Posibniki.com.ua Інформатика Нелінійні моделі економічних процесів РОЗДІЛ 8. СТОХАСТИЧНІ МОДЕЛІ ПЕРЕБІГУ ЕКОНОМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ


< Попередня  Змiст  Наступна >

РОЗДІЛ 8. СТОХАСТИЧНІ МОДЕЛІ ПЕРЕБІГУ ЕКОНОМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ


8.1.Деякі поняття теорії випадкових процесів

8.2.Ергодичність економічної системи

8.3.Найпростіші стохастичні диференціальні рівняння

8.4.Математичний опис стану економічного агента з використанням теорії випадкових процесів

8.5.Мартингали як теоретичне підґрунтя адаптивного управління економічною системою

Резюме

Терміни і поняття

Питання для перевірки знань

Завдання для індивідуальної роботи

Список використаних і рекомендованих джерел для поглибленого вивчення матеріалу Опрацювавши матеріали цього розділу, студент буде знати:

— основні поняття і визначення теорій випадкових процесів, що сприятиме побудові стохастичних динамічних моделей економіки;

— труднощі математичного опису динаміки економічних подій із застосуванням стохастичного підходу;

— аналогії та відмінності стохастичної математики і класичного математичного апарату моделювання економіки. Також студент буде вміти:

— відчути потребу застосувати стохастичні диференціальні рівняння, досліджуючи нелінійну динаміку економічного розвитку;

— формалізувати задачу моделювання економіки на підґрунті стохастичного підходу.

Економіка перебуваєпід впливом випадкових факторів (величин), що змінюються з часом. Тому потреба вивчення економічної системи, ураховуючи її стохастичну складову, завжди існує. Щоправда, нею інколи неправомірно нехтують.

8.1. Деякі поняття теорії випадкових процесів

Стохастичний, або випадковий процес, X(t) — змінюваність у часі стану економічної системи за умови, що їїхарактеристики для кожного моменту часу t є випадкові величини з певним розподілом імовірностей.

Випадковий процес розглядається як однопараметричне сімейство випадкових величин Х(t), де t — час, але tможе вважатися довільною незалежною змінною, і тоді розглядається випадкова функція. Якщо змінна t — точка простору, то розглядається випадкове поле.

Коли параметр t набуває цілочислових значень, то випадкова функція називається випадковою послідовністю — часовим рядом.

Випадкові процеси класифікуються за побудовою фазового простору — дискретний і неперервний, за характером зміни t, з урахуванням сфери застосуванння тощо. Але змістовніша класифікація випадкових процесів ураховує залежність між Х(t) для будь-якого моменту часу t,

Tt,1= Tt,1= .

Якщо для будь-яких

1 tX і )(

2 tX можна вважати незалежними, то спостерігається стохастичний процес із незалежними значеннями.

21 tt? випадкові величини )(

Коли для довільних неперетинних інтервалів [

],t?? і ,[ tt ???

21 t ]

21 часу випадкові величини ))()((

12 tXtX ? ? ? і ))()((

12 tXtX ? ? ?? незалежні, то спостерігається стохастичний процес із незалежними приростами.

0 t

1 t

10 tt< )(

1 tX дано всі значення )(tX для

0 tt< , залежить лише від )(

0 tX , то випадковий процес )(tX називається марківським. Це так звана марківська властивість або відсутність післядії: стан деякої економічної системи для теперішнього моменту

0 t однозначно визначає розподіл імовірностей майбутнього розвитку процесу для

0 tt> , причому інформація про минулу поведінку процесу до

0 t не впливає на цей розподіл. Загальніше, марківська властивість — умова незалежності минулого і майбутнього для відомого теперішнього. Марківським процесом для дискретного часу є марківський ланцюг.

0 tt< )(

0 tX вається марківським. Це так звана марківська властивість або відсутність післядії: стан деякої економічної системи для теперішнього моменту

0 t однозначно визначає розподіл імовірностей майбутнього розвитку процесу для

0 tt> , причому інформація про минулу поведінку процесу до

0 t не впливає на цей розподіл. Загальніше, марківська властивість — умова незалежності минулого і майбутнього для відомого теперішнього. Марківським процесом для дискретного часу є марківський ланцюг.

0 tt> ку процесу до

0 t не впливає на цей розподіл. Загальніше, марківська властивість — умова незалежності минулого і майбутнього для відомого теперішнього. Марківським процесом для дискретного часу є марківський ланцюг.

Якщо для довільних моментів часу

0 t і

1 t (

10 tt< ) умовний розподіл )(

1 tX , за умови, що задано всі значення )(tX для

0 tt< , залежить лише від )(

0 tX , то випадковий процес )(tX називається марківським. Це так звана марківська властивість або відсутність післядії: стан деякої економічної системи для теперішнього моменту

0 t однозначно визначає розподіл імовірностей майбутнього розвитку процесу для

0 tt> , причому інформація про минулу поведінку процесу до

0 t не впливає на цей розподіл. Загальніше, марківська властивість — умова незалежності минулого і майбутнього для відомого теперішнього. Марківським процесом для дискретного часу є марківський ланцюг.

Стаціонарний випадковий процес: імовірнісні характеристики випадкового процесу незмінні з плином часу, тобто випадкові величини для довільних t і s мають однаковий розподіл. Це стаціонарний випадковий процес у так званому вузькому сенсі. Зауважимо, що для зазначеного класу важливу роль відіграє ергодичний процес. У широкому сенсі стаціонарний випадковий процес — при зсуві аргументу не змінюються його перший і другий моменти.

)(tX)(stX+)(tX і )(stX+

Гауссівський випадковий процес визначається як такий, для якого скінченно вимірний розподіл є гауссівським (ним однозначно детермінується математичне сподівання і коваріаційна функція). Для такого процесу поняття стаціонарності у вузькому чи широкому розумінні збігаються.

Випадковий процес )(tw називається вінерівським (на честь американського математика Н. Вінера — фундатора сучасної кібернетики); якщо він визначений для 0?t, є однорідний гауе сподівання і є нормальним розподілом із середнім нулем і дисперсією h, тобто має місце рівність

0)0(=w

0)(=tMwttDw=)( )()(twhtw?+)(hwссівський процес із незалежними приростами, для якого

0)0(=w , математичн

0)(=tMw і дисперсія ttDw=)( .

Звідси випливає, що розподіл )()(twhtw?+ збігається з розподілом )(hw.exp ?2

1 ))((

2 ? ? ? ? ? ? ? ?=<< b a du h u h bhwaP )(hw? ? ? ? ? ? ?=

2 exp

2 )( hz Me hizw , величина Z випадкова. .exp ?2

1 ))((

2 ? ? ? ? ? ? ? ?=<< b a du h u h bhwaP

Характеристична функція величини )(hw задається формулою ? ? ? ? ? ? ?=

2 exp

2 )( hz Me hizw , величина Z випадкова.


< Попередня  Змiст  Наступна >
Iншi роздiли:
8.4. Математичний опис стану економічного агента з використанням теорії випадкових процесів
8.5. Мартингали як теоретичне підґрунтя адаптивного управління економічною системою
РОЗДІЛ 9.МЕТОДИ ТА МОДЕЛІ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЇ ЕКОНОМІКИ1
Також пропонується така класифікація модельних (лабораторних) експериментів:
9.2. Клітинні мережі з опосередкованою взаємодією в моделюванні багатоагентних економічних систем
Дисциплiни

Медичний довідник новиниКулінарний довідникАнглійська моваБанківська справаБухгалтерський облікЕкономікаМікроекономікаМакроекономікаЕтика та естетикаІнформатикаІсторіяМаркетингМенеджментПолітологіяПравоСтатистикаФілософіяФінанси

Бібліотека підручників та статтей Posibniki (2022)