3.1.Коректність економіко-математичної моделі
3.2.Канонічні моделі нелінійної динаміки в економіці
3.3.Моделі соціально-економічної динаміки
3.4.Дослідження на стійкість траєкторій нелінійних динамічних систем
Резюме
Терміни і поняття
Питання для перевірки знань
Завдання для індивідуальної роботи
Список використаних і рекомендованих джерел для поглибленого вивчення матеріалу Опрацювавши матеріал цього розділу, студент буде знати:
— вимоги щодо розбудови моделей динаміки нелінійних процесів економіки;
— взаємозв’язки між когнітивною, змістовною, концептуальною і формалізованою моделями економіки;
— природну некоректність еконономіко–математичної моделі, її вплив на моделювання нелінійних економічних процесів;
— базисні математичні моделі нелінійної економічної динаміки;
— жорстку і м’яку втрату стійкості розв’язку динамічної моделі, біфуркацію траєкторії економічного розвитку;
— поняття: подвоєння періоду коливань, відображення Пуанкаре, показників Ляпунова на прикладі стійкості розв’язку динамічної економіко-математичної моделі;
— універсальний характер моделі Лоренца (на прикладі динаміки розвитку міста). Також студент буде вміти:
— шукати координати рівноважного стану економіки;
— переходити до безрозмірної динамічної моделі (у найпростішому випадку);
— обчислювати характеристичний показник Ляпунова;
— застосовувати методику якісного дослідження економіко математичної моделі динаміки;
— надавати економічне тлумачення результатів якісного моделювання нелінійних процесів економіки.
Незаперечний факт, щоекономіка — складна система, що невпинно розвивається. На шляху цього розвитку настають як процеси бурхливого зростання — так звані економічні дива, так і моменти занепаду — економічної депресії або глибокої затяжної кризи. Шлях до майбутнього вдосконалення дуже тернистий, і не єдиний, а навпаки — існує множина динамічних траєкторій, причому економічні події мають незворотний характер.
На шляху розвитку економічної системи традиційно розрізняли три можливості: а) рівноважний; б) періодичний (граничний цикл); в) квазіперіодичний рух. Геометричними образами цих трьох атракторів відповідно є точка, замкнені криві й поверхні.
З’ясувалося, що перехідні процеси в економіці можуть завершуватися станом так званого дивного атрактора, коли у фіксованій точці фазового простору орбіти (траєкторії) є хаотичними. Цей хаотичний рух характеризується високою чутливістю до збурення початкових умов і тим, що траєкторія замикається і залишається в обмеженій фазовій області.
3.1. Коректність економіко-математичної моделі
На початку XX ст. домінувала думка французького математика Адамара: математичні моделі явищ природи й техніки можуть бути лише коректними, тобто їхні розв’язки існували, були єдині та стійкі щодо збурень рівнянь моделей. Однак практика моделювання різноманітних задач природознавства (уперше у 1943 р. у проведенні геологорозвідувальних робіт, а далі інтегральної електроніки в 70-ті роки, хімічної кінетики — в 50-ті роки тощо) показала, що існування некоректних задач — скоріше правило, ніж виняток. До некоректних належать такі задачі, що, по перше, мають кілька розв’язків, по друге, деякі з них чутливі щодо варіацій коефіцієнтів моделі. Головне полягає в тому, що не всі
розв’язки моделі адекватні змісту досліджуваної проблеми, нерівноцінні в сенсі їх практичного застосування. Постає проблема вибору потрібного розв’язку з альтернативної їх множини.
Для доволі поширеного в економічному аналізі, де донедавна панувала рівноважна теорія, класу лінійних моделей у вигляді системи лінійних алгебраїчних рівнянь некоректність з геометричної точки зору проявляється ось у чому (рис. 3.1 і 3.2). *
1 x
Рис. 3.1. Коректна задача Рис. 3.2. Некоректна задача
Для коректної задачі шуканий розв’язок ( *
1 x ; *
2 x ) — точка перетину прямих
1 L — перше рівняння моделі і
2 L — друге рівняння моделі. Для некоректної задачі має місце, по суті, інтервал перетину прямих замість єдиної точки, тобто прямі
1 L і
2 L близькі до паралельності
— спостерігаються незначні відмінності числових значень коефіцієнтів моделі. Аналітично
)...,,1(?ni i =bAx
1? = лінійної моделі — далекого від істинного.
Зауваження. Конкретно для розглядуваного випадку матриця коефіцієнтів має вигляд ? ? ? ? ? ? =
2221
1211 aa aa A ,
1? A є її обернена; вектор {} T bbb
21 ;= відповідає правій частині лінійної моделі. Більш загально дійсна матриця записується {}{} ....,,,);...,,2,1,(,
21nij bbbbnjiaA===
Структура ? ? ? ? ? ? =
2221
1211 aa aa A ,
1? A є її обернена; вектор {} T bbb
21 ;= відповідає правій частині лінійної моделі. Більш загально дійсна матриця записується {}{} ....,,,);...,,2,1,(,
21nij bbbbnjiaA===
Структура ....,,,);...,,2,1,(,
21nij bbbbnjiaA===
0?det=?EA
0 ? ?
2221
1211 = ? ? aa aa , розкриваючи визначник 2-го порядку.
Розв’язання лінійних оптимізаційних задач, що виникають у процесі моделювання економіки, беручи до уваги цілком природну поширеність погано обумовлених матриць, викликає значні обчислювальні труднощі, пов’язані з адекватністю моделей.
У випадку динамічних проблем економіки як математичні моделі постають так звані жорсткі рівняння, поява яких пояснюється органічною наявністю швидких і повільних складових в економічній системі і, як наслідок, змінних моделей.
Актуальні проблеми науки й техніки ХХ ст., розв’язувані лише за допомогою математичного моделювання, потребували розроблення спеціальних методів числового розв’язання некоректних задач, зокрема інтегрування так званих жорстких диференціальних рівнянь нелінійної динаміки.спектр власних значень )...,,1(?ni i = матриці А коефіцієнтів досить широкий, а відношення ? ? ? ? ? ? min max ? ? сягає порядку 10 і більше. У цьому разі говорять про погано обумовлену матрицю А, яка є нестійкою: незначне збурення будь-якого елемента матриці призводить до непередбачуваного числового значення аналітичного розв’язку bAx
1? = лінійної моделі — далекого від істинного.
Зауваження. Конкретно для розглядуваного випадку матриця коефіцієнтів має вигляд ? ? ? ? ? ? =
2221
1211 aa aa A ,
1? A є її обернена; вектор {} T bbb
21 ;= відповідає правій частині лінійної моделі. Більш загально дійсна матриця записується {}{} ....,,,);...,,2,1,(,
21nij bbbbnjiaA===
Структура аналітичного розв’язками зберігається. Власні значення, розкриваючи природу поведінки матриці, є розв’язки так званого характеристичного рівняння
0?det=?EA , де величина Е — одинична матриця. Конкретно в нашому випадку характеристичне рівняння записується
0 ? ?
2221
1211 = ? ? aa aa , розкриваючи визначник 2-го порядку.
Розв’язання лінійних оптимізаційних задач, що виникають у процесі моделювання економіки, беручи до уваги цілком природну поширеність погано обумовлених матриць, викликає значні обчислювальні труднощі, пов’язані з адекватністю моделей.
У випадку динамічних проблем економіки як математичні моделі постають так звані жорсткі рівняння, поява яких пояснюється органічною наявністю швидких і повільних складових в економічній системі і, як наслідок, змінних моделей.
Актуальні проблеми науки й техніки ХХ ст., розв’язувані лише за допомогою математичного моделювання, потребували розроблення спеціальних методів числового розв’язання некоректних задач, зокрема інтегрування так званих жорстких диференціальних рівнянь нелінійної динаміки.
Загалом математичне моделювання — універсальний інструмент пізнання природи речей, що задовольняє одвічну вимогу своєчасного й достатньо повного, всебічного дослідження в обмежені терміни.
3.1.1 Дефініція економіко-математичної моделі
Модель — це ідеальний образ, матеріальна чи знакова конструкція, множина властивостей якої перетинається з множиною властивостей об’єкта вашої уваги в суттєвій частині для досягнення цілей дослідження.
Найзагальніше модель графічно зображено на рис. 3.3.
Рис. 3.3. Визначення моделі
М: модель — це специфічний об’єкт, що:
1) створюється у формі уявного образу, опису певними засобами чи матеріального витвору;
2) відображає або відтворює істотні властивості предмета дослідження як його аналог;
3) виступаєз метою вивчення первиного явища, досліджуючи його аналогію (саму модель).
Зауваження. Об’єктуваги — предмет вивчення або дослідження, явище, процес. Ідеальний — у свідомості людини (її уява); знакові конструкції — формули, графіки тощо; істотне
— значуще, що підходить, сприяє пізнанню істини.
3.1.2. Ієрархія моделей
Дотримуючись принципу послідовності, ієрархію моделей графічно зображено на рис. 3.4, де
Рис. 3.4. Графічне зображення ієрархії моделей
Спостерігаючи за об’єктом, вивчаючи його, дослідник формує у власній голові уявний образ об’єкта, який, виходячи з предмета його дослідження, називають когнітивною моделлю. Вона формується на підставі уявлень індивіда, з урахуванням своїх особливостей, шкали цінностей, власних інтересів, настанов.
Зауваження. Когнітологи використовують термін «ментальна модель», розуміючи під когнітивною моделлю взаємодію з об’єктом.
Чому фігурує когнітивна модель? Когнітивний рівень потрібно враховувати, бо інколи губиться головне — рішення ухвалюються власне на підставі когнітивної моделі. На прийняття рішень, безумовно, впливає когнітивний аспект, інтереси, зацікавленість, мотивація індивіда. Провідна роль когнітивних факторів (лат. factor
— який виробляє, робить) обумовлена тим, що когнітивні моделі являють собою невід’ємну частину сприйняття реалій буття і саме вони формують, синтезують суттєві аспекти досліджуваної економічної системи.
Змістовна модель формується природною мовою дослідника. Вона не є вербальною копією когнітивної моделі, яка може вміщувати те, що індивід не може або не хоче формулювати. Побудова змістової моделі дає змогу отримати (отримувати) нову інформацію про поведінку об’єкта, виявляючи суттєві взаємозв’язки й закономірності.
На наш погляд, у змістовій моделі, як етапі побудови адекватної ММ, органічно наявні всі три елементи — опитувальний, пояснювальний і прогностичний.
Концептуальною моделлю називається змістова модель, для формування якої використовується теоретичні концепти й конструкти даної предметної галузі знання. Інакше кажучи, концептуальна модель — змістова модель, що ґрунтується на певній концепції, тобто на системі поглядів, теоретичних положень, об’єднаних певною метою. Концептуальна модель втілюється у вербальній формі.
У процесі побудови, вивчення та вдосконалення змістовної моделі когнітивна модель модифікується й ускладнюється. Створення формалізованої економіко-математичної моделі дає можливість осягнути сутність досліджуваного явища, виявляючи його основні взаємозв’язки та закономірності. Формалізована модель втілюється на підґрунті застосування інструментарію математики та інформаційно-комунікаційних систем, імітаційних комп’ютерних моделей.
Результати формалізованого моделювання використовуються для уточнення змістовної моделі і, насамперед, когнітивної.
3.1.3. Резюме щодо моделей
Реально об’єкт уваги дослідника може описуватися кількома нерівносильними ММ, що пояснюється потребою вивчення різноманітних його властивостей. Хоча принципово різні моделі можуть з’являтися і під час вивчення одних тих самих властивостей, наприклад неперервні (як правило —звичайні диференціальні рівняння) і дискретні (лінійні та нерекурентні співвідношення відображення), детерміновані та стохастичні. Вибір типу моделі важливий для напряму дослідження, його ефективності (у розумінні затрат, своєчасності результатів та їхнього повноти, доступного або наявного інструменту вивчення тощо).
Розмаїття ММ може мати своєю метою ступінь деталізації властивостей, точності їх відтворення, але воно завжди сприяє глибшому пізнанню природи об’єкта моделювання, також підвищуючи достовірність отриманого знання.
Результати вивчення ММ часто переносяться на об’єкти іншої природи, інколи роблячи приголомшливі висновки — відкриття.
Радянський математик, академік О. М. Тихонов
— творець методу регуляризації для розв’язання некоректних задач писав: «Досвід вказує, що для багатьох випадків правильно вибрати модель — означає розв’язати проблему більше ніж наполовину».
3.1.4. Вимоги до моделей
Найважливіша вимога до ММ — її адекватність (лат. адикватус — рівний)досліджуваному об’єкту щодо сукупності деяких його властивостей.
Адекватність передбачає:
1 правильний якісний опис розглядуваних дослідником властивостей аналізованої економічної системи;
2. правильний кількісний опис цих властивостей у межах розумної (виправданої) точності обчислень (результатів моделювання). Отже, розрізняються кількісні та якісні моделі.
• Має місце вимога достатньої простоти моделі щодо сукупності досліджуваних властивостей об’єкта уваги. Достатня простота моделі означає досягнення бажаного результату за прийнятий час, економні затрати (праці і засобів), прийнятну точність.
Адекватність і достатня простота ММ — певною мірою антагоністичні вимоги.
Також важливим є поняття повноти ММ — принципова можливість отримати за допомогою математичних методів цікаві досліднику результати, які дають нову інформацію, нові знання про об’єкт дослідження.
Вимога продуктивності ММ — у реальних ситуаціях вихідні дані (різноманітні параметри, функціональні залежності між складовими досліджуваної системи), які дійсно можна було здобути і які є важливими з погляду прикладної значущості досліджень!
Вимога робастності (англ. робаст — міцний) — стійкість ММ до похибок у вихідних (початкових) даних. Щоб уникнути нестійкості, не варто віднімати близьких чисел: масу капелюха визначати, зважившись у ньому і без, а потім узявши різницю!
a? a?a ? a?I<< ++ ??+= де ,a
2
2 & .
Вельми бажаною є властивість наочності моделі: безпосередній, ясний і змістовний сенс складових моделей, що, як правило, сприяє додатковому контролю її, а подеколи допомагає накреслити план і передбачити результат розвитку. a?a ++
2 .
Вельми бажаною є властивість наочності моделі: безпосередній, ясний і змістовний сенс складових моделей, що, як правило, сприяє додатковому контролю її, а подеколи допомагає накреслити план і передбачити результат розвитку. a? a?a ? a?I<< ++ ??+= де ,a
2
2 & .
Вельми бажаною є властивість наочності моделі: безпосередній, ясний і змістовний сенс складових моделей, що, як правило, сприяє додатковому контролю її, а подеколи допомагає накреслити план і передбачити результат розвитку.
3.1.5. Про класифікацію моделей
Зазвичай у ММ відображається структура модельного об’єкта, істотні для мети його вивчення властивості та взаємозв’язки між елементами. Тоді модель називається структурною. Якщо вона відображає функціонування об’єкту, наприклад реакцію на екзосигнали, то модель називаються функціональною. Дуже поширені ММ комбінованого типу.
Серед відомої в літературі множини ММ нас цікавитимуть не стільки статичні, скільки динамічні (еволюційні) моделі, що описують змінюваність об’єкта в часі. Проміжне місце посідають квазістатичні моделі. Квазістатичність означає досить повільну змінюваність об’єкта в часі
— настільки, що в будь-який момент його часу можна розглядати як статичну модель.
Для стаціонарної моделі вважається, що процеси відбуваються, але досліджуваний об’єкт у часі не змінюється. Як і раніше, визначається квазістаціонарна модель.
Усталеним процесом зазвичай називають стаціонарний або періодичний процес; перехідним процесом — послідовність переходу від одного статичного стану до іншого.
Зауваження. Коли говорять про вивчення причиново-наслідкового механізму явища, відкидають усе другорядне й залишають мінімальний набір факторів, взаємодія яких дає змогу зрозуміти сутність, щоб передбачити подальшу поведінку самого об’єкта. Говорячи про механізм явища, ми фокусуємо увагу на суті справи, проникаючи до серцевини розглядуваного явища. Механізм — це також своєрідна модель досліджуваного об’єкта.
Моделі будуються для розв’язання конкретних задач, треба вміти працювати з досить інструментів широким набором взаємозамінюваних і взаємодоповнюваних.
Культура моделювання вимагає, щоб для кожної моделі вказувався перелік умов, за яких конкретна модель буде правильною.
Модель має бути адекватною, працювати й давати відповіді на питання.
3.1.6. Практичні поради щодо створення моделей
Ці розумні підказки вистраждані реаліями комп’ютерного моделювання різноманітних проблем, але вперше сформульовані російським ученим Ю. І. Наймарком — знаним фахівцем з теорії та практики математичного моделювання.
1. Чим простіша модель, тим менше можливостей помилитися (зробити хибні висновки).
2. Модель має бути простою, але не простішою, ніж це можливо.
3. Нехтувати можна будь-чим, треба тільки знати, як це впливає на розв’язок (його поведінку).
4. Модель має бути такою, щоб малі збурення кардинально не впливати на її поведінку.
5. Модель і розрахунок не можуть бути точнішими за початкові умови.
Поради слід осмислити й застосовувати їх обережно та доцільно, не абсолютизуючи.
