< Попередня  Змiст  Наступна >

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ


1. Безручко Б. П. Путь в синергетику: Экскурс в десяти лекциях / Б. П. Безручко, А. А. Короновский, Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов;// предисл. С. Мирова, Г. Г. Малинецкого. — М. : КомКнига, 2005. — 304 с.

2. Вітлінський В. В. Моделювання економіки : навч. посіб. / В. В. Вітлінський. — К. : КНЕУ, 2005. — 438 c.

3. Вугальтер А. Л. Фундаментальная экономика. Динамика / Л. А. Вугальтер. — М. : ЗАО «Издательство «Экономика», 2007. — 371 с.

4. Гихман И. И. Стохастические дифференциальные уравнения и их прилажения / И. И. Гихман, А. В. Скороход. — К. : Наук. думка, 1982. — 612 с.

5. Горобець Ю. І. Фрактальна геометрія у природознавстві : навч. посіб. / Ю. І. Горобець, А. М. Кучко, І. Б. Вавилова ; Нац. техн. ун-т України «Київський політехнічний інститут». — К. : Наук. думка, 2008. — 232 с.

6. Гринберг А. С. Информационные технологии моделирования процессов управления экономикой : учеб. пособие для вузов / А. С.Гринберг, В М. Шестаков. — М. : ЮНИТИДАНА, 2003. — 399 с.

7. Данилов-Данильян В. И. Устойчивое развитие (теоретико-методологический анализ) / В. .Данилов-Данильян // Экономика и математические методы. — 2003. — Т. 39. — №2. — С. 123.

8. Занг В. Б. Синергетическая экономика: Время и перемены в нелинейной экономической теории / В. Б. Занг. — М. : Мир, 1999. — 380 с.

9. Касти Дж. Большие системы. Связность, сложность и катастрофы : пер. с англ / Дж. Касти.. — М.: Мир, 1982. — 261 с.

10. Киприс М. М. Модели социальных явлений в коротком курсе математики [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://www.cdo.susu.ac.ru/journal/numero3/pedag/kipnis.htm.

11. Клейнер Г. Б. Экономико-математическое моделирование и экономическая теория / Г. Б. Клейнер // Экономика и математические методы. — 2001. — Т. 37. — № 3. — С. 111—126.

12. Князев Е. Н. Синергетика:начала нелинейного мышления / Е. П. Князева, С. П. Курдюмов // Общественные науки и современность. — 1993. — №2. —С. 38—51.

13. Коляда Ю. В. Адаптивна парадигма моделювання економічної динаміки : монографія / Ю. В. Коляда. — К. : КНЕУ, 2011. — 297 с.

14. Лаврик В. І. Методи математичного моделювання в екології : навч. посіб. / В. І. Лаврик. — К. : КМ Академія, 2002. — 203 с.

15. Лебедев В. В. Математическое и компьютерное моделирование экономики / В. В. Лебедев, К. В. Лебедев. — М. : НВТ — Дизайн, 2002. — 256 с.

16. Лесков Л. Катаклизмы в России в свете теории катастроф / Л. Лесков // Обществен. науки и современность. — 1994. — № 1. — С. 150—160.

17. Магницкий Н. А. Новые методы хаотической динамики / Н. А Магницкий, С. В. Сидоров . — М. : Едиториал УРСС, 2004. — 320 с.

18. Матвійчук А. В. Моделювання економічних процесів із застосуванням методів нечіткої логіки : монографія / А. В. Матвійчук. — К. : КНЕУ, 2007. — 264 с.

19. Медведева Н. Б. Динамика логистической функции / Н. Б. Медведева // Соросовский образовательный журн. — 2000. — Т. 6. — № 8. — С. 121—127.

20. Мелкумян Д. О. Анализ систем методом логарифмической производной / Д. О. Мелкумян. — М. : Энергоиздат, 1981. — 112 с.

21. Милованов В. П. Неравновесные социально-экономические системы: синергетика и самоорганизация / В. П. Милованов. — М. : УРСС, 2001. — 263 с.

22. Московкин В. М. Математическое моделирование конкурентных взаимодействий на общих рынках капитала / В. М. Московкин, Л. П. Шевченко, А. П. Журавка // Економічна кібернетика. — 2001. — № 5—6. — С. 31—35.

23. Петерс Э. Хаос и порядок на рынке капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка : пер. с англ / Э. Петерс. — М. : Мир, 2000. — 333 с.

24. Плотинский Ю. М. Модели социальных процессов : учебн. пособие для вузов / Ю. М. Плотнинский. — M. : Логос, 2001. — 296 с.

25. Пугачева Е. Г. Самоорганизация социально-экономических систем : учеб. пособие Е. Г. Пугачева, К. Н. Соловьенко. — Иркутск : Изд-во БГУЄП, 2003. — 173 с.

26. Розенвассер Е. Н. Показатели Ляпунова в теории линейных систем управления / Е. Н. Розенвассер. — М. : Наука, 1977. — 344 с.

27. Сергеева Л. Н. Моделирование поведения экономических систем методами нелинейной динамики (теории хаоса) / Л. Н. Сергеева. — Запорожье : ЗГУ, 2002. — 227 с.

28. Сергеева Л. Н. Нелинейная экономика: модели и методы / Л. Н. Сергеева. — Запорожье : Полиграф, 2003. — 218 с.

29. Смирнов А. Д. Экономика катастроф: нелинейная модель переходной экономики / А. Д. Смирнов // Проблемы прогнозирования. — 1994. — № 3. — С. 30—57.

30. Трубецков Д. И. Канонические модели нелинейной динамики в экономике / Д. И. Трубецков // Изв. вузов. Проблемы нелинейной динамики. — 2006. — Т. 14. — №2. — С. 75—93.

31. Харрод Р. Ф. К теории экономической динамики / Р. Ф. Харрод

— М. : Геллос АРВ, 1999. — 160 с.

32. Холодниок М. Методы анализа нелинейных математических моделей пер. с чешск. / М. Холодниок, А. Клич, М. Кубичек, М. Марек. :— М. : Мир, 1991. — 368 с.

33. Христиановский В. В. Динамическая модель поведения субьектов на рынке продукции / В. В. Христиановский, В. П. Щербина // Моделирование нелинейной динамики экономических систем. — 2005. — № 1. — С. 70—79 / Новое в экономической кибернетике : сб. науч. ст. / под общ. ред. Ю. Г. Лысенко ; Донецкий нац. ун-т.

34. Чистилин Д. К. Самоорганизация мировой экономики: Евразийский аспект / Д. К. Чистилин. — М.: Изд–во Экономика, 2004. — 237 с.

35. Клінс Дж. М. Общая теория занятости, процента и денег.

— М. : Процесс, 1978 г.

36. Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах / Г. Хакен. — М. : Мир, 1985.— 365 с.

ДОДАТКИ

Додаток 1. Словничок навчальної дисципліни

Атрактор — множина точок (простір фазового простору), до якої збігається (наближається) траєкторія перехідного процесу. Ним може бути рівноважна точка (нерухома точка відображення), граничні цикли (поверхні тора — бублика). Це означає деяку сукупність умов, для яких вибір шляху (руху) або еволюції різноманітних систем відбувається по траєкторіях, що збігаються або притягуються до чогось одного, наприклад рух води або піску в лійці.

Біфуркація

— зміна поведінки (руху) динаміки економічної системи. Цим поняттям позначається стан економічної системи, що стоїть перед вибором можливих варіантів функціонування або шляхів еволюції. У точці біфуркації економічна система перебуває в нерівноважному стані, де найменші флуктуації чи випадковості можуть кардинально змінити напрямок подальшого розвитку.

Біфуркація Андронова-Хопфа — поява граничного циклу зі стану рівноваги.

Відкритість системи — така її властивість, коли має місце неперервний обмін речовиною, енергією й інформацією з навколишнім (оточуючим) середовищем. Ще одна властивість відкритої системи проявляється через управління ресурсами системи на довільній відстані.

Відображення — математичне правило, згідно з яким одній множині точок фазового простору ставиться у відповідність інша множина точок.

Гетероклінна траєкторія — з’являється на перетині стійкого і нестійкого многовидів різних сідлових точок відображення.

Глобальні/локальні рухи: під останнім вбачаються траєкторії динамічної системи, що відходять далеко від рівноважних точок; глобальними є рухи на проміжку між точками рівноваги, а також такі, що не залишаються в будь-якій малій області фазового простору.

Гомоклінна траєкторія з’являється на перетині стійкого і нестійкого многовидів однієї сідлової точки.

Граничний цикл — періодичний рух, що з’являється в самозбуджуваній (автономній) системі. У літературі з динамічних систем граничний цикл відносять до вимушених періодичних рухів.

Детермінована система — динамічна система, для якої відомі рівняння руху, параметри й початкові умови, не будучи стохастичними.

Дивний атрактор — множина тяжіння у фазовому просторі, по якій рухаються хаотичні траєкторії; довільний атрактор, який не є положення рівноваги, граничний цикл або квазіперіодичний атрактор; також атрактор з фрактальною розмірністю.

Дисипативний

цей термін характерний для відкритих нелінійних систем, де переважають процеси розмиття, розсіювання неоднорідностей. Спостерігається спуск надлишків речовини, енергії або їх виведення за межі динамічної системи. Дисипація означає переструктуризацію чужого у своє і розсіювання зайвого. Більшість об’єктів природи, наприклад Сонце, міста і держави, належать до дисипативних структур.

Ентропія — кількісна міра невизначеності ситуацій, упорядкованості системи та її здатності перебувати в одному стані. Інваріантність — властивість величини, рівнянь, законів тощо залишатися незмінними, зберігати свою якість для певних перетворень просторових і часових координат.

Квазіперіодичні коливання — з двома і більше спільномірними частотами.

Когерентність — узгоджений перебіг коливальних або хвильових процесів, при цьому спостерігається їх підсилення (послаблення).

Многовид — підпростір фазового простору, у якому залишаються під дією диференціальних (рзницевих) рівнянь їх розв’язки, якщо початкові умови належать згадуваному підпростору.

Нелінійність — властивість економічної системи, для якої вихід не пропорційний входу.

Область тяжіння (притягання) — множина початкових умов (стартових в економіці), для яких траєкторії виходять на атрактор або певний рух.

Перебудова (зміна стійкості, вихід на новий стійкий режим) означаєзміну стійкості або динамічних властивостей ідеалізованої задачі за рахунок введення до неї деяких неідеалізованих членів.

Переміжність — тип хаотичного руху, для якого довготривалі часові інтервали регулярного, періодичного або стаціонарного руху змінюються короткими сплесками руху, що нагадують собою випадковий рух.

Перехідний хаос — рух, який на скінченному часовому інтервалі виглядає як хаотичний (траєкторія руху відповідає дивному атрактору, але потім виходить з нього на періодичний або квазіперіодичний рух).

Перетин Пуанкаре (відображення) — послідовність точок у фазовому просторі, породжуваних перетином неперервної траєкторії і площини.

Подвоєння періоду — мається на увазі послідовність періодичних коливань, для якої зміна якогось параметра подвоює період. У класичній моделі біфуркації подвоєння періоду (половинної частоти) відбувається через множинне зменшення інтервалів керуючого параметра (порядку). Після проходження критичного значення параметра з’являються хаотичні коливання.

Показники Ляпунова — числа, що слугують мірою експоненціального зближення (розбігання) з плином часу двох сусідніх траєкторій у фазовому просторі для різних початкових умов. Додатний показник Ляпунова вказує на існування хаотичного руху в динамічній системі з обмеженими траєкторіями.

Положення рівноваги — для неперервної динамічної системи точка фазового простору, до якої наближаються траєкторії після згасання перехідних процесів. Положення рівноваги також називається нерухомими точками.

Рівняння Лоренца

система трьох автономних диференціальних рівнянь, що володіє хаотичними розв’язками; одна з основних моделей хаотичної динаміки.

Розвиток можна подати як результат антиентропійної еволюції в самоорганізації системи.

Самоорганізація виражає здатність складних динамічних відкритих систем до впорядкованості своєї внутрішньої структури. Вона можлива за наявності досить великої кількості елементів (складових) системи, що взаємодіють кооперативно й когерентно.

Самоподібність (автомодельність) — властивість множини точок, геометрична структура якої в одному масштабі подібна до її геометричніої структури в іншому масштабі.

Сідло (сідлова точка) — рівноважна точка з дійсними власними значеннями, але різних знаків. Геометрично — кавалерійське сідло.

Синергетика — напрямок міждисциплінарних досліджень з використанням нелінійної парадигми для встановлення загальних закономірностей самоорганізації, появи стійких структур у відкритих системах будь-якої природи.

Синергетичне моделювання — дослідження соціально-економічних і природничих процесів з використанням принципів і методів синергетики.

Стохастичний процес — тип хаотичного руху, що трапляється в консервативних, дисипативних, динамічних системах.

Стріла часу — загальна спрямованість природних процесів у своїй послідовності, якою охоплюються всі структурні рівні самоорганізації матерії.

Теорія катастроф вивчає залежність кількості точок рівноваги від параметрів задачі. Вона передбачає, що поблизу деяких критичних значень параметрів кількість рівноважних точок змінюється з певною закономірністю.

Універсальна властивість

притаманна динамічній системі залишатися незмінною у межах деякого класу нелінійних задач.

Фазовий простір — для динамічних систем, описуваних системою звичайних диференціальних (еволюційних) рівнянь першого порядку, просторовими координатами слугують змінні стану (компоненти вектора стану).

Флуктуації — обумовлені випадковими факторами незначні коливання величин навколо своїх середніх значень.

Фрактал — геометрична властивість множини точок n-вимірного простору, для якої має місце самоподібність за різних масштабів і фрактальної розмірності, меншої за n.

Фрактальна розмірність — кількісна характеристика множини точок n-вимірного простору, що показує, як щільно точки заповнюють підпростір, коли їх досить багато.

Фрактальність — самоподібність або явище масштабної інваріантності, коли наступні форми самоорганізації системи нагадують своєю будовою попередні. Наприклад, Сонячна система подібна до будови атома.

Хаотичний рух — вид руху, чутливий до зміни початкових умов: траєкторії з досить близькими початковими умовами розбігаються експонентно.

Число Фейгенбаума — властивість динамічної системи, пов’язаної з послідовністю подвоєння періоду: відношення послідовних різниць параметра біфуркації подвоєння періоду наближається до числа 4, 669….

Додаток 2. Інструкція по роботі з програмним середовищем MathLab

На ринку програмних систем, здатних працювати із числовими масивами, здійснювати обробку та обчислення математичних даних, одне із чільних місць посідає програмний продукт The Math Works, Inc, MathLab. На момент написання цього посібника найновішою була версія MathLab 7.4.0, на основі якої й буде подано можливості згаданої програми. MathLab є чи не найстарішою системою оптимізації математичних і науково-технічних розрахунків. Основою MathLab є матричні операції (звідси й назва MATrix LABoratory), що дало змогу істотно скоротити кількість циклів, що використовуються для математичних обчислень у мовах програмування високого рівня.

На відміну від схожих продуктів обчислювального напряму, в системі MathLab реалізується своя мова програмування, розроблена, щоб максимально спростити та прискорити операції обчислення. Мова програмування MathLab належить до класу інтерпретаторів, тобто кожна команда, введена користувачем, інтерпретується за її ім’ям і негайно виконується в командному рядку, що, у свою чергу, дозволяє легко переглядати та редагувати вже написаний програмний код. Команди й функції системи MathLab реалізовані у вигляді m-файлів текстового формату з дозволом їх редагування.

Ми не наводимо інформації про те, як встановити програму, запустити її та налаштувати. Сподіваємося, що програмний продукт уже успішно Вами встановлено і він готовий до роботи. Звісно ж, версія, придбана Вами, має бути ліцензійною, а не скачаною з піратських сайтів.

Ознайомлення з програмним середовищем MathLab хотілося б розпочати з короткого огляду засадничих речей, як, безсумнівно, потрібно знати під час роботи із системою, особливо якщо з нею Ви зіткнулися вперше.

Отже, сеанс роботи з MathLab називають сесією, хоча за своєю суттю сесія — не що інше, як документ, який відображає поточну роботу. Вікно системи має такий вигляд (рис. 1).

Рис. 1. Інтерфейс системи MathLAb

У лівій частині розміщено компоненти системи Workspase (робочий простір) та Command History (Історія команд). У першому будуть відображатися всі використані змінні, а в другому — команди. Праворуч розміщене Command Window (Вікно команд), яке займає основну частину програмного вікна й реалізує введені користувачем команди. Зазначимо, що вказані

Під час роботи у Вікні команд користувач може використовувати для редагування ті самі інструменти, що й у звичайному текстовому редакторі. Для прикладу — переміщення курсору здійснюється стрілками з клавіатури, стирання символу перед курсором — клавішею Backspace, позаду курсору — клавішею Del тощо. Окремо наведемо спеціальні команди MathLAb для роботи у Вікні команд: clc — чистить екран, після чого курсор можна знайти у верхньому лівому кутку; home — повертає курсор у вірхній лівий куток екрана; echo on all — вмикає режим виведення на екран тексту всіх m-файлів; echo off all — вимикає режим виведення на екран тексту всіх m-файлів; echoon — вмикає режим виведення на екран тексту файлу-сценарію із зазначеним іменем; echooff — вимикає режим виведення на екран тексту файлу-сценарію із зазначеним іменем; echo — змінює режим виведення на протилежний; more on

вмикає режим посторінкового перегляду (рекомендуємо використовувати під час роботи з великими m-файлами); more off

вимикає режим посторінкового перегляду.

Специфіка нашої дисципліни передбачає роботу з диференціальними рівняннями та системами диференціальних рівнянь. Але перш ніж перейти до безпосередньо диференціального числення в MatLab, варто було б ознайомитися на практиці з простішими прикладами числових обчислень. Використання системи MatLab у ролі потужного калькулятора для простих обчислень може відбуватися без попередньої підготовки навіть студентами з низькою комп’ютерною культурою. Наведемо деякі приклади (рис. 2).

Рис. 2. Вікно команд з проведеними обчисленнями

На рис.2 продемонстровано елементарні обчислення, проведені в системі MatLab. Для здійснення таких і подібних розрахунків користувачу потрібно лише ввести в командний рядок математичні символи, цифри та натиснути клавішу Enter, після чого система видасть готову відповідь. Зауважимо, що відповіді автоматично присвоюється змінна ans (що є скороченням від answer — англ. відповідь). Звертаємо увагу на синтаксис масивів та операцій з ними в MatLab. У цьому разі ми ввели масив R, який складається з п’яти чисел. Як можна побачити на рисунку, масив було поміщено в квадратні дужки і після натискання

компоненти можна легко поміняти місцями, змінити їхні розміри та навіть винести за межі вікна програми. Ви легко зможете налаштувати систему так, як буде найбільш зручно для Вас.

Працюючи із системою MatLab, Ви будете так чи інакше стикатися з константами та системними змінними. У MatLab таких виокремлюють вісім: i або j

уявна одиниця (квадратний корінь з –1); pi — число ? = 3,14; eps — похибка операцій над числами з плаваючою точкою (2 -52 ); realmin — найменше число з плаваючою точкою (2 -1022 ); realmax — найбільше число з плаваючою точкою (2 ); inf — значення машинної нескінченності; ans — змінна, що передає значення останньої виконаної операції; NaN — посилання на нечисловий характер даних (Not-a-Number).

Оскільки система MatLab — це доволі громіздкий обчислювальний комплекс, ми не будемо зупинятися на всіх аспектах та можливостях її використання. Для детальнішого ознайомлення можемо порадити студентам звернутися до спеціалізованих посібників. Наразі перейдемо безпосередньо до ознайомлення з потужностями MatLab у сфері диференціального числення.

Для розв’язання диференціальних рівнянь і систем звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) у MatLab реалізовано різноманітні чисельні методи, які називаються розв’язувачами. Кожен з розв’язувачів реалізує свій метод розв’язання систем диференціальних рівнянь. Серед них виокремлюємо такі: ode15s — багатокроковий метод змінного порядку; ode23 — однокрокові явні методи Рунге–Кутта 2-го та 3-го порядків у модифікації Богацькі і Шампіна; ode23s — однокроковий метод, який використовує модифіковану формулу Розенброка 2-го порядку; ode23t — неявний метод трапецій з інтерполяцією; ode23tb — неявний метод, що використовує принцип Рунге-Кутта спочатку та формули «диференціювання назад» 2-го порядку згодом; ode45 — однокрокові явні методи Рунге–Кутта 4-го та 5-го порядків у модифікації Дорманда і Принца; ode113 — багатокроковий метод Адамса–Башворта–Мултона змінного порядку класу предиктор-коректор; bvp4c — метод, що слугує для проблем граничних повної форми систем рівнянь Коші; pdepe — метод, що слугує для розв’язання систем параболічних і еліптичних диференціальних рівнянь у частинних похідних.

Найбільш використовуваним є метод ode45, який дає хороші результати, якщо система нежорстка, в іншому випадку рекомендується до використання метод ode15s. Для отримання результату з високою точністю рекомендується до використання метод ode113.

У системі MatLab для запису функцій з розв’язання систем ЗДР використовується ряд позначень, серед яких: tspan — вектор, який визначає інтервал інтегрування ([t0 tfinal]); y0 — вектор початкових умов; options — аргумент, який створюється функцією odeset; p1, p2 — деякі параметри, які задаються користувачем; T, Y — матриця розв’язків Y, де кожен рядок відповідає часу, який показується вектором стовпцем T.

Наступне, що ми маємо засвоїти, — це синтаксис функцій, який використовується в MatLab для розв’язання систем ЗДР. Виділяють кілька форм запису функцій, серед яких:

• [T,Y]=розв’язувач(@F,tspan,y0);

• [T,Y]=розв’язувач(@F,tspan,y0,options);

• [T,Y]=розв’язувач(@F,tspan,y0,options,p1, p2).

Зауважимо, що розв’язувачем у цьомц разі може бути будь-який з описаних вище. Перейдемо до конкретних прикладів застосування вищеописаного, проінтегрувавши відому в літературі модель Вольтерра–Лотки. Як ми знаємо, математичний запис цієї моделі такий:

Алгоритм реалізації має такий вигляд:

< Попередня  Змiст  Наступна >
Iншi роздiли:
Постулюється умова виникнення самоорганізації
10.1. Синергетична економіка та особливості її моделювання
РОЗДІЛ 10. СИНЕРГЕТИЧНІЙ ПІДХІД У МОДЕЛЮВАННІ ТА АНАЛІЗІ ЕКОНОМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ
9.4. Моделювання соціальної напруженості в трудовому колективі
9.3. Моделювання ринкової взаємодії виробників
Дисциплiни

Медичний довідник новиниКулінарний довідникАнглійська моваБанківська справаБухгалтерський облікЕкономікаМікроекономікаМакроекономікаЕтика та естетикаІнформатикаІсторіяМаркетингМенеджментПолітологіяПравоСтатистикаФілософіяФінанси

Бібліотека підручників та статтей Posibniki (2022)