5.2. СЕЗОННА ДЕКОМПОЗИЦІЯ ЧАСОВОГО РЯДУ

Сезонні коливання формуються під впливом не лише природно-кліматичних, а й соціально-економічних факторів. Вони супроводжуються нерівномірністю використання протягом року виробничих потужностей і робочої сили, нерівномірним попитом на ринку споживчих товарів тощо. Усі ці процеси потребують регулювання, а отже — і статистичного вивчення.

Можна окреслити щонайменше три напрями аналізу сезонної компоненти:

• визначити внутрішньорічну амплітуду сезонних коливань, максимальний і мінімальний рівні ряду, щоб прийняти рішення, наприклад, про те, скільки готелів закрити після завершення сезону;

• виключити сезонну компоненту із часового ряду заради вивчення інших компонент, наприклад, тренда;

• скоригувати поточне значення ряду на сезонність, наприклад, визначити можливий рівень безробіття в зимовий період, коли б не впливала сезонність.

Сила і напрям дії окремих факторів формує різну конфігурацію сезонної хвилі. Кожний рівень ряду y t належить до певного сезонного циклу s, довжина якого становить 12 місяців або 4 квартали. Відношення y t до середнього рівня за цикл називають індексом сезонності. У нестаціонарних рядах замість середньої зонності в межах циклу характеризує сезонний ритм.

використовують лінію тренда ? t = y(t), яка плавно проходить через ряд динаміки і так само, як середня елімінує його нерівномірності. Сукупність індексів севикористовують лінію тренда ? t = y(t), яка плавно проходить через ряд динаміки і так само, як середня елімінує його нерівномірності. Сукупність індексів се

Суть сезонної декомпозиції полягає в тому, щоб виявити та відокремити вплив сезонних факторів від інших, розкласти часовий ряд на сезонну, трендциклічну і нерегулярну компоненти. Як зазначалося вище, сезонна компонента за характером може бути адитивною, мультиплікативною або змішаною. Для адитивної компоненти характерні сталі коливання навколо середнього рівня чи тренда, для мультиплікативної — зростання амплітуди коливань із часом.

Загальний алгоритм сезонної декомпозиції складається з п’яти послідовних етапів:

1) визначається тренд у формі функції часу або ковзної середньої;

2) оцінюється сезонний фактор у межах сезонного циклу, довжина якого становить 12 місяців, або 4 квартали;

3) здійснюється фільтрація сезонної компоненти;

4) визначається тренд-циклічна компонента;

5) визначається нерегулярна, випадкова компонента.

Обчислювальні процедури на кожному етапі залежать від типу моделі: адитивна, мультиплікативна чи змішана.

Зміст етапів сезонної декомпозиції в змішаній (адитивно-мультиплікативній) моделі унаочнено на рис. 5.4.

Рис. 5.4. Етапи сезонної декомпозиції часового ряду (адитивно-мультиплікативна модель)

Розглянемо методику сезонної декомпозиції часового ряду за даними реалізації безалкогольних напоїв (табл. 5.4): t

• первинний ряд вирівнюється лінійною функцією Y t = 38,8 + 1,445 t;

• розраховуються індекси сезонності співвідношенням первинного ряду і тренда t t Y у I100= ;

• первинний ряд вирівнюється лінійною функцією Y t = 38,8 + 1,445 t;

• розраховуються індекси сезонності співвідношенням первинного ряду і тренда t t Y у I100= ;

• сезонний фактор S t визначається усередненням індексів сезонності відпо

• фільтрація сезонного фактора здійснюється коригуванням первинного ряt

• тренд-циклічна компонента визначається шляхом експоненціального згларяду розглядається як випадкова складова.

джування з параметром а = 0,3;

• відхилення тренд-циклічної компоненти від скоригованого на сезонність джування з параметром а = 0,3;

• відхилення тренд-циклічної компоненти від скоригованого на сезонність

Таблиця 5.4

СЕЗОННА ДЕКОМПОЗИЦІЯ ЧАСОВОГО РЯДУ

Рік, квартал	Млн декалітрів, y t	Теоретичні рівні Y t = 38,8 + + 1,445 t	Індекс сезонності t t t Y у I100=	Сезонний фактор S t	Ряд, скоригований на сезонність y t / S t
1 рік — Q1	24,4	40,3	60,6	68,2	35,8
Q2	52,6	41,7	126,2	122,4	43,0
Q3	60,4	43,1	140,1	137,2	44,0
Q4	34,0	44,6	76,3	72,2	47,1
ІІ рік — Q1	32,7	46,0	71,1	68,2	47,9
Q2	56,2	47,5	118,4	122,4	46,0
Q3	67,3	48,9	137,7	137,2	49,1
Q4	36,2	50,4	71,9	72,2	50,1
ІІІ рік — Q1	37,8	51,8	73,0	68,2	55,4
Q2	65,3	53,3	122,5	122,4	53,4
Q3	73,1	54,7	133,7	137,2	53,3
Q4	38,4	56,1	68,4	72,2	53,2
Разом	578,4	578,4	1200	?	578,3

Через постійний перерозподіл впливу факторів, які формують динаміку процесу, змінюється інтенсивність динаміки, частота й амплітуда коливань. До часового ряду, який не виявляє чітко вираженої тенденції до розвитку, більш еластичною виявляється ковзна середня, інтервал згладжування якої дорівнює сезонному циклу (4 або 12). Коригування ковзної середньої на сезонність здійснюється так само, як коригування лінійного тренда.

У модулі Time Series / Forecasting містяться методи класичної сезонної декомпозиції — Seasonal decomposition (Census 1) і метод сезонного коригування Census II. Класичний прийом, що дозволяє виконати таку декомпозицію, відомий як метод Census 1. Метод Census II — це спеціально розроблені прийоми послідовного уточнення оцінок виокремлених компонент ряду. Необхідність таких уточнень пов’язана з різною кількістю робочих днів у місяці або з наявністю викидів, зумовлених форс-мажорними обставинами (стихійне лихо, страйк тощо).

Діалогове вікно моделі класичної сезонної декомпозиції Ratio-To-Moving Averages Classical Seasonal Decomposition (Census Method 1) містить чотири вкладки: Quick, Advanced, Autocorrelations і Review series (рис. 5.5). На вкладці Quick опції, що задають модель декомпозиції, об’єднані в групу Seasonal Model (сезонна модель). Серед них спосіб взаємодії компонент ряду — Additive (адитивний) чи Multiplicative (мультиплікативний) і довжина сезонного циклу — Seasonal lag.

Рис. 5.5. Діалогове вікно класичної сезонної декомпозиції, вкладка Advanced

На вкладці Advanced, крім описаної групи опцій Seasonal model, додається опція Centered moving averages — центровані ковзні середні для парного сезон-

ного лага та нова група опцій On OK append components to active work area, яка дозволяє додати в активну область такі складові:

• Moving avеrages — ковзні середні. Ширина вікна ковзної середньої дорівнює сезонному циклу, а коли сезонний цикл — парне число, можна застосувати зважену середню.

• Ratios/ Differences — відношення/різниці. У ряду ковзних середніх сезонна волатильність згладжується, тож сезонну (плюс нерегулярну) складову можна визначити, порівнюючи первинний і згладжений часові ряди: в адитивній моделі це буде різниця між первинним рядом і рядом ковзних середніх, у мультиплікативній моделі — відношення рядів.

• Seasonal factors — сезонні фактори. В адитивній моделі — це середня (проста чи зважена) або медіана відхилень фактичних рівнів ряду від тренда (y t – – Y t ), в мультиплікативній — середня або медіана індексів сезонності. Усереднення здійснюють у межах відповідного сезонного циклу s: поквартально при

s = 4, помісячно при s = 12. s = 4, помісячно при s = 12.

• Seasonally adj. series — ряд, скоригований на сезонну складову. Суть коригування полягає в тому, що з первинного ряду вилучається сезонна складова: в адитивній моделі віднімається сезонний фактор, у мультиплікативній — первинний ряд ділять на сезонний фактор. Скоригований на сезонність ряд можна згладити задля того, щоб виділити нерегулярну випадкову компоненту.

• Smoothed trend cycle — згладжена тренд-циклічна компонента. Ряд, скоригований на сезонний фактор, згладжений за допомогою 5-точкової ковзної середньої з вагами 1, 2, 3, 2, 1.

• Irregular component — нерегулярна складова. За цією опцією виокремлюється випадкова (нерегулярна) складова: в адитивній моделі — це різниця між рядом, скоригованим на сезонність, і тренд-циклічною компонентою, у мультиплікативній моделі скоригований на сезонність ряд ділять на тренд-циклічну компоненту.

Здійснимо сезонну декомпозицію часового ряду Turist3. Лаг сезонної компоненти — 12, вид зв’язку — мультиплікативна модель. Фрагмент таблиці результатів сезонної декомпозиції наведено в табл. 5.5.

За результатами розрахунку можна переконатися, що в мультиплікативній моделі первинний ряд — це добуток тренд-циклічної, сезонної й нерегулярної компонент. Так, для 16-го рівня ряду:

6486,5 ? 0,9836 ? 1,0307 = 6576,00.

6486,5 ? 0,9836 ? 1,0307 = 6576,00.

Тренд-циклічну компоненту і ряд із сезонною поправкою унаочнено на рис. 5.6. Видно, що скоригований ряд не містить сезонних коливань, проте зазнає незначних коливань навколо тренд-циклічної компоненти. Тобто модель адекватно описує тренд і сезонність часового ряду Turist3.

Таблиця 5.5

СЕЗОННА ДЕКОМПОЗИЦІЯ ПОТОКУ ВИЇЗДНИХ ТУРИСТІВ

Рис. 5.6. Тренд-циклічна компонента і ряд, скоригований на сезонність

Припускаючи, що в майбутньому збережеться тенденція і такий самий характер коливань, прогноз на будь-який місяць (квартал), визначений методом екстраполяції тренд-циклічної компоненти, коригується індексом сезонності:

t+vtt+v

Композиція цих прогнозів залежить від типу моделі: Y* t+v = I t ·Y t+v , де v період попередження.

Композиція цих прогнозів залежить від типу моделі: Y* t+v = I t ·Y t+v , де v — період попередження.

Композиція цих прогнозів залежить від типу моделі:

• в адитивній моделі це підсумок прогнозів тренд-циклічної компоненти і

сезонного фактора Y*t+v = TCt + St + et; сезонного фактора Y*t+v = TCt + St + et;

• у мультиплікативній моделі — добуток прогнозу тренд-циклічної компотів (мультиплікативна модель) ретроспективно визначимо прогноз на грудень 2014 р. Методом Census 1 виокремлено три компоненти часового ряду: трендциклічну, сезонну й випадкову. Значення тренд-циклічної компоненти на цей місяць становило 9199,541, усереднений індекс сезонності (сезонний фактор) — 0,915715. Звідси прогноз виїзного потоку туристів

t+vt tt

За результатами сезонної декомпозиції часового ряду виїзного потоку турисненти і сезонного фактора: Y* t+v = TC t · S t + e t .

За результатами сезонної декомпозиції часового ряду виїзного потоку турисненти і сезонного фактора: Y* t+v = TC t · S t + e t .

За результатами сезонної декомпозиції часового ряду виїзного потоку турисt+vY* t+v = 9199,541 · 0,915715 = 8424,1577. Y* t+v = 9199,541 · 0,915715 = 8424,1577.

Фактичне значення 8515 осіб, тож похибка прогнозу становить (8424 – ті моделей, які ґрунтуються на сезонній декомпозиції часових рядів.

– 8515) = –91 особи або 1,07 %. Це свідчить про високі прогностичні властивос– 8515) = –91 особи або 1,07 %. Це свідчить про високі прогностичні властивос

5.3. МОДЕЛЬ ARIMA ARIMA (Autoregressive Integrated Moving-Average) — це клас лінійних статистичних моделей, які ефективно описують як стаціонарні, так і нестаціонарні часові ряди. Формується ARIMA об’єднанням моделей авторегресії порядку р і ковзної середньої залишків порядку q. Для моделі ARIMA важливо, щоб часовий ряд був стаціонарним, тобто його середня була стала, а дисперсія й автокореляція не змінювалися в часі. Тому нестаціонарні ряди зводяться до стаціонарного виду за допомогою оператора кінцевих різниць порядку d: для фільцедуру послідовного взяття різниць застосовують, допоки ряд не стане стаціонарним (на практиці d ? 2).

трації лінійного тренда використовують різниці першого порядку (d = 1), для фільтрації параболічного тренда — різниці другого порядку (d = 2) і т. д. Протрації лінійного тренда використовують різниці першого порядку (d = 1), для фільтрації параболічного тренда — різниці другого порядку (d = 2) і т. д. Про

Модель авторегресії — AR(р) описує залежність поточного рівня часового ряду y t від попередніх значень із часовим лагом р. Наприклад, процес авточленів ряду:

регресії першого порядку (р = 1) описує ступінь залежності двох послідовних регресії першого порядку (р = 1) описує ступінь залежності двох послідовних ttt eyy+?= ?11 ,ttt eyy+?= ?11 ,

де у t , у t–1

— поточне і попереднє значення показника; ?

1 — коефіцієнт авторегресії; е t — випадковий шум.

Для оцінки ступеня залежності рівнів ряду використовують коефіцієнти автокореляції r p , які функціонально пов’язані з коефіцієнтами авторегресії; в де µ — константа (довгострокове середнє значення процесу); е t — випадковий шум поточного періоду; ?е t-1

AR(1)-процесі а

1 = r

1 . Модель ковзної середньої — МА(q) описує лінійну комбінацію нормально розподілених випадкових величин з нульовим середнім: AR(1)-процесі а

1 = r

1 . Модель ковзної середньої — МА(q) описує лінійну комбінацію нормально розподілених випадкових величин з нульовим середнім:

1? ??+µ= ttt eey,

1? ??+µ= ttt eey,

— попередній випадковий шум.

Загальний вигляд змішаної моделі ARІMA(p, q)-процесу: де с — константа, інтерпретація якої залежить від структури моделі. За відсутності в моделі параметрів авторегресії константа розглядається як середній рівень ряду (при фільтрації тренда — середнє значення трансформованого ряду), за наявності параметрів авторегресії константа є вільним членом рівняння. Підбираючи значення коефіцієнтів а і ?, можна сформувати модель, яка адекватно опише будь-який часовий ряд з циклічними й нерегулярними коливаннями. Базову структуру моделі ARІMA можна подати візуально (рис. 5.7).

Рис. 5.7. Параметри моделі ARІMA

Модель ARIMA порядку (р, d, q) досить гнучка й описує широкий спектр процесів. Найпростіші види моделей ARIMA для несезонних процесів: (р, 0, 0)

— авторегресійна функція; (0, 0, q) — ковзна середня; (р, 0, q) — комбінована модель авторегресії і ковзної середньої; (0, 1, q) — експоненціальна середня; (р, 1, q) — нестаціонарний процес з лінійним трендом.

На практиці більшість часових рядів можна з достатнім ступенем точності апроксимувати однією з названих моделей. За наявності сезонних коливань у моделі враховується їхня періодичність з лагом s, що дорівнює сезонному циксезонними параметрами (P, D, Q) s . Отже, повна сезонна модель має вигляд ARIMA(р, d, q)(P, D, Q) s . Наприклад, модель (0,1,1)(0,1,1) s містить нуль регулярпараметри визначаються після фільтрування тренда за допомогою оператора рівластивості залежать від параметрів р, d, q, то ключовим моментом моделювання є визначення цих параметрів — ідентифікація моделі. Вирізняють два аспекти ідентифікації:

лу (для квартальних даних s = 4, для помісячних s = 12), і аналогічного змісту лу (для квартальних даних s = 4, для помісячних s = 12), і аналогічного змісту них параметрів авторегресії (р = 0) і один параметр ковзної середньої (q = 1). Ці них параметрів авторегресії (р = 0) і один параметр ковзної середньої (q = 1). Ці зниць і сезонної різниці (d = 1, D s = 1).

Оскільки вид моделі ARIMA, адекватність її реальному процесу і прогнозні зниць і сезонної різниці (d = 1, D s = 1).

Оскільки вид моделі ARIMA, адекватність її реальному процесу і прогнозні

• аналіз стаціонарності й визначення порядку оператора переходу до кінцевих різниць d;

• визначення порядку змішаної моделі, яка описує стаціонарний ряд (параметрів р, q).

Основними інструментами ідентифікації моделі стаціонарного ряду є автокорелограми. Обґрунтування порядку параметрів моделі зводиться до візуального аналізу автокорелограм і ґрунтується на принципі економії, за яким (табл. 5.6).

(р + q) ? 2. Сезонний лаг також визначається на етапі ідентифікації моделі (р + q) ? 2. Сезонний лаг також визначається на етапі ідентифікації моделі

Таблиця 5.6

ВИЗНАЧЕННЯ ПОРЯДКУ ПАРАМЕТРІВ МОДЕЛІ ARIMA ЗА ВИДОМ АВТОКОРЕЛЯЦІЙНОЇ

ТА ЧАСТИННОЇ АВТОКОРЕЛЯЦІЙНОЇ ФУНКЦІЙ

Кількість параметрів моделі ARIMA	Автокореляційна функція	Частинна автокореляційна функція
Один параметр авторегресії (p)	Експоненціально згасає	Найбільше значення коефіцієнта з лагом 1, немає кореляції на інших лагах
Два параметри	Має форму синусоїди або експо	Найбільше значення коефіцієнтів з лагами 1, 2, немає кореляції на

авторегресії (p)

ненціально згасає

інших лагах

Один параметр ковзної середньої (q)	Має найбільше значення коефіцієнта на лагу 1, відсутня корреляція на інших лагах	Згасає монотонно або змінює знак
Два параметри ковзної середньої (q)	Має найбільші значення коефіцієнтів на лагах 1, 2, немає корреляції на інших лагах	Має форму синусоїди або експоненціально згасає
Один параметр авторегресії (p) і один параметр ковзної середньої (q)	Експоненціально згасає після лагу 1	Експоненціально згасає після лагу 1

Порядок ідентифікації моделі ARIMA розглянемо за даними часового ряду середніх цін 1 м 2 житла 3-кімнатних квартир у новобудовах еліт-класу. Для фільтрації тренда використаємо оператор різниць першого порядку. Після заміни первинного ряду першими різницями автокореляційна функція перетвореного ряду зі зростанням лага експоненціально згасає (рис. 5.8), що дає підчасткової автокореляційної функції з лагом 1 вказує на порядок авторегресії деллю ARIMA(1, 1, 0).

Рис. 5.8. Автокореляційна функція часового ряду середніх цін 1 м 2 житла

Наступний крок після ідентифікації моделі — оцінювання параметрів моделі. Він ґрунтується на процедурі мінімізації функції втрат. Оцінювання проводиться за перетвореними даними (після застосування оператора різниць). Адекватна реальному процесу модель ARIMA(р, d, q) є базою визначення нових, прогнозних значень ряду та їхніх довірчих меж.

Практичне використання моделі ARIMA пов’язують з іменами Г. Бокса і

Г. Дженкінса. Запропоновані ними процедури формування моделі, алгоритми розрахунку параметрів і визначення прогнозів реалізовані в системі Statistica, модуль Time Series / Forecasting, процедура ARIMA & Autocorrelation Functions.

Реалізація моделей за цією процедурою можлива лише на рядах довжиною не менш як 60 спостережень.

Рис. 5.9. Частинна автокореляційна функція часового ряду середніх цін 1 м 2 житла

Для ідентифікації моделі в діалоговому вікні Single Series ARIMA передбачена спеціальна група опцій ARIMA model parameters — Параметри моделі ARIMA (рис. 5.10). Вкладка Quick містить опції, що задають порядок параметрів моделі (Estimate constant, Seasonal lag) та опції трансформації ряду: p — Autoregressive

— параметр авторегресії (регулярний); P — Seasonal — сезонний параметр авторегресії; q — Moving average — параметр ковзної середньої (регулярний). Q — Seasonal — сезонний параметр ковзної середньої.

Серед методів трансформації часових рядів — Transform variable prior to analysis пропонується логарифмування (Natural Log), піднесення до степені (Рover transform) та різниця (Difference).

На укладці Advanced додаються обчислювальні процедури оцінювання (Estimation method: наближено — Approximate чи точно — Exact) та опції оцінювання, які система може встановити за умовчанням (максимальна кількість ітерацій та параметр для критерію конвергенції).

Оскільки модель часового ряду середніх цін 1 м 2 житла ідентифікована як Difference (1. Lag — 1, № of passes

ARIMA(1,1,0), у діалоговому вікні Single Series ARIMA необхідно вказати: p = 1, ARIMA(1,1,0), у діалоговому вікні Single Series ARIMA необхідно вказати: p = 1,

— 1).

За командою OK (Begin parameter estimation) здійснюється процедура оцінювання параметрів моделі й відкривається діалогове вікно Single Series ARIMA Results (результати одновимірної ARIMA). Ініціювавши кнопку Summary: Parameter estimation (оцінювання параметрів), отримаємо результати аналізу у вигляді таблиці (табл. 5.7). Значення параметра р(1), його асимптотична стандартна похибка (0,056), t-критерій (13,902), а також фактичний рівень істотності

p-level (<1 %) свідчать про адекватність моделі.p-level (<1 %) свідчать про адекватність моделі.

Рис. 5.10. Визначення параметрів ARIMA

Таблиця 5.7

ОЦІНКА ПАРАМЕТРІВ МОДЕЛІ ARIMA(1, 1, 0) ДЛЯ ЧАСОВОГО РЯДУ цін 1 м 2 житла

Діалогове вікно Single Series ARIMA Results містить також блок прогнозування — Forecast cases, у якому необхідно вказати період попередження (Number of cases) та рівень істотності (Confidence level). За умовчанням система визначає р-level на рівні 0,90. Розраховані на основі моделі ARIMA (1,1,0) продено в табл. 5.8. Як свідчать дані, зі збільшенням періоду попередження стандартна похибка зростає, відповідно збільшується ширина довірчого інтервалу. Похибка апроксимації прогнозу становить 0,39 %.

гнозні значення середніх цін 1 м 2 житла на період попередження v =1, 2, 3 навегнозні значення середніх цін 1 м 2 житла на період попередження v =1, 2, 3 наве

Таблиця 5.8

ПРОГНОЗ СЕРЕДНЬОЇ ЦІНИ 1 М 2

ЖИТЛА, дол. США

Рекомендації щодо вибору параметрів моделі ARIMA за допомогою корелограм поширюються й на моделювання сезонних процесів. Єдина відмінність полягає у тому, що в сезонних рядах коефіцієнти автокореляції будуть істотними також на лагах, кратних сезонному циклу, що ілюструє автокореляційна функція часового ряду виїзного потоку туристів (рис. 5.11). Щоб наблизити такий ряд до стаціонарного, необхідно фільтрувати не лише тренд, а й сезонну компоненту, тобто в діалоговому вікні (рамка Difference) вказати другий (сезонний) лаг.

12+,606,1061

146,80,000 11+,477,1070

114,20,000 10+,355,1079

94,32,0000 9+,303,1087

83,51,0000 8+,038,1096

75,74,0000 4+,075,1130

73,64,0000 3+,403,1138

73,20,0000 2+,512,1146

60,65,0000 1+,736,1154

40,69,0000Autocorrelation Function TURIST3 : Виїзний потік туристів (Standard errors are white-noise estimates) Conf. Limit -1,0-0,50,00,51,0

0 12+,606,1061 11+,477,1070 10+,355,1079 9+,303,1087 8+,038,1096 7-,123,1105 6-,060,1113 5-,075,1121 4+,075,1130 3+,403,1138 2+,512,1146 1+,736,1154 LagCorr.S.E.

0

146,80,000

114,20,000

94,32,0000

83,51,0000

75,74,0000

75,62,0000

74,38,0000

74,09,0000

73,64,0000

73,20,0000

60,65,0000

40,69,0000 Qp

Рис. 5.11. Автокореляційна функція часового ряду виїзного потоку туристів

Модель даного часового ряду набуває вигляду ARIMA(0,1,1)(0,1,1) s . Значення параметрів моделі, t-критерію і p-level свідчать про адекватність моделі (табл. 5.9). За командою Forecast cases програма визначає прогнози для одного повного сезонного циклу, починаючи з останнього спостереження.

Таблиця 5.9

ОЦІНКА ПАРАМЕТРІВ МОДЕЛІ ARIMA(0,1,1)(0,1,1) S

ДЛЯ ЧАСОВОГО РЯДУ ВИЇЗНОГО ПОТОКУ ТУРИСТІВ

Для візуалізації результатів моделювання і прогнозування в діалоговому вікні Single Series ARIMA Results передбачені опції Review and plot variables. На рис. 5.12 видно, що прогноз середніх цін 1 м 2 житла і довірчі межі прогнозу майже повторюють криву первинного ряду, при цьому всі спостереження первинного ряду потрапляють у довірчий інтервал.

Рис. 5.12. Прогнозні значення виїзного потоку туристів, осіб

Оцінювання адекватності ARIMA-моделі здійснюють на основі аналізу залишків, тобто відхилень між фактичними і визначеними за допомогою моделі

рівнями ряду e t = (y t – Y t ). У процесі аналізу залишків перевіряється дві передумови адекватності моделі: рівнями ряду e t = (y t – Y t ). У процесі аналізу залишків перевіряється дві передумови адекватності моделі:

1) залишки нормально розподілені;

2) залишки незалежні, тобто немає автокореляції.

У модулі Time Series/Forecasting дотримання цих передумов перевіряються візуалізацією гістограм залишків, автокореляційних функцій, інших графіків. Для перевірки першої передумови можна застосувати, зокрема, гістограми, які містяться на вкладці Distribution of residuals — розподіл залишків. На рис. 5.13 видно, що розподіл залишків ARIMA-моделі виїзного потоку туристів успішно апроксимується нормальним законом розподілу, що є ознакою адекватності моделі.

Рис. 5.13. Розподіл залишків ARIMA-моделі виїзного потоку туристів

Для перевірки дотримання другої передумови можна використати опції вкладки Autocorrelations — автокореляції. Як видно на рис. 5.14, залишки практично некорельовані, що підтверджує адекватність ARIMA-моделі реальному процесу.

Отже, об’єднуючи моделі різних компонент часових рядів, ARIMA адаптується до специфіки будь-якого динамічного процесу. Об’єднані моделі формуються на основі тих самих статистичних характеристик і автокореляційних функцій, розробляється один алгоритм розрахунку параметрів моделі й визначення прогнозів, що забезпечує їхню належну точність. Передусім це стосується прогнозів стосовно ринкової кон’юнктури.

12+,180,1067

40,03,0001 10+,038,1085

36,95,0001 9+,348,1094

36,82,0000 6+,084,1120

14,70,0227 3+,161,1145 6,90,0751 1+,020,1162 ,03,8603Autocorrelation Function TURIST3 : Виїзний потік туристів; ARIMA (0,1,1)(0,0,1) residua Conf. Limit -1,0-0,50,00,51,0

0 12+,180,1067 11-,052,1076 10+,038,1085 9+,348,1094 8-,144,1103 7-,357,1111 6+,084,1120 5-,134,1128 4-,275,1137 3+,161,1145 2-,255,1154 1+,020,1162 LagCorr.S.E.

0

40,03,0001

37,18,0001

36,95,0001

36,82,0000

26,70,0008

25,00,0008

14,70,0227

14,14,0148

12,74,0127 6,90,0751 4,93,0851 ,03,8603 Qp

Рис. 5.14. Автокореляція залишків ARIMA-моделі виїзного потоку туристів

Коли характер динаміки стрімко змінюється під впливом зовнішніх факторів, такі зміни (їх називають інтервенцією) необхідно врахувати в моделі ARIMA. Прикладом часового ряду з інтервенцією може слугувати поквартальна динаміка продажу рекламного часу (хвилин). На рис. 5.15 видно стрибок продажу рекламного часу, зумовлений зовнішнім впливом, але після завершення інтервенції (спостереження 12) притаманний ряду характер динаміки набув попереднього вигляду.Plot of variable: Рекламний час

0246810121416182022 Case Numbers

50

100

150

200

250

300

Рекламний час

50

100

150

200

250

300

Рис. 5.15. Поквартальна динаміка обсягів продажу рекламного часу

До часового ряду такого типу застосовують модель Interrupted ARIMA (Intervention Analysis) — перервана АRIMA (аналіз інтервенцій). Діалогове вікно модуля Interrupted ARIMA (рис. 5.16), на відміну від одновимірної АRIMA, праворуч містить групу опцій, призначених для специфікації інтервенцій, — Specify time and type of interventions (вказати час і тип інтервенції):

• Intervention — номер інтервенції (до 6 різних інтервенцій);

• At case number — номер спостереження, в якому інтервенція почалася (момент інтервенції);

• Type of intervention — тип інтервенції.

Процедурою передбачено три типи інтервенції:

• Abrupt, Permanent — стрибкоподібний стійкий, коли часовий ряд стрімко обривається до певного рівня і на цьому рівні залишається;

• Gradual, Permanent — поступово стійкий, спричиняє поступове стійке збільшення чи зменшення значень ряду;

• Abrupt, temporary — стрибкоподібний тимчасовий, коли миттєва інтервенція спричиняє стрімкий стрибок ряду, який поступово зменшується, і характер зміни часового ряду відновлюється.

За опцією Review types of impact patterns можна переглянути типи інтервенції, вибрати серед них найбільш прийнятний і перейти до ідентифікації моделі та визначення її параметрів аналогічно одновимірній АRIMA.

Рис. 5.16. Діалогове вікно модуля Interrupted Time Series ARIMA (Intervention Analysis), вкладка Advanced

Відповідно до графіка поквартальної динаміки обсягів продажу рекламного часу (рис. 5.15) обираємо тип інтервенції — Abrupt, temporary — стрибкоподібний тимчасовий. Фільтрацію тренда здійснює оператор різниць першого порядавторегресії р(1) містить параметр ? — Omega(1), який вимірює вплив зовнішнього фактора в період інтервенції (табл. 5.10). Вплив цього фактора істотний.

ку (d = 1), модель набуває вигляду ARIMA(1,1,0). Модель поряд з параметром ку (d = 1), модель набуває вигляду ARIMA(1,1,0). Модель поряд з параметром

Таблиця 5.10

ПЕРЕРВАНА АRIMA ДИНАМІКИ ОБСЯГІВ ПРОДАЖУ РЕКЛАМНОГО ЧАСУ

При інтервенції типу стрибкоподібної, стійкої — Abrupt, Permanent параметр ? розглядається як показник стійкості змін часового ряду. В разі поступово стійкої інтервенції — Gradual, Permanent вплив зовнішнього фактора описується двома параметрами дельта — d і омега — ?. Якщо значення цих параметрів не виходять за межі [0?1], динамічний процес вважається стабільним.