похідні по незалежній змінній — часу) та чотири параметри ( ? , ? , µ , ? ), причому коефіцієнт ? успадковано від первісної системи рівнянь Вольтерра

—Лотки, а три інші коефіцієнти ( ? , ? , µ ) детермінують динамічну поведінку розв’язків. Моделлю (6.9) охоплюється ціла низка відомих у синергетичній економіці результатів (окремі випадки системи диференціальних рівнянь (6.12) за різних значень коефіцієнтів).

—Лотки, а три інші коефіцієнти ( ? , ? , µ ) детермінують динамічну поведінку розв’язків. Моделлю (6.9) охоплюється ціла низка відомих у синергетичній економіці результатів (окремі випадки системи диференціальних рівнянь (6.12) за різних значень коефіцієнтів).

Приймається така стратегія якісного вивченнябудуватиметься трипараметричний портрет варіації величини ? . Але побудова трипараметричного портрета починається з розгляду дво

1?= ММ (6.12): для фіксованого значення

1?= {} µ;?;? , поведінка якого відстежуватиметься при так званої жертви). Оскільки для 0?= портрет µ;? відомий, то спочатку розглядатиметься двопараметричний портрет при виконанні нерівності

1?0<<< .

Взаємне розташування рівноважних або особливих точок (нуль-ізоклини 0==vu && ) зображено на рис. 6.12.

Взаємне розташування рівноважних або особливих точок (нуль-ізоклини 0==vu && ) зображено на рис. 6.12. параметричного — {} µ ;? при фіксованому ? (сталому рівні конкуренції з боку змінної х — так званої жертви). Оскільки для 0?= портрет {} µ;? відомий, то спочатку розглядатиметься двопараметричний портрет при виконанні нерівності

1?0<<< .

Взаємне розташування рівноважних або особливих точок (нуль-ізоклини 0==vu && ) зображено на рис. 6.12. v

В –1/? O

1/? u B A A

1 C A

2

Рис. 6.12. Можливе розташування точок рівняння ММ (6.12)

моделювання) і лежать за межами наших інтуїтивних уявлень» [8, с. 18], теоретичний економічний аналіз динаміки нелінійної економіки здійснюється за допомогою однієї з ключових ММ, що цілком відповідає системній парадигмі моделювання.

)?1)(?1(uuy?+= 0=u & , та гіпер

Вони є точками перетину параболи )?1)(?1(uuy?+= , що випливає з умови 0=u & , та гіперболи ? ? ? ? ? ? ? + =1 ?1µ u uv v , оскільки

1?= і 0=v & . При довільних параметрах початок системи координат uOv і точка )0 ;?1(B також рівноважні, причому тривіальна точка завжди сідло, а точка ? ? ? ? ? ? ? + =1 ?1µ u uv v , оскільки

1?= і 0=v & . При довільних параметрах початок системи координат uOv і точка )0 ;?1(B також рівноважні, причому тривіальна точка завжди сідло, а точка ? ? ? ? ? ? ? + =1 ?1µ u uv v , оскільки

1?= і 0=v & . При довільних параметрах початок системи координат uOv і точка )0 ;?1(B також рівноважні, причому тривіальна точка завжди сідло, а точка боли ? ? ? ? ? ? ? + =1 ?1µ u uv v , оскільки

1?= і 0=v & . При довільних параметрах початок системи координат uOv і точка )0 ;?1(B також рівноважні, причому тривіальна точка завжди сідло, а точка

Вони є точками перетину параболи )?1)(?1(uuy?+= , що випливає з умови 0=u & , та гіперболи ? ? ? ? ? ? ? + =1 ?1µ u uv v , оскільки

1?= і 0=v & . При довільних параметрах початок системи координат uOv і точка )0 ;?1(B також рівноважні, причому тривіальна точка завжди сідло, а точка

Точки А, А

1 , А

2 не є сідлами, точка С — сідло. Умова злиття точок А

1 і С чи А

2 і С аналітично записується ізоклини.

1)?1()?1() ?1(µ 2 ??=?+uuu , прирівнюючи ординати v кожної нуль

1)?1()?1() ?1(µ 2 ??=?+uuu , прирівнюючи ординати v кожної нуль

Стійкість особливих точок А, А

1 та А

2 і характер взаємного розташування ліній S

1 і S

2 сід

ло-вузлів та лінії N

1 і N

2 нейтральностей з’ясовуються, беручи до уваги окремі (0?= або

0µ= ) випадки ММ (6.9).

0µ= ло-вузлів та лінії N

1 і N

2 нейтральностей з’ясовуються, беручи до уваги окремі (0?= або

0µ= ) випадки ММ (6.9).

Лініями S

1 і S

2 відповідно сідло-вузлів А

С і А

С на координатній площині параметрів ? і µ утворюється серпоподібна область (рис. 6.17), для внутрішніх точок якої існують на фазовому портреті три нетривіальних рівноважних точки. Поза межами серповидної області розміщена одна рівноважна точка.

1

2

Рис. 6.13. Лінії сідло-вузлів і лінії нейтральностей ММ (6.12)

Рис. 6.13. Лінії сідло-вузлів і лінії нейтральностей ММ (6.12)

Лінія нейтральності N

1 дотикається до кривої S

1 у точці В

1 , перетинає вісь абсцис у двох

Г ? і

Г ? , зустрічається з кривою S

2 у точці

Г ? . Всім значенням параметрів, що лежать на

1

2

1

ГГ ? , на фазовому портреті відповідає нейтральність єдиної рівноважної точки А; точкам на ділянці Г

11

В

1 — нейтральність А

1 . Точка Г

1 відповідає злиттю на фазовому портреті сідла С з вузлом А

1

2 і нейтральності А

1 .

Точка В

1 відповідає біфуркації сідло-вузла А

С, при цьому ділянка А

В

1 кривої S

1 — існуванню на фазовому портреті стійкого сідло-вузла А

1

1

С, а В

А

2 — нестійкості цього ж сідловузла.

1

1

Точка А

1 відповідає злиттю на фазовому портреті сідла С і двох стійких вузлів А

1 і А

2 ; точка А

2 — злиттю сідла С із двома вузлами А

1 або А

2 . На кривій S

2 лежить точка В

2 — така, що ділянка А

В

2 відповідає існуванню на фазовому портреті стійкого сідло-вузла А

С, а ділянка В

1

2

А

2 — нестійкого сідло-вузла А

С. у точці В

2 спостерігається дотик лінії нейтральності N

2 та кривої S

2

2

2 . Лінія нейтральності перетинає криву S

1 (верхню дугу серповидної області) в точці Г

2 і входить у вісь абсцис у точці

Г ? . Ця точка Г

2 — злиття на фазовому поутреті сідла С з вузлом А

2

1 та зміні стійкості точки А

2 .

Отже, різні ділянки лінії нейтральності відповідають нейтральності різних особливих точок на фазовому портреті ММ:

В

1 — нейтральності А

ГГ ? — нейтральності єдиної рівноважної точки А; Г

1

11

1 ; В

В

2 — нейтральності сідла С; В

Г

2 — нейтральності А

2 ;

ГГ ? — знову нейтральності єдиної рівноваги А.

1

2

22

Принагідно зауважити, що класична економічна теорія рівноважного стану засвідчує лише наявність особливих точок, не здогадуючись про досить складний характер їх розмежування та поведінки, наприклад можливість злиття точок.

B — глобально стійкий вузол, якщо нуль-ізоклини не перетинаються впершій чверті, та сідло для інших випадків.

Окрім біфуркаційних ліній особливих точок, також мають місце лінії біфуркації граничних циклів, що геометрично відображено на рис. 6.14.

Рис. 6.14. Параметричний портрет ММ (6.9) для малих ?

Рис. 6.14. Параметричний портрет ММ (6.9) для малих ?

Лінія Р

1 — петля сепаратриси сідла С навколо точки А

1 . З точки В

2 до Д

2 виходить петля сепаратриси сідла С навколо точки А

2 . Крива В

В

2 — лінія нейтральності сідла С; F

1 F

2 — лінія великої петлі сепаратриси, а Н — точка їхнього перетину.

1

Опишемо структуру фазових портретів (рис. 6.15) для кожної з десяти областей параметричного портрета та надамо характеристику поведінки динамічних траєкторій, що відповідає перебігу перехідних процесів. Області 1 і 5 володіють на одній точці глобального тяжіння. Для нейтральних стійких рівноважні стани знаходяться в області 2, в один з яких потрапляє система залежно від стартових умов. Області тяжіння стійких точок А

1 і А

2 розділені вхідною сепаратрисою сідла С. Глобально автоколивний режим притаманний областям 3 і 8.

Для параметричних областей 5 і 6 фазові портрети відрізняються більшим граничним циклом, яким охоплюються всі три рівноважні точки. Якщо перетинати лінію F

1 F

2 великої сепаратриси зверху вниз на ділянці F

Н, то на фазовому портреті з петлі сепаратриси народжується стійкий граничний цикл; при зазначеному напрямку руху на ділянці НF

1

2 руйнується нестійкий граничний цикл.

1

2

3

4

Рис. 6.15. Грубі фазові портрети ММ (6.9) відповідно для областей 1-10 параметричного портрета

Рис. 6.15. Грубі фазові портрети ММ (6.9) відповідно для областей 1-10 параметричного портрета

При переході від області 6 до 5 може мати місце двоякий хід подій: або великий граничний цикл руйнується на петлі сепаратриси, або спочатку всередині стійкого граничного циклу з петлі сепаратриси народжується нестійкий в області 9 і далі обидва цикли анігілюють.

Великий набір режимів динамічної поведінки ММ спостерігається, коли на фазовому портреті одночасно матиме місце стійка рівновага і граничний цикл. Існують дві можливості: стійка рівновага поза областю 4 і всередині циклу 6, 7, 9 і 10. У першому випадку поведінка модельованої системи близька до фазового портрета 2, але замість точки А

1 має місце стійкий граничний цикл навколо рівноважної точки. Досить сильне збурення автоколивного режиму переводить систему у сферу тяжіння точки А

2 .

Області 6, 7, 9 і 10 на рис. 6.18 відповідають ситуації жорсткого режиму збудження автоколивань: досить сильне збурення системи, що перебуває в рівноважному стані, переводить її в режим автоколивань, причому для параметрів з областей 7, 9, 10 межею області тяжіння буде нестійкий граничний цикл навколо рівноваги; для області 6 — більш складна конфігурація сфери тяжіння, а саме напівсепаратриси, що розмотуються з нестійкої точки А

1 і входять у сідло С.

Якщо відбуватиметься варіація параметрів ММ (6.9), а дрейф складових економіки завжди має місце, то які спостерігатимуться процеси на підґрунті комп’ютерного моделювання

— можливі сценарії економічного розвитку?

У разі змінюваності числових значень параметрів моделі зі стійкими рівноважними точками можливі п’ять варіантів розвитку подій.

1. Перехід до нової рівноважної точки характерний для області 2, де лежить точки А

1 і А

2 . При перетині межі А

Г

1 нічого не відбувається, лінії А

В

1 — зрив рівноваги: стійкий вузол А

1

1

1 зливається із сідлом С і відбувається стрибкоподібний перехід до А

2 ; при переході до області 1 від 2 через межу А

В

2 — стрибкоподібно в точку А

1 .

1

2. М’яке збудження коливань відбувається при переході від області 1 до 3; також від 2 до 4, при знаходженні в точці А

1 ; при положенні рівноваги в точці А

2 нічого не відбувається.

3. Жорстке збурення коливань спостерігається для переходів від областей 6, 10 до 3; та від 7 до 8.

4. Зрив стійкої рівноваги на віддалений граничний цикл для параметрів від областей 4 до 3 і в рівноважній точці А

2 відбувається зрив на автоколивний режим (вихідні рівноважні значення змінних лежать поза діапазоном варіації змінних для нового усталеного автоколивного режиму).

5. Народження автоколивань з петлі сідло-вузол відбувається при змінюваності значень параметрів від області 5 до 3. Відразу з’являються коливання значної амплітуди, форма коливань релаксаційна.

При зміні параметрів ММ економічної системи, що перебуває в авто коливному режимі, можуть мати місце чотири типи подій, а саме:

— м’яке затухання коливань (явище протилежне м’якому збудженню) спостерігається для переходу від областей 3 до 1 та від 4 до 2, якщо при параметрах з області 4 система перебувала в режимі автоколивань;

— жорстке затухання коливань має місце для переходу значень параметрів від області 9 до 5 та від 10 до 1;

— руйнація автоколивань на петлі сепаратриси відбувається при переході від області 4 до 5, якщо при значеннях параметрів в області 4 система перебувала в автоколивкому режимі;

— зупинка автоколивань у сідло-вузлі на циклі — явище, зворотне народженню автоколивань із петлі сідло-вузла, відбувається при переході від області 5 до 3.

Фазові портрети ключової ММ нелінійної економічної динаміки геометрично відтворюють прикметне в функціонуванні економічної системи, а саме:

— можливість співіснування економічних станів як у рівноважному, так і коливному режимах;

— множинність атракторів (притягуючих рівноважних станів), серед яких спостерігаються не тільки точки рівноваги, але й граничні цикли;

— так звана гістерезисна поведінка, що призводить до різноманітних перехідних процесів залежно від початкових умов і, як наслідок, — парадоксальна реакція економічної системи на деякі впливи (зовнішні та внутрішні).

Резюме

Загалом у розділі 6 розроблено, орієнтуючись на студента-економіста, методологію і методику аналітичного дослідження поведінки економічної системи на підґрунті динамічних математичних моделей (ММ). Застосовуючи до моделі процесу обміну між двома товарами на ринку технологію якісного аналізу, встановлено формулу обмінної вартості, звідки випливає вираз нерівноважної ціни, яким охоплюється описувана моделлю Ерроу — Дебре — Мак-Кензі рівноважна концепція. У такий спосіб обґрунтовується аналітично поява: грошей у суспільстві як товару, що має нескінченну довговічність або як еквівалента обміну; ціни як міри грошового вираження вартості товару. Також розглянуто по-новому проблеми дефіциту в суспільстві, його обсяг і причини виникнення, неможливість подолання адміністративним розподілом благ.

Засобами якісного математичного моделювання було вивчено моделі з кількома стійкими атракторами (не лише рівноважними точками), розглянуто динаміку поведінки розв’язків залежно від числових значень параметрів моделі, ураховано стани насиченості й конкуренції.Результати такого вивчення подано у вигляді структурного портрета — каркасу, десяти областей фазового простору параметрів ММ, які взаємодіють між собою в кожній з яких траєкторії фазових змінних мають свою власну поведінку. Отже, аналітично підтверджується складний характер траєкторій можливого шляху розвитку економічної системи.

Адаптивна динамічна ММ (6.9) описує не лише відомі в економічній літературі різновиди перехідних процесів економіки, їхній діапазон значно розширився. Варіацією числових кое-

Параметрична систематизація режимів спряжена з біфуркаціями як особливих точок, так і біфуркаціями динамічних траєкторій.

Розбиття простору параметрів на підобласті, кожній з яких відповідає свій фазовий портрет, та проходження межі між областями сприяли появі різновидів динамічних режимів.

Серед опису всіх можливих фазових портретів ММ економічної системи, множина яких відповідає десяти областям параметричного портрета, знайшлися базові, різноманітними комбінаціями яких охоплюються реалії практичної економіки.

Структурний портрет нелінійної економічної динаміки покликаний:

— запобігати екстремальним режимам трансформаційної економічної системи, наприклад заздалегідь передбачити так звану шокову терапію;

— виключити можливість спонтанного розвитку кризових подій, досягаючи певної керованості;

— сприяти пошуку закономірностей перебігу перехідних процесів, вказуючи порогові або критичні значення параметрів еволюції економіки;

— систематизувати певним чином і здійснити своєрідну роду класифікацію можливих шляхів руху економіки.

Привернуто увагу до такого: а) існує так зване порогове, або критичне, значення числових коефіцієнтів ММ, перехід через яке принципово змінює режим функціонування; б) спостерігається розмаїття фазових портретів та особливий характер їхньої поведінки поблизу межі стійкості; в) не лише інтенсивність дійззовні, але і внутрішні механізми (стан) є визначальними для режиму функціонування економічної системи.

Якісне вивчення математичних моделей продемонструвало широку альтернативу динамічних режимів економічної системи, їхньої можливої взаємодії та взаємовпливу, що доповнює вербальні уявлення економічної спільноти про надскладний характер економіки.

Нині відбувається стратегічне розширення й поповнення світоглядних концептів сучасного економіста, позбавляючись стереотипів лінійного мислення.

Терміни і поняття

Модель динамічного стану економіки

Насиченість економічного процесу

Якісне (аналітичне) моделювання

Фазовий портрет

Параметричний портрет

Структурний портрет економічної динаміки

Абсолютний дефіцит (на підґрунті моделювання)

Біфуркаційна лінія

Лінія нейтральності

М’яке збудження (затухання) коливань

Жорстке збудження (затухання) коливань (економічного циклу)

Особлива точка сідло-вузол

Гістерезисна поведінка економічного процесу

Автоколивання перехідного процесу

Зрив стійкої рівноваги.

Питання для перевірки знань

1. Причини якісного аналізу економічного стану.

2. Відмінність між вербальним і математичним якісним аналізом; що спільного між ними. У чому полягають труднощі?

3. Запишіть математичну модель метаболістичного процесу (на прикладі обміну товарами).

4. Економічне тлумачення рівноважних точок у моделі обміну.

5. Призначення матриці лінеаризації.

6. Розкрийте зміст поняття «груба модель».

7. Розтлумачте формулу обмінної вартості.

8. Інтерпретуйте поняття довгочасності товару.

9. Зміст концепції нерівноважної ціни (на прикладі нелінійної моделі обміну товарами).

фіцієнтів моделі було перелічено біфуркативні події, що спостерігаються в прикладній економіці.

10. Виокремте умову появи грошей.

11. Чому рівноважна ціна нестійка?

12. Інтерпретуйте коефіцієнти математичної моделі обміну товарами.

13. Що таке абсолютний дефіцит?

14. Як ураховується насиченість процесу обміну товарами?

15. Як змінилася формула обмінної вартості з урахуванням насиченого обміну?

16. У чому полягає вада безплатного розподілу благ?

17. Запишіть найпростішу адаптивну математичну модель нелінійної економічної динаміки.

18. Призначення фазового портрета.

19. Сутність параметричного портрета.

20. Економічне тлумачення злиття сідло-вузол.

21. Що таке лінія: нейтральності? сепаратриси? біфуркаційна?

22. Режими функціонування економічної системи на підґрунті математичної моделі.

23. Зміст: жорсткого зриву рівноваги; м’якого.

24. Тріада моделювання.

25. Взаємне розташування рівноважних точок нелінійної моделі економічної динаміки.

26. Графічне відображення поведінки економічної системи (розмежування і злиття особливих точок).

27. Розкрийте зміст кожного з п’яти варіантів розвитку подій в економіці на підґрунті математичної моделі.

28. Надайте тлумачення кожному із чотирьох типів подій для економічної системи в автоколивному режимі.

29. Що таке гістерезисна поведінка економічної системи?

30. Прикметне у функціонуванні економічної системи.

Завдання для індивідуальної роботи

1. Застосування методики якісного математичного аналізу об’єктів прикладної економіки (на реальних прикладах).

2. Якісне моделювання: а) національної економіки як умовно закритої системи; б) економіки суспільства як відкритої системи, користуючись системою рівнянь динаміки.

3. Проблеми аналітичного моделювання нелінійної економіки.

4. Інструментарій комп’ютерного моделювання нелінійних економічних процесів.

Список використаних і рекомендованих джерел для поглибленого вивчення матеріалу

Милованов В. П. Неравновесные социально-экономические системы: синергетика и самоорганизация / В. П. Милованов. — М.: УРСС, 2001. — 263 с.

Коляда Ю. В. Адаптивна парадигма моделювання економічної динаміки : монографія / Ю. В. Коляда. — К. : КНЕУ, 2011. — 297 с.

Холодниок М. Методы анализа нелинейных математических моделей пер. с чешск. / М. Холодниок. А. Клич, М. Кубичек, М. Марек. :— М. : Мир, 1991. — 368 с.

Клейнер Г. Б. Экономико-математическое моделирование и экономическая теория / Г. Б. Клейнер// Экономика и математические методы. — 2001. — Т. 37. — № 3. — С. 111—126.


< Попередня  Змiст  Наступна >
Iншi роздiли:
7.2. Узагальнення класичної логістичної структури — неперервної моделі
7.3. Дискретизація логістичного рівняння
7.4. Модель Солоу як узагальнене логістичне відображення
РОЗДІЛ 8. СТОХАСТИЧНІ МОДЕЛІ ПЕРЕБІГУ ЕКОНОМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ
8.2. Ергодичність економічної системи
Дисциплiни

Медичний довідник новиниКулінарний довідникАнглійська моваБанківська справаБухгалтерський облікЕкономікаМікроекономікаМакроекономікаЕтика та естетикаІнформатикаІсторіяМаркетингМенеджментПолітологіяПравоСтатистикаФілософіяФінанси

Бібліотека підручників та статтей Posibniki (2022)