10.1. Методологічні засади структурного моделювання

10,2. Інструменти структурного моделювання в системі Statistica

10.3. Аналітичні можливості рекурсивної моделі

Після вивчення цього розділу студент повинен знати: логіку структурного моделювання взаємозв’язків у складних системах; особливості одночасних і рекурсивних систем рівнянь; сутність і правила перевірки ідентифікації моделей; методи оцінювання параметрів надідентифікованих одночасних рівнянь; програмне забезпечення структурного моделювання в системі Statistica; аналітичні можливості рекурсивних моделей; уміти: відповідно до мети статистичного дослідження формувати інформаційну базу моделі й описувати взаємозв’язки в складних системах графічно або таблично; перевіряти ідентифікованість системи рівнянь; вибирати метод оцінювання параметрів моделі; оцінювати параметри моделі й тестувати адекватність її реальним процесам за процедурами структурного моделювання, реалізованими в модулі Sepath.

10.1. МЕТОДОЛОГІЧНІ ЗАСАДИ СТРУКТУРНОГО МОДЕЛЮВАННЯ

Складність і багатогранність взаємозв’язків, наявність зворотного впливу зумовлюють необхідність використання моделей у вигляді системи взаємозалежних рівнянь. Розрізняють два типи таких систем. В одних системах рівняння описують послідовний ланцюг причинно-наслідкових зв’язків, що уможливлює послідовне їх розв’язування. Іншим системам властиві зворотні зв’язки, коли та сама змінна одночасно виступає і як причина, і як наслідок. У такому разі рівняння необхідно розв’язувати одночасно.

Логіко-методологічна схема побудови будь-якої системи рівнянь охоплює формування логічного каркаса моделі та специфікацію рівнянь. Логічний каркас моделі можна подати геометрично у вигляді орієнтованого графа зв’язку або у вигляді матриці суміжності. Граф зв’язку складається з р вершин, з’єднаних дугами. Дуги графа відображають напрям зв’язку, послідовність дуг одного напряму називають шляхом, а кількість послідовно з’єднаних дуг — дов-

жиною шляху. На основі графа можна простежити прямі й опосередковані зв’язки (причинно-наслідкові ланцюги), виявити контури зворотних зв’язків тощо.

Наведені на рис. 10.1 графи ілюструють різний характер зв’язку між причинами х і і наслідками у j . Як бачимо, на а-графі прямі й опосередковані зв’язки односпрямовані: x

1 прямо впливає на у

1 , х

2 прямо впливає на у

2 і опосередковано, через x

1 , на у

1 ; у свою чергу у

2 і т. д. Контурів зворотного зв’язку немає. Зберігаючи лише ті дуги, які не можна продублювати іншими шляхами, дістанемо мінімальний граф зв’язку — Гамільтонів шлях: х

1 впливає на у

2 ? ? х

3 ?х

1 ? у

2 ? у

3 . Він найбільш компактно описує структуру взаємозв’язків і містить усю необхідну інформацію для побудови моделі у вигляді системи рівнянь і послідовного оцінювання кожного рівняння методами класичного МНК. Модель такого типу називають рекурентною або рекурсивною.

1 ? у

У системі, зображеній б-графом, наявні обернені зв’язки, які формують контури х

2 ? х

1 ? х

3 та у

2 ? у

1 . За наявності контурів структура взаємозв’язків описується системою одночасних, або симультативних, рівнянь, звідси модель дістала назву симультативної (simultaneous equations).

3 ?х

1 ? у

Рис. 10.1. Графи зв’язку: а) послідовного прямого зв’язку; б) одночасно реалізованого прямого і зворотного зв’язку

При складному переплетенні взаємозв’язків шляхи впливу будь-якої довжини можна формалізувати за допомогою матриці суміжності — квадратної матриці порядку р з одиничними і нульовими елементами залежно від наявності (відсутності) дуг між вершинами x i і x k . Рядки такої матриці асоціюються з причинами, а стовпці — з наслідками. Якщо x i впливає на x k , на перетині і-го рядка і k-го стовпця, ставиться одиниця. Нуль символізує відсутність впливу. Матрицю суміжності, що відповідає наведеному вище а-графу, наведено в табл. 10.1.

Важливим етапом модельної специфікації є поділ змінних, що формують структуру моделі, на ендогенні та екзогенні. Ендогенні — це взаємозалежні змінні, зумовлені внутрішньою структурою процесу, вони є предметом аналізу. Кількість рівнянь і тотожностей моделі дорівнює кількості ендогенних змінних. Включені до моделі незалежні змінні називають екзогенними, саме вони спричиняють зміни в системі взаємозв’язків, не зазнаючи на собі зворотного впливу. Класифікація змінних на ендогенні та екзогенні досить умовна й залежить від природи і суті явища, яке вивчається, та від мети дослідження.

Таблиця 10.1

МАТРИЦЯ СУМІЖНОСТІ х

1 х

2 х

3 у

1 у

2 у

3 х

001000

1 х

011001

2 х

100010

3 у

010000

1 у

100000

2 у

3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

000000

Розглянемо докладніше систему одночасних рівнянь, у яких ендогенні змінні взаємозалежні. Як приклад використаємо взаємозв’язок, зображений б-графом на рис. 10.1. Для спрощення будемо розглядати рівняння без перетину:

У системі два рівняння, у правій частині кожного з них по три змінні — дві екзогенні й одна ендогенна. Екзогенна змінна х

2 спільна для обох рівнянь, змінні х

1 тах

3 представлені лише в одному рівнянні. Окрім екзогенних змінних кожне рівняння містить ендогенну змінну. Параметри структурної моделі відображають прямий вплив кожного фактора на залежну змінну. За економічним змістом вони можуть бути коефіцієнтами регресії, еластичності, граничними нормами тощо. Непрямі, опосередковані, впливи можна визначити лише в процесі розв’язування системи рівнянь.

У динамічних моделях з’являються лагові змінні, за допомогою яких можна розірвати контури зв’язку і перетворити симультативну модель на рекурсивну. Скажімо, у першому рівнянні наведеної системи ендогенну змінну у

2 можна замінити лаговою змінною у

2,t – 1 :

Лаговим змінним властиві такі ж риси, як і екзогенним, тому вони об’єднуються в один клас предетермінованих або наперед визначених змінних z j .

Окреме і-те рівняння системи можна записати так:

у i = Y i a i + Z j b j + e i , у i = Y i a i + Z j b j + e i , де Y i — вектор ендогенних змінних в і-му рівнянні (і = 1, 2, …, k i ); а i

— коефіцієнти при ендогенних змінних, що входять в і-те рівняння; Z j — вектор екзогенних і лагових змінних і-го рівняння (j = 1, 2,…,m i ); b j

— коефіцієнти при змінних z j в і-му рівнянні; е t

— випадкові величини.Z j — вектор екзогенних і лагових змінних і-го рівняння (j = 1, 2,…,m i ); b j

— коефіцієнти при змінних z j в і-му рівнянні; е t

— випадкові величини.де Y i — вектор ендогенних змінних в і-му рівнянні (і = 1, 2, …, k i ); а i

— коефіцієнти при ендогенних змінних, що входять в і-те рівняння; Z j — вектор екзогенних і лагових змінних і-го рівняння (j = 1, 2,…,m i ); b j

— коефіцієнти при змінних z j в і-му рівнянні; е t

— випадкові величини.

Модель описує структуру взаємозв’язків між змінними, і тому її називають структурною. Оскільки ті самі ендогенні змінні входять до різних рівнянь моделі, то це призводить до залежності залишків від ендогенних змінних, що ускладнює оцінювання параметрів моделі класичним МНК. Щоб виключити кореляцію залишків, структурну модель трансформують, спрощують. У спрощеній формі моделі усі ендогенні змінні виражаються виключно через предетерміновані (екзогенні та лагові) змінні та випадкові величини: де r j — коефіцієнти спрощеної форми при предетермінованих змінних z j , оцінюються класичним МНК; v i — випадкова величина.

Параметри спрощеної моделі вимірюють повний (прямий і опосередкований) вплив цих змінних на ендогенну змінну.

Проблема оцінювання параметрів структурної моделі на основі спрощеної форми і можливості її перетворення пов’язані з поняттям ідентифікації моделі. Модель називають ідентифікованою, коли параметри структурної моделі однозначно описують зв’язок виходячи з оцінених параметрів спрощеної форми. Кожне рівняння системи піддається перевірці на ідентифікованість. Підставою для висновку є дотримання умови рангу або похідної від неї умови порядку.

Сутність умови порядку як критерію ідентифікованості рівняння полягає у співвідношенні (k i – 1) ? (m – m i ), де k i — кількість ендогенних змінних в i-му рівнянні; m і m i — кількість предетермінованих змінних у системі загалом і в i-му рівнянні відповідно.

За цим критерієм для ідентифікації i-го рівняння симультативної моделі кількість предетермінованих змінних, виключених з цього рівняння (m – m i ), має бути на одиницю більша за кількість включених у рівняння ендогенних змінних k i . Кожне рівняння ідентифікованої системи відображає певну систему взаємозв’язків, не дублює й не може бути замінено ніякою комбінацією інших рівнянь.

Окремі рівняння симультативної системи можуть бути неідентифікованими

[(m – m i ) < (k i – 1)] або надідентифікованими [(m – m i ) > (k i – 1)]. Якщо принаймні одне рівняння системи виявиться неідентифікованим, то і вся система визнається неідентифікованою, оскільки жодним методом не можна визначити структурні параметри системи на основі оцінених параметрів спрощеної форми. За наявності надідентифікованих рівнянь система не має однозначного розв’язку. Щоб отримати однозначну оцінку структурних параметрів, у надідентифікованій системі застосовують методи, які дають змогу зняти неоднозначність. Найбільш поширеним серед них є 2МНК — двокроковий метод найменших квадратів.

Перевіримо ідентифікованість системи рівнянь, яка містить три ендогенні змінні, загальна кількість екзогенних і лагових змінних m = 6:змінні, загальна кількість екзогенних і лагових змінних m = 6:[(m – m i ) < (k i – 1)] або надідентифікованими [(m – m i ) > (k i – 1)]. Якщо принаймні одне рівняння системи виявиться неідентифікованим, то і вся система визнається неідентифікованою, оскільки жодним методом не можна визначити структурні параметри системи на основі оцінених параметрів спрощеної форми. За наявності надідентифікованих рівнянь система не має однозначного розв’язку. Щоб отримати однозначну оцінку структурних параметрів, у надідентифікованій системі застосовують методи, які дають змогу зняти неоднозначність. Найбільш поширеним серед них є 2МНК — двокроковий метод найменших квадратів.

Перевіримо ідентифікованість системи рівнянь, яка містить три ендогенні змінні, загальна кількість екзогенних і лагових змінних m = 6:

Перше рівняння містить три ендогенні і чотири предетерміновані змінні,

тобто (m – m i ) = 6 – 4 = 2 і (k i – 1) = 3 – 1 = 2, що свідчить про точну ідентифікованість цього рівняння. Аналогічно можна перевірити ідентифікованість другого і третього рівнянь (табл. 10.2). Оскільки одне з рівнянь не ідентифіковане, то система рівнянь у цілому визнається неідентифікованою. тобто (m – m i ) = 6 – 4 = 2 і (k i – 1) = 3 – 1 = 2, що свідчить про точну ідентифікованість цього рівняння. Аналогічно можна перевірити ідентифікованість другого і третього рівнянь (табл. 10.2). Оскільки одне з рівнянь не ідентифіковане, то система рівнянь у цілому визнається неідентифікованою.

Таблиця 10.2

ПЕРЕВІРКА СИСТЕМИ РІВНЯНЬ НА ІДЕНТИФІКОВАНІСТЬ

Рівняння	Кількість в i-му рівнянні		Умова порядку	Ідентифікованість рівняння
	наперед визначених змінних	ендогенних змінних
14		3	(6 – 4) = (3 – 1)	точна
23		2	(6 – 3) > (2 – 1)	над
35		3	(6 – 5) < (3 – 1)	не

Зауважимо, що умова порядку є необхідною, але не достатньою умовою ідентифікації моделі. Необхідність та достатність ідентифікації гарантує умова рангу, яка стосується рангу матриці, тобто найбільшої кількості лінійно незалежних рядків чи стовпчиків матриці.

Під час моделювання складних причинних комплексів взаємозв’язків часом стикаються з проблемою надлишковості інформації, коли включені до ознакового простору моделі екзогенні змінні х і високорельовані (мультиколінеарні). Щоб забезпечити адекватність моделі реальному процесу, вдаються до заміни такого типу ознакової множини меншою кількістю некорельованих величин, які б зберігали всю інформацію про причинно-наслідковий механізм формування явища (процесу) і не впливали на точність результатів аналізу. Інструментом такої заміни є метод головних компонент.

Отже, якщо специфікація моделі не відповідає вимогам математичного апарату та емпіричним даним, а система рівнянь виявляється неідентифікованою, можливі три способи видозмінити модель:

• виключити з моделі деякі ендогенні змінні;

• включити в модель додаткові екзогенні або лагові змінні;

• замінити певну множину взаємозалежних змінних багатовимірними оцінками, скажімо головними компонентами.

Розглянемо методику оцінювання параметрів симультативної моделі. Точно ідентифіковане структурне рівняння можна оцінити методом непрямих найменших квадратів на основі параметрів спрощеної форми. Процедура оцінювання структурних параметрів за цим методом умовно поділяється на три етапи (рис. 10.2).

Рис. 10.2. Етапи оцінювання точно ідентифікованих структурних рівнянь непрямим МНК

За умовними даними групи комерційних банків розглянемо систему регресійних рівнянь, які описують взаємозв’язок процентних ставок за кредитами Rk і депозитами Rd з коефіцієнтом ліквідності зобов’язань L та стабільності депозитів D. Коефіцієнт L визначається відношенням наданих кредитів і залучених депозитів, коефіцієнт стабільності депозитів D — відношенням обсягу стабільних депозитів до загальної суми депозитів. Структурні рівняння мають вигляд:

У правій частині кожного рівняння одна екзогенна змінна й одна ендогенна.

Рівняння точно ідентифіковані, тож систему можна розв’язати непрямим МНК.

Значення включених до моделі взаємозв’язаних показників наведено в табл. 10.3.

Таблиця 10.3

ЗНАЧЕННЯ ПОКАЗНИКІВ, ВКЛЮЧЕНИХ ДО СИСТЕМИ РІВНЯНЬ

1

18

14

150

У скороченій формі кожна ендогенна змінна подається як функція всіх екзогенних змінних системи рівнянь, тобто

Числові значення параметрів спрощеної форми визначаються класичним МНК. Вони взаємозв’язані зі структурними параметрами моделі:

Застосувавши МНК до даних табл. 10.3, дістанемо рівняння спрощеної форми:

Значення t-критерію, F-критерію і коефіцієнтів детермінації засвідчують, що обидва рівняння мають високий рівень надійності, отже, параметри спрощеної форми можна перетворити на структурні коефіцієнти, використовуючи наведені вище формули взаємозв’язків між ними.

Знаменник коефіцієнтів дорівнює

Структурні рівняння мають вигляд

Оцінювання параметрів надідентифікованих рівнянь здійснюється двокроковим МНК. На першому кроці визначаються параметри спрощеної системи рівнянь, перевіряється їхня істотність і визначаються теоретичні значення ендогенних змінних для кожної одиниці сукупності. На другому кроці у правій частині структурних рівнянь значення ендогенних змінних замінюються теоретичними, розрахованими в межах спрощеної системи.

Для лінійної моделі:

Сформовані в такий спосіб рівняння розглядаються як звичайні рівняння регресії, параметри їх визначаються МНК і використовуються під час прогнозування.

Оцінювання структурних параметрів 2МНК складається з таких послідовних кроків (рис. 10.3).

Рис. 10.3. Етапи оцінювання надідентифікованих структурних рівнянь 2МНК

Зауважимо, що 2МНК можна застосувати і для точно ідентифікованої системи рівнянь. Для цього на основі спрощеної форми належить визначити теоретичні значення ендогенних змінних і підставити їх у праву частину структурних рівнянь (етап 3).

У табл. 10.4 наведено теоретичні значення процентних ставок за кредитами і депозитами, розраховані на основі рівнянь спрощеної і структурної форм.

Таблиця 10.4

ТЕОРЕТИЧНІ ЗНАЧЕННЯ ПРОЦЕНТНИХ СТАВОК

ЗА КРЕДИТАМИ І ДЕПОЗИТАМИ

№ з/п	На основі спрощеної форми		На основі структурної форми ~ ~
	?? ?	dR ?	kR	dR
1	19,505	15,2	19,573	15,212
2	23,549	18,524	23,613	18,534
3	19,947	15,358	20,013	15,370
4	25,786	20,766	25,852	20,775
5	22,368	17,062	22,428	17,072

623,06418,2523,13018,261

7	24,034	18,798	24,096	18,808
8	24,464	19,958	24,534	19,968
9	24,73	19,986	24,798	19,996

Характерні особливості 2МНК:

• метод забезпечує однозначну оцінку структурних параметрів моделі в надідентифікованих рівняннях;

• метод можна застосувати для оцінювання кожного окремого рівняння системи без прямого врахування інших, що робить його економним і надає переваги у практичному використанні;

• незважаючи на те що метод було спеціально розроблено для оцінювання надідентифікованих рівнянь, його можна застосувати і для точно ідентифікованих рівнянь; у цьому разі результати ідентичні.

Моделі, представлені системою рівнянь, — це потужна техніка багатовимірного статистичного аналізу. Структура взаємозв’язків у системі може бути досить складною, проте тип її постулюється — це лінійні зв’язки, тобто зв’язки, які описуються лінійними рівняннями.

Розроблені та всебічно протестовані моделі симультативних рівнянь можна застосувати для програвання можливих сценаріїв розвитку явища (процесу) або для обґрунтування певного управлінського рішення. Системи рівнянь, представлених однозначними причинно-наслідковими ланцюгами (рекурсивні моделі), розглядаються в 10.3.