8.1.Деякі поняття теорії випадкових процесів
8.2.Ергодичність економічної системи
8.3.Найпростіші стохастичні диференціальні рівняння
8.4.Математичний опис стану економічного агента з використанням теорії випадкових процесів
8.5.Мартингали як теоретичне підґрунтя адаптивного управління економічною системою
Резюме
Терміни і поняття
Питання для перевірки знань
Завдання для індивідуальної роботи
Список використаних і рекомендованих джерел для поглибленого вивчення матеріалу Опрацювавши матеріали цього розділу, студент буде знати:
— основні поняття і визначення теорій випадкових процесів, що сприятиме побудові стохастичних динамічних моделей економіки;
— труднощі математичного опису динаміки економічних подій із застосуванням стохастичного підходу;
— аналогії та відмінності стохастичної математики і класичного математичного апарату моделювання економіки. Також студент буде вміти:
— відчути потребу застосувати стохастичні диференціальні рівняння, досліджуючи нелінійну динаміку економічного розвитку;
— формалізувати задачу моделювання економіки на підґрунті стохастичного підходу.
Економіка перебуваєпід впливом випадкових факторів (величин), що змінюються з часом. Тому потреба вивчення економічної системи, ураховуючи її стохастичну складову, завжди існує. Щоправда, нею інколи неправомірно нехтують.
8.1. Деякі поняття теорії випадкових процесів
Стохастичний, або випадковий процес, X(t) — змінюваність у часі стану економічної системи за умови, що їїхарактеристики для кожного моменту часу t є випадкові величини з певним розподілом імовірностей.
Випадковий процес розглядається як однопараметричне сімейство випадкових величин Х(t), де t — час, але tможе вважатися довільною незалежною змінною, і тоді розглядається випадкова функція. Якщо змінна t — точка простору, то розглядається випадкове поле.
Коли параметр t набуває цілочислових значень, то випадкова функція називається випадковою послідовністю — часовим рядом.
Випадкові процеси класифікуються за побудовою фазового простору — дискретний і неперервний, за характером зміни t, з урахуванням сфери застосуванння тощо. Але змістовніша класифікація випадкових процесів ураховує залежність між Х(t) для будь-якого моменту часу t,
Tt,1= Tt,1= .
Якщо для будь-яких
1 tX і )(
2 tX можна вважати незалежними, то спостерігається стохастичний процес із незалежними значеннями.
21 tt? випадкові величини )(
Коли для довільних неперетинних інтервалів [
],t?? і ,[ tt ???
21 t ]
21 часу випадкові величини ))()((
12 tXtX ? ? ? і ))()((
12 tXtX ? ? ?? незалежні, то спостерігається стохастичний процес із незалежними приростами.
0 t
1 t
10 tt< )(
1 tX дано всі значення )(tX для
0 tt< , залежить лише від )(
0 tX , то випадковий процес )(tX називається марківським. Це так звана марківська властивість або відсутність післядії: стан деякої економічної системи для теперішнього моменту
0 t однозначно визначає розподіл імовірностей майбутнього розвитку процесу для
0 tt> , причому інформація про минулу поведінку процесу до
0 t не впливає на цей розподіл. Загальніше, марківська властивість — умова незалежності минулого і майбутнього для відомого теперішнього. Марківським процесом для дискретного часу є марківський ланцюг.
0 tt< )(
0 tX вається марківським. Це так звана марківська властивість або відсутність післядії: стан деякої економічної системи для теперішнього моменту
0 t однозначно визначає розподіл імовірностей майбутнього розвитку процесу для
0 tt> , причому інформація про минулу поведінку процесу до
0 t не впливає на цей розподіл. Загальніше, марківська властивість — умова незалежності минулого і майбутнього для відомого теперішнього. Марківським процесом для дискретного часу є марківський ланцюг.
0 tt> ку процесу до
0 t не впливає на цей розподіл. Загальніше, марківська властивість — умова незалежності минулого і майбутнього для відомого теперішнього. Марківським процесом для дискретного часу є марківський ланцюг.
Якщо для довільних моментів часу
0 t і
1 t (
10 tt< ) умовний розподіл )(
1 tX , за умови, що задано всі значення )(tX для
0 tt< , залежить лише від )(
0 tX , то випадковий процес )(tX називається марківським. Це так звана марківська властивість або відсутність післядії: стан деякої економічної системи для теперішнього моменту
0 t однозначно визначає розподіл імовірностей майбутнього розвитку процесу для
0 tt> , причому інформація про минулу поведінку процесу до
0 t не впливає на цей розподіл. Загальніше, марківська властивість — умова незалежності минулого і майбутнього для відомого теперішнього. Марківським процесом для дискретного часу є марківський ланцюг.
Стаціонарний випадковий процес: імовірнісні характеристики випадкового процесу незмінні з плином часу, тобто випадкові величини для довільних t і s мають однаковий розподіл. Це стаціонарний випадковий процес у так званому вузькому сенсі. Зауважимо, що для зазначеного класу важливу роль відіграє ергодичний процес. У широкому сенсі стаціонарний випадковий процес — при зсуві аргументу не змінюються його перший і другий моменти.
)(tX)(stX+)(tX і )(stX+
Гауссівський випадковий процес визначається як такий, для якого скінченно вимірний розподіл є гауссівським (ним однозначно детермінується математичне сподівання і коваріаційна функція). Для такого процесу поняття стаціонарності у вузькому чи широкому розумінні збігаються.
Випадковий процес )(tw називається вінерівським (на честь американського математика Н. Вінера — фундатора сучасної кібернетики); якщо він визначений для 0?t, є однорідний гауе сподівання і є нормальним розподілом із середнім нулем і дисперсією h, тобто має місце рівність
0)0(=w
0)(=tMwttDw=)( )()(twhtw?+)(hwссівський процес із незалежними приростами, для якого
0)0(=w , математичн
0)(=tMw і дисперсія ttDw=)( .
Звідси випливає, що розподіл )()(twhtw?+ збігається з розподілом )(hw.exp ?2
1 ))((
2 ? ? ? ? ? ? ? ?=<< b a du h u h bhwaP )(hw? ? ? ? ? ? ?=
2 exp
2 )( hz Me hizw , величина Z випадкова. .exp ?2
1 ))((
2 ? ? ? ? ? ? ? ?=<< b a du h u h bhwaP
Характеристична функція величини )(hw задається формулою ? ? ? ? ? ? ?=
2 exp
2 )( hz Me hizw , величина Z випадкова.