Posibniki.com.ua Інформатика Нелінійні моделі економічних процесів 4.3. Стійкість і нестійкість динамічних моделей економіки


< Попередня  Змiст  Наступна >

4.3. Стійкість і нестійкість динамічних моделей економіки


4.3.1. Поведінка траєкторій лінійної моделі

Спершу фігуруватиме диференціальна система з постійною матрицею коефіцієнтів, а саме:

75

Твердження 1 2 . Лінійна ЕММ динаміки у вигляді (4.4) стійка лише тоді, коли всі харак

)(??A ii =то всі вони від’ємні або дорівнюють нулю) дійсні частини

0Re?? i (i = 1, 2, …, n).

Наслідок. Якщо виконується умова

0?Re< i ,то матиме місце асимптотична стійкість.

Отже, треба вміти досліджувати корені вікового (характеристичного) рівняння то всі вони від’ємні або дорівнюють нулю) дійсні частини

0Re?? i (= 1, 2, …, ).

Наслідок. Якщо виконується умова

0?Re< i ,то матиме місце асимптотична стійкість.

Отже, треба вміти досліджувати корені вікового (характеристичного) рівняння

0?Re< i

Отже, треба вміти досліджувати корені вікового (характеристичного) рівняння

0)?det(=?EA

0)1(...???

2

2

1 =?+++? ?? n nnnn AAA , де ? == i ij SpAaA

1 —

0)1(...???

2

2

1 =?+++? ?? n nnnn AAA , де ? == i ij SpAaA

1 —

0)1(...???

2

2

1 =?+++? ?? n nnnn AAA , де ? == i ij SpAaA

1 — < ji jjji

Узагальнено для асимптотичної стійкості ЕММ (4.4) необхідно й достатньо виконання = ijii aa aa A

2 ; … AA n det= . ijii aa aa A

2 ; … AA n det= . умов Гурвіца:0 ~

11 >?=A?;

0

1 ~

321

23

1

2 >+?? ? ? =AAA AA A ? ; …

0 ~ )1( ~

1 >?= ?nn n n A??

Приклад 1. Для полінома

0

23 =+++rqzpzz , де p, q, r — дійсні числа, умови Гурвіца ма0 ~

11 >?=A?;

0

1 ~

321

23

1

2 >+?? ? ? =AAA AA A ? ; …

0 ~ )1( ~

1 >?= ?nn n n A??

Приклад 1. Для полінома

0

23 =+++rqzpzz , де p, q, r — дійсні числа, умови Гурвіца ма0 ~

11 >?=A?;

0

1 ~

321

23

1

2 >+?? ? ? =AAA AA A ? ; …

0 ~ )1( ~

1 >?= ?nn n n A??

Приклад 1. Для полінома

0

23 =+++rqzpzz , де p, q, r — дійсні числа, умови Гурвіца ма

0

23 =+++rqzpzz , де p, q, r — дійсні числа, умови Гурвіца мають вигляд: r > 0;0 ~

1 >?=q?;

0

1 ~

2 >= q rq ? ; 01 ~

21 >=??. Звідси випливає, що має бути q > 0 і r< pq. Отже, у просторі коефіцієнтів область Оpqr поліномів Гурвіца обмежена додатною частиною координатної площини r = 0 і гіперболічним параболоїдом r = pq, що графічно відтворено на рис. 4.4 0 ~

1 >?=q?;

0

1 ~

2 >= q rq ? ; 01 ~

21 >=??. Звідси випливає, що має бути q > 0 і r< pq. Отже, у просторі коефіцієнтів область Оpqr поліномів Гурвіца обмежена додатною частиною координатної площини r = 0 і гіперболічним параболоїдом r = pq, що графічно відтворено на рис. 4.4 0 < r< pq. Отже, у просторі коефіцієнтів область Оpqr поліномів Гурвіца обмежена додатною частиною координатної площини r = 0 і гіперболічним параболоїдом r = pq, що графічно відтворено на рис. 4.4 частиною координатної площини r = 0 і гіперболічним параболоїдом r = pq, що графічно відтворено на рис. 4.4 теристичні числа )(??A ii = матриці А мають недодатні (якщо характеристичні числа дійсні, то всі вони від’ємні або дорівнюють нулю) дійсні частини

0Re?? i (i = 1, 2, …, n).

Наслідок. Якщо виконується умова

0?Re< i ,то матиме місце асимптотична стійкість.

Отже, треба вміти досліджувати корені вікового (характеристичного) рівняння

0)?det(=?EA , інша форма запису якого

0)1(...???

2

2

1 =?+++? ?? n nnnn AAA , де ? == i ij SpAaA

1 — слід матриці А; ? < = ji jjji ijii aa aa A

2 ; … AA n det= .

Узагальнено для асимптотичної стійкості ЕММ (4.4) необхідно й достатньо виконання умов Гурвіца:0 ~

11 >?=A?;

0

1 ~

321

23

1

2 >+?? ? ? =AAA AA A ? ; …

0 ~ )1( ~

1 >?= ?nn n n A??

Приклад 1. Для полінома

0

23 =+++rqzpzz , де p, q, r — дійсні числа, умови Гурвіца мають вигляд: r > 0;0 ~

1 >?=q?;

0

1 ~

2 >= q rq ? ; 01 ~

21 >=??. Звідси випливає, що має бути q > 0 і 0 < r< pq. Отже, у просторі коефіцієнтів область Оpqr поліномів Гурвіца обмежена додатною частиною координатної площини r = 0 і гіперболічним параболоїдом r = pq, що графічно відтворено на рис. 4.4 r = pq поверхня r = pq

0 r p q

Рис. 4.4 Область поліномів Гурвіца

Приклад 2. Визначити область асимптотичної стійкості траєкторії еволюції економічної системи, математичною моделлю динаміки якої є система ЗДР: де ? і ? — дійсні параметри.

Вікове (характеристичне) рівняння ЕММ динаміки економічного розвитку має вигляд

Вікове (характеристичне) рівняння ЕММ динаміки економічного розвитку має вигляд

Звідси, беручи до уваги визначення асимптотичної стійкості, випливає, що динамічні тра

Звідси, беручи до уваги визначення асимптотичної стійкості, випливає, що динамічні тра

0)??21(>?

2

1 ??< . На площині з координатними осями ? і ? області стійкості відповідає заштрихована частина, що лежить між гілками гіперболи (рис. 4.5).єкторії набувають зазначеної якості тоді, коли виконується нерівність

0)??21(>? і рівносильно

2

1 ??< . На площині з координатними осями ? і ? області стійкості відповідає заштрихована частина, що лежить між гілками гіперболи (рис. 4.5).

2

Оскільки результат береться без доведення, то замість слова «теорема» фігурує твердження.

Рис. 4.5 Графічне відображення динаміки економічного розвитку

Рис. 4.5 Графічне відображення динаміки економічного розвитку

4.3.2. Критерії оцінювання стійкості динамічних траєкторій

Спершу зупинимося на застосуванні в реальній економіці зазначених вище результатів.

У теорії економічної рівноваги вимагається [2], щоб процес формування цін був глобаль,(4.4 а)

0 >p має існувати границя ptp t = ?? )(lim , де p — деякий вектор рівноважних цін, залежний від p . Реально така вимога має відбуватися протягом скінченного часу. Щодо стійкості ціни та інших супутніх для неї характеристик, існує нагальна потреба в прагматичних оцінках, досить простих, практичної спрямованості.

Для прикладу, моделювання n взаємозв’язаних ринків збуту n видів товарів (або послуг), що надходять по одній або кількох пов’язаних між собою галузях промисловості (або систем обслуговування), зводиться до розгляду класичної [9] математичної моделі (ММ): но стійким, тобто за довільного

0 >p має існувати границя ptp t = ?? )(lim , де p — деякий вектор рівноважних цін, залежний від p . Реально така вимога має відбуватися протягом скінченного часу. Щодо стійкості ціни та інших супутніх для неї характеристик, існує нагальна потреба в прагматичних оцінках, досить простих, практичної спрямованості.

Для прикладу, моделювання n взаємозв’язаних ринків збуту n видів товарів (або послуг), що надходять по одній або кількох пов’язаних між собою галузях промисловості (або систем обслуговування), зводиться до розгляду класичної [9] математичної моделі (ММ): но стійким, тобто за довільного

0 >p має існувати границя ptp t = ?? )(lim , де p — деякий вектор рівноважних цін, залежний від p . Реально така вимога має відбуватися протягом скінченного часу. Щодо стійкості ціни та інших супутніх для неї характеристик, існує нагальна потреба в прагматичних оцінках, досить простих, практичної спрямованості.

Для прикладу, моделювання n взаємозв’язаних ринків збуту n видів товарів (або послуг), що надходять по одній або кількох пов’язаних між собою галузях промисловості (або систем обслуговування), зводиться до розгляду класичної [9] математичної моделі (ММ): )()(tAptp= & )()(tAptp= & де p(t) — вектор цін товарів у момент часу t; )(tp & — похідна вектора цін, матриця A = (a ij ), i, j = 1, 2, …, n постійна. Якщо всі товари взаємозамінювані, то А є матрицею Метцлера, тобi, j = 1, 2, …, n постійна. Якщо всі товари взаємозамінювані, то А є матрицею Метцлера, тобто виконується a ij < 0 для i=j;

0? ij a , .ji? де p(t) — вектор цін товарів у момент часу t; )(tp & — похідна вектора цін, матриця A = (a ij ), i, j = 1, 2, …, n постійна. Якщо всі товари взаємозамінювані, то А є матрицею Метцлера, тобто виконується a ij < 0 для i=j;

0? ij a , .ji?

Відповідь на запитання про стійкість цін дає класичний результат — теорема Метцлера: система (4.4 а) звичайних диференціальних рівнянь з постійною матрицею коефіцієнтів А стійка тоді і тільки тоді, коли головні мінори матриці А відповідають умовам додатності

0 ... det)1(

222

21 > ? ? ? ? ? ? ? kkk k k k k aa aa aa a a a (4.5)

0 ... ... ... det)1(

2

222

112

1

21

11 > ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? kkk k k k k aa aa aa a a a (4.5) для всіх k = 1, 2, …, n.

Для розв’язання прикладних задач перевірку умов (4.5) — знаходження великої кількості детермінантів не можна визнати досить зручною, навіть використовуючи комп’ютер. Окрім цього, практичний аналіз і синтез економічних систем передбачає знання не тільки стійкості, але і області стійкості, якості, точності тощо.

Ефективне розв’язання проблеми стійкості траєкторій ММ (4.5) динаміки цін вбачається в долученні здобутків лінійної теорії аналізу процесів у складних системах автоматичного управління [20].

Серед множини результатів такого роду привертає увагу праця [20], де викладено єдиний підхід до розв’язання основних задач теорії стійкості неперервних і дискретних стаціонарних систем, включаючи запізнення. Слід зазначити, що методи і алгоритми роботи [20] найкраще пристосовані до використання комп’ютера, а лаги (запізнення) — невід’ємна складова економіки, її процесів.

Умови (4.5) неконструктивні з позиції їх комп’ютерної перевірки та відповідей на основні запити економічної практики. Скористаємося новими, вельми плідними з погляду практичного використання, підходами [20].для всіх k = 1, 2, …, n.

Для розв’язання прикладних задач перевірку умов (4.5) — знаходження великої кількості детермінантів не можна визнати досить зручною, навіть використовуючи комп’ютер. Окрім цього, практичний аналіз і синтез економічних систем передбачає знання не тільки стійкості, але і області стійкості, якості, точності тощо.

Ефективне розв’язання проблеми стійкості траєкторій ММ (4.5) динаміки цін вбачається в долученні здобутків лінійної теорії аналізу процесів у складних системах автоматичного управління [20].

Серед множини результатів такого роду привертає увагу праця [20], де викладено єдиний підхід до розв’язання основних задач теорії стійкості неперервних і дискретних стаціонарних систем, включаючи запізнення. Слід зазначити, що методи і алгоритми роботи [20] найкраще пристосовані до використання комп’ютера, а лаги (запізнення) — невід’ємна складова економіки, її процесів.

Умови (4.5) неконструктивні з позиції їх комп’ютерної перевірки та відповідей на основні запити економічної практики. Скористаємося новими, вельми плідними з погляду практичного використання, підходами [20].

Характеристичне рівняння лінійної стаціонарної системи (4.4а), як відомо, записується так: n уявна одиниця, ? — змінна.

Далі розглядається функція логарифмічної похідної характеристичного многочлена: де Re позначає дійсну частину комплекснозначної функції. Функція )?(R просто зображується через коефіцієнти характеристичного рівняння, а саме: на але не достатня для стійкості,.

Далі розглядається функція логарифмічної похідної характеристичного многочлена: де Re позначає дійсну частину комплекснозначної функції. Функція )?(R просто зображується через коефіцієнти характеристичного рівняння, а саме: на але не достатня для стійкості,.

)?( )?( Re)?( iF iF R ? = , )?( )?( Re)?( iF iF R ? = , )?()?()?(iVUiF+= , )?()?()?(iVUiF+= , ...??)(

4

4 2

20 ?+?=?aaaU є дійсна частина; ...)??(?)(

4

5 2

31 ?+?=?aaaV — уявна частина комплексної функції;

22 )?( VU UVVU R + ? ? ? , де ...??)(

4

4 2

20 ?+?=?aaaU є дійсна частина; ...)??(?)(

4

5 2

31 ?+?=?aaaV — уявна частина комплексної функції;

22 )?( VU UVVU R + ? ? ? , де...)?42(? ?

2

42 ?+??= ? aa d dU U і ...?5?3 ?

2

5 2

31 ?+??= ? aaa d dV V.

На підставі функції )?(R стійкість системи (4.4 а) визначається без традиційного обчис

0)?(<R?

0)?(>Rде...)?42(? ?

2

42 ?+??= ? aa d dU U і ...?5?3 ?

2

5 2

31 ?+??= ? aaa d dV V.

На підставі функції )?(R стійкість системи (4.4 а) визначається без традиційного обчислення коренів характеристичного рівняння (4.6): якщо має місце нерівність

0)?(<R для деякого ? , то неперервна лінійна стаціонарна система (4.4а) нестійка. Умова

0)?(>R необхід

0

10 =+xaxa & писати умови стійкості.

Вікове рівняння має вигляд

10 ?)?(aaF+= . Отже, ?)?(

01 iaaiF+= ;

0 )?(iaiF= ? . Звідси

10 ?)?(aaF+= ?)?(

01 iaaiF+=

0 )?(iaiF= ? )?( )?(

22

0 2

1

10 aa aa R + = . Відповідно до інтегрального критерію стійкості )?( )?(

22

0 2

1

10 aa aa R + = . Відповідно до інтегрального критерію стійкості ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = + == ? ?? ? ?? ?? різні. знаки 1, знака; одного і икоефіцієнт 1, ?arctg ?

1 ? )?( ?

1 ?)?( ?

1

10

1

0

22

0 2

1

10 аа a a d aa aa dRI & ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = + == ? ?? ? ?? ?? різні. знаки 1, знака; одного і икоефіцієнт 1, ?arctg ?

1 ? )?( ?

1 ?)?( ?

1

10

1

0

22

0 2

1

10 аа a a d aa aa dRI &

Приклад 1. Для одновимірної динамічної моделі

0

10 =+xaxa & зі сталими коефіцієнтами записати умови стійкості.

Вікове рівняння має вигляд

10 ?)?(aaF+= . Отже, ?)?(

01 iaaiF+= ;

0 )?(iaiF= ? . Звідси )?( )?(

22

0 2

1

10 aa aa R + = . Відповідно до інтегрального критерію стійкості ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = + == ? ?? ? ?? ?? різні. знаки 1, знака; одного і икоефіцієнт 1, ?arctg ?

1 ? )?( ?

1 ?)?( ?

1

10

1

0

22

0 2

1

10 аа a a d aa aa dRI &

Отже, ММ асимптотично стійка, коли коефіцієнти характеристичного рівняння мають однин знак.

Приклад 2. Визначити стійкість неперервної ЕММ, характеристичне рівняння якої має виде Графік

100?52?62?44?21?6?)?(

23456 ++++++=F

Вважаючи, що??i=, складаємо відношення гляд

100?52?62?44?21?6?)?(

23456 ++++++=F

Вважаючи, що??i=, складаємо відношення

22 )?( VU UVVU R + ? ? ? = ,

22 )?( VU UVVU R + ? ? ? = , гляд

100?52?62?44?21?6?)?(

23456 ++++++=F

Вважаючи, що??i=, складаємо відношення

22 )?( VU UVVU R + ? ? ? = ,

642 ??21?62100?+?=U ;

52 ?6?44?52+?=V ;

52 ?6?84?124?+?= ? U ;

42 ?30?13252+?= ? V .

642 ??21?62100?+?=U ;

52 ?6?44?52+?=V ;

52 ?6?84?124?+?= ? U ;

42 ?30?13252+?= ? V .

642 ??21?62100?+?=U ;

52 ?6?44?52+?=V ;

52 ?6?84?124?+?= ? U ;

42 ?30?13252+?= ? V . функції )?(R представлено на рис. 4.6.

Рис. 4.6. Графік функції логарифмічної похідної характеристичного рівняння.

Рис. 4.6. Графік функції логарифмічної похідної характеристичного рівняння.

Оскільки функція )(?R набуває від’ємних значень, то розглядувана модель нестійка. Це справді так, бо корені характеристичного многочлена мають вигляд: ється перехідний процес; перерегулювання — відношення найбільшого відхилення регульованої величини від вказаного початкового значення в протилежний бік; кількість коливань регульованої величини p(t) протягом часу ? перехідного процесу.

i312697,1371287,0

2,1 m+=?/i312697,1 371287,2

4,3 m?=?/i 512868,200,1

6,5 m?=?/додатні дійсні частини.

Отже, побудова області стійкості лінійної стаціонарної системи (4.4а), тобто визначення меж змінюваності ціни p(t) товару, зводиться до знаходження області значень додатної функції логарифмічної похідної, що досить зручно виконується на комп’ютері.

У теорії автоматичного управління технічними об’єктами фігурує поняття «якість системи», яким передбачається не тільки стійкість, а також вимагається таке: точність )(limt t ?=? ?? , яка є значенням похибки системи через проміжок часу після її збурення; час регулювання, ?)()(