Posibniki.com.ua Інформатика Нелінійні моделі економічних процесів РОЗДІЛ 7. ЛОГІСТИЧНЕ ВІДОБРАЖЕННЯ В МОДЕЛЮВАННІ ЕКОНОМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ


< Попередня  Змiст  Наступна >

РОЗДІЛ 7. ЛОГІСТИЧНЕ ВІДОБРАЖЕННЯ В МОДЕЛЮВАННІ ЕКОНОМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ


7.1.Ортодоксальне логістичне рівняння

7.2.Узагальнення класичної логістичної структури — неперервної моделі

7.3.Дискретизація узагальнень логістичного рівняння

7.4.Модель Солоу як узагальнене логістичне відображення

Резюме

Терміни і поняття

Питання для перевірки знань

Завдання для індивідуальної роботи

Список використаних і рекомендованих джерел для поглибленого вивчення матеріалу Опрацювавши матеріали цього розділу, студент буде знати:

— неперервну і дискретну логістичну модель економічного процесу;

— модифікації ортодоксальної (неперервної і дискретної) логістичної моделі економічної динаміки;

— характер поведінки розв’язків економіко-математичних моделей логістичного типу;

— біфуркаційну діаграму та її призначення для моделювання економічного розвитку;

— адаптивну логістичну модель. Також студент буде вміти:

— шукати координати точок економічної рівноваги, моделюючи із застосуванням логістичного підходу;

— кваліфікувати особливі точки рівноважного економічного стану;

— застосовувати дискретне узагальнення моделі Солоу для оцінювання стану економіки суспільства;

— уникати детермінованого хаосу за наявності різної довжини економічних циклів розвитку.

До базових моделей математичного моделювання взагалі, а не лише соціальноекономічних систем, належить логістичне рівняння, у якому усуваються вади рівняння Мальтуса: .(7.1)

kxx= & kxx= &

Диференціальне рівняння (7.1) в економічному аналізі — динамічна модель Харрода–Домара про зростання національного доходу суспільства, інтерпретуючи змінну х і сталу вели

ktxtxexp)(

0 ?=

0експоненціальний характер поведінки інтегральної кривої, що справедливо лише для малих відрізків часу t. чину k відповідно. Його розв’язок {} ktxtxexp)(

0 ?= , де х

0 — початкова умова, вказує на експоненціальний характер поведінки інтегральної кривої, що справедливо лише для малих відрізків часу t.

7.1. Ортодоксальне логістичне рівняння

Цілком логічно припустити, що для величини k у рівнянні (7.1) існує функціональна залежність .

)(xkk= )(xkk=

7.1.1. Неперервна (диференціальна) модель

Для простоти варто вважати , тобто розглядається лінійна залежність, що завжди буває на початку досліджень будь-де. Тоді записується відома в математичному моделюванні точкова модель Інтегральну криву x(t) — розв’язок диференціального рівняння (7.2) зображено на рис. 7.1.

126 Рис. 7.1. Інтегральна крива — S-крива або логістична крива

Рис. 7.1. Інтегральна крива — S-крива або логістична крива

Формально він записується так: кривої. ЇЇ особливість проявляється в тому, що для малих значень )(

)1( )(

0

0 at ebxa eax tx +? ?? = . )1( )(

0

0 at ebxa eax tx +? ?? = . ? ? ? ? ? ? ? ? ? <<

0

0 ln

0 x xba a t ; опуклості вгору — +?<< ? ? ? ? ? ? ? ? ? t x xba a

0

0 ln

1 . Крива не має екстремумів, асимптотично наближаючись до прямої .)( b a tx=

Графік функції x(t) нагадує розтягнуту букву S, тому має назву логістичної або S-)1( )(

0

0 at at ebxa eax tx +? ?? = .

Точка М перегину графіка інтегральної кривої має координати М ? ? ? ? ? ? ? ? ? b a x xba a2 );ln(

1

0

0 . Область опуклості вниз задається нерівністю ? ? ? ? ? ? ? ? ? <<

0

0 ln

0 x xba a t ; опуклості вгору — +?<< ? ? ? ? ? ? ? ? ? t x xba a

0

0 ln

1 . Крива не має екстремумів, асимптотично наближаючись до прямої .)( b a tx=

Графік функції x(t) нагадує розтягнуту букву S, тому має назву логістичної або S-

0 tx має місце експоненціальна поведінка графіка до точки М.

Саме такими кривими досить дало описуються зміна поколінь техніки, технології, еволюційні процеси в економічній і соціальній сферах. У літературі відомі різноманітні приклади успішного застосування логістичної моделі — від дифузії інновацій до поширення процесу демократичних форм управління суспільством.

На рис. 7.2 наводено три графіки, що описують: а) залежність швидкості )(tx & ; б) фазову траєкторію; в) динаміку поведінки розв’язків x(t) логістичної моделі з плином часу, тобто інтегральної кривої.

Початкова

Початкова

— монотонночись до рівноважного

Рис. 7.2. Геометричне зображення розв’язку логістичної моделі

Зауваження. Альтернатива функціїk(х), тобто її вибір, не обмежується сталою величиною

k, як у випадку моделі Мальтуса

—Харрода

—Домара (7.1), або лінійною функцією k(х)=a–bx для логістичного рівняння (7.2), сприяє адаптації динамічних моделей у комп’ютерному моделюванні. k, як у випадку моделі Мальтуса

—Харрода

—Домара (7.1), або лінійною функцією k(х)=a–bx для логістичного рівняння (7.2), сприяє адаптації динамічних моделей у комп’ютерному моделюванні.

7.1.2. Дискретний варіант точкової логістичної моделі

Зберігаючи структуру неперервної моделі (7.2), її дискретний варіант записується де ний процес (послідовних наближень): ною для вказаної функції з періодом k. Інакше кажучи, згадувана точка х є нерухомою для ітерацій )( )( k x f і не є такою для ітерацій з меншими номерами. Щодо економіки це означає існування економічного циклу з періодом k.

nnn xxx??= + )1(?

1 ,(7.3) nnn +

1 nnn xxx??= + )1(?

1 ,(7.3) ? — деякий числовий параметр; n — індекс ітерацій. Більш загально, має місце ітератив

1nn ?+ )(

1nn xfx ?+ = )( ?1nnn xhfxx+= +диференціального рівняння (7.2), де h — крок інтегрування, після алгебраїчних перетворень дістаємо вираз (7.3).

Якщо для неперервно диференційованої функції )( ? xf в околі деякої точки х виконується нерівність

1)( ? < ? xf , то зазначена точка є нерухомою (рівноважною) і притягуючою — атрак?1nnn +диференціального рівняння (7.2), де h — крок інтегрування, після алгебраїчних перетворень дістаємо вираз (7.3).

Якщо для неперервно диференційованої функції )( ? xf в околі деякої точки х виконується нерівність

1)( ? < ? xf , то зазначена точка є нерухомою (рівноважною) і притягуючою — атрак

1)( ? < ? xf

0)( ? =xf

— атрактора, по–іншому — рівноважного стану економічної системи, описуваної динамічною моделлю (7.3).

1)( ? > ? xfрозбіжний. Але в обох випадках згадувана точка кваліфікується як гіперболічна. )( )( )( xf k x = , причому )( )( )( xf j x ? для j < k, то точка х називається періодич

Якщо виконується )( )( )( xf k x = , причому )( )( )( xf j x ? для j < k, то точка х називається періодич)(

1nn xfx ?+ = .(7.3 а)

Зауваження. Скориставшись чисельним методом Ейлера )( ?1nnn xhfxx+= + інтегрування диференціального рівняння (7.2), де h — крок інтегрування, після алгебраїчних перетворень дістаємо вираз (7.3).

Якщо для неперервно диференційованої функції )( ? xf в околі деякої точки х виконується нерівність

1)( ? < ? xf , то зазначена точка є нерухомою (рівноважною) і притягуючою — атрактор або корінь рівняння

0)( ? =xf . Послідовні наближення (9.3 а) збігаються до точки тяжіння

— атрактора, по–іншому — рівноважного стану економічної системи, описуваної динамічною моделлю (7.3).

За протилежної умови

1)( ? > ? xf має місце відштовхуюча точка, ітеративний процес (9.3 а) розбіжний. Але в обох випадках згадувана точка кваліфікується як гіперболічна.

Якщо виконується )( )( )( xf k x = , причому )( )( )( xf j x ? для j < k, то точка х називається періодич

Орбіта періодичної точки складається з k точок і називається циклом періоду k.

Якісна поведінка дискретної моделі (7.3) детермінується кількістю нерухомих точок, їхнім розміщенням, циклами і граничною поведінкою орбіт.

0

1 =x? )1?(

2 ? =x, розв’язуючи рівняння .)1(?xxx=?

Обчислюючи похідну xxf?2?)(?= ? ? у нерухомих точках х

1 і х

2 , знаходимо ?)0(= ? f і

Нерухомих точок дві:

0

1 =x — тривіальна і ? )1?(

2 ? =x, розв’язуючи рівняння .)1(?xxx=?

Обчислюючи похідну xxf?2?)(?= ? ? у нерухомих точках х

1 і х

2 , знаходимо ?)0(= ? f і

0

1 =x? )1?(

2 ? =x, розв’язуючи рівняння .)1(?xxx=?

Обчислюючи похідну xxf?2?)(?= ? ? у нерухомих точках х

1 і х

2 , знаходимо ?)0(= ? f і xxf?2?)(?= ?

1

2 ?)0(= ? f?2 ? )1?( ?= ? ? ? ? ? ? ? ? f. Прирівнюючи ці вирази до

1± , знаходимо, що для 1?= і 3?= нерухома < > = ? xf (мають місце лише рівності).

Втрата гіперболічності супроводжується явищем біфуркації: при плавній змінюваності параметра ? спостерігається стрибкоподібна поведінка моделі (7.3).

Якщо 1?0<<, то

0

1 =x є нерухомою точкою тяжіння, а точка х

2 — відштовхуючою (рис. 7.3 а).

1?= є біфуркаційним (втрачається гіперболічність, точки х

1 і х

2 зливаються в одну, яка не є точкою тяжіння чи відштовхування рис. 7.3 б).

Для 1?? (рис. 7.3 в) усі точки поза відрізком [0;1] під дією ітерацій виводяться на ? . точка не є гіперболічною, бо не виконується нерівність

1)( < > = ? xf (мають місце лише рівності).

Втрата гіперболічності супроводжується явищем біфуркації: при плавній змінюваності параметра ? спостерігається стрибкоподібна поведінка моделі (7.3).

Якщо 1?0<<, то

0

1 =x є нерухомою точкою тяжіння, а точка х

2 — відштовхуючою (рис. 7.3 а).

1?= є біфуркаційним (втрачається гіперболічність, точки х

1 і х

2 зливаються в одну, яка не є точкою тяжіння чи відштовхування рис. 7.3 б).

Для 1?? (рис. 7.3 в) усі точки поза відрізком [0;1] під дією ітерацій виводяться на ? . > ? xf (мають місце лише рівності).

Втрата гіперболічності супроводжується явищем біфуркації: при плавній змінюваності параметра ? спостерігається стрибкоподібна поведінка моделі (7.3).

Якщо 1?0<<, то

0

1 =x є нерухомою точкою тяжіння, а точка х

2 — відштовхуючою (рис. 7.3 а).

1?= є біфуркаційним (втрачається гіперболічність, точки х

1 і х

2 зливаються в одну, яка не є точкою тяжіння чи відштовхування рис. 7.3 б).

Для 1?? (рис. 7.3 в) усі точки поза відрізком [0;1] під дією ітерацій виводяться на ? .

1)( < > = ? xf (мають місце лише рівності).

Втрата гіперболічності супроводжується явищем біфуркації: при плавній змінюваності параметра ? спостерігається стрибкоподібна поведінка моделі (7.3).

Якщо 1?0<<, то

0

1 =x є нерухомою точкою тяжіння, а точка х

2 — відштовхуючою (рис. 7.3 а).

1?= є біфуркаційним (втрачається гіперболічність, точки х

1 і х

2 зливаються в одну, яка не є точкою тяжіння чи відштовхування рис. 7.3 б).

Для 1?? (рис. 7.3 в) усі точки поза відрізком [0;1] під дією ітерацій виводяться на ? .

Якщо 1?0<<, то

0

1 =x є нерухомою точкою тяжіння, а точка

2 — відштовхуючою (рис. 7.3 а).

1?= є біфуркаційним (втрачається гіперболічність, точки х

1 і х

2 зливаються в одну, яка не є точкою тяжіння чи відштовхування рис. 7.3 б).

Для 1?? (рис. 7.3 в) усі точки поза відрізком [0;1] під дією ітерацій виводяться на ? . 1?0

0

1 =x

2(рис. 7.3 а).

1?= є біфуркаційним (втрачається гіперболічність, точки х

1 і х

2 зливаються в одну, яка не є точкою тяжіння чи відштовхування рис. 7.3 б).

Для 1?? (рис. 7.3 в) усі точки поза відрізком [0;1] під дією ітерацій виводяться на ? .

Значення

1?= є біфуркаційним (втрачається гіперболічність, точки х

1 і х

2 зливаються в одну, яка не є точкою тяжіння чи відштовхування рис. 7.3 б).

Для 1?? (рис. 7.3 в) усі точки поза відрізком [0;1] під дією ітерацій виводяться на ? .

Для 3?1<<эточка

0

1 =x є відштовхуючою, а точка ?

1?

2 ? =x — тяжіння і нерухома. Усі точки інтервалу (0;1) наближаються х

2 (рис. 7.3 в).

Для 3?= має місце біфуркація: нерухома точка х

2 втрачає гіперболічність і стає відштовхуючою для 3?>, будучи притягуючою для 3?<. 3?1

0

1 =x?

1?

2 ? =x — тяжіння і нерухома. Усі точки інтервалу (0;1) наближаються х

2 (рис. 7.3 в).

Для 3?= має місце біфуркація: нерухома точка х

2 втрачає гіперболічність і стає відштовхуючою для 3?>, будучи притягуючою для 3?<. 3?1<<эточка

0

1 =x є відштовхуючою, а точка ?

1?

2 ? =x — тяжіння і нерухома. Усі точки інтервалу (0;1) наближаються х

2 (рис. 7.3 в).

Для 3?= має місце біфуркація: нерухома точка х

2 втрачає гіперболічність і стає відштовхуючою для 3?>, будучи притягуючою для 3?<.

Для 3?= має місце біфуркація: нерухома точка х

2 втрачає гіперболічність і стає відштовхуючою для 3?>, будучи притягуючою для 3?<. хуючою для 3?>, будучи притягуючою для 3?<.

Нерухомих точок дві:

0

1 =x — тривіальна і ? )1?(

2 ? =x, розв’язуючи рівняння .)1(?xxx=?

Обчислюючи похідну xxf?2?)(?= ? ? у нерухомих точках х

1 і х

2 , знаходимо ?)0(= ? f і ?2 ? )1?( ?= ? ? ? ? ? ? ? ? f. Прирівнюючи ці вирази до

1± , знаходимо, що для 1?= і 3?= нерухома точка не є гіперболічною, бо не виконується нерівність

1)( < > = ? xf (мають місце лише рівності).

Втрата гіперболічності супроводжується явищем біфуркації: при плавній змінюваності параметра ? спостерігається стрибкоподібна поведінка моделі (7.3).

Якщо 1?0<<, то

0

1 =x є нерухомою точкою тяжіння, а точка х

2 — відштовхуючою (рис. 7.3 а).

Значення

1?= є біфуркаційним (втрачається гіперболічність, точки х

1 і х

2 зливаються в одну, яка не є точкою тяжіння чи відштовхування рис. 7.3 б).

Для 1?? (рис. 7.3 в) усі точки поза відрізком [0;1] під дією ітерацій виводяться на ? .

Для 3?1<<эточка

0

1 =x є відштовхуючою, а точка ?

1?

2 ? =x — тяжіння і нерухома. Усі точки інтервалу (0;1) наближаються х

2 (рис. 7.3 в).

Для 3?= має місце біфуркація: нерухома точка х

2 втрачає гіперболічність і стає відштовхуючою для 3?>, будучи притягуючою для 3?<.

На рис. 7.4 наводено графік відображення )2( ? f (дворазової композиції функції ? f самої на існують ще дві точки а

себе, тобто )(ff ) для значень параметра 3>? (дещо більших за 3). Крім нерухомої точки х

2 себе, тобто )(ff ) для значень параметра 3>? (дещо більших за 3). Крім нерухомої точки х

2

1 і а

2 , які не є рухомі для ? f , але вони утворюють притягуючий цикл

128 Стрілки вказують на перетворення точок під дією відображення )( ? xf

Стрілки вказують на перетворення точок під дією відображення )( ? xf

129

Усі точки (0;1) притягуються до цього циклу.

45,3?=)4( ? f в околі точок а

1 і а

2 . Для

45,3?> поряд з кожною точкою а

1 і а

2 з’являються ще дві нерухомі точки відображення )4( ? f , тобто виникає стійкий цикл періоду 4. Отже, для

2 ??= спостерігається ще одна біфуркація подвоєння періоду.

На рис. 7.5 подано геометричне зображення циклів 2 і 4 для функції Ріккера {} nnn xxx??= + exp?

1 , яка є узагальненням логістичного відображення (7.3): справді, обмежуючись лінійними членами розвинення експоненти в ряд, тобто {} nn xx???1 ~ exp , переходимо до виразу (7.3).

2 ??=

На рис. 7.5 подано геометричне зображення циклів 2 і 4 для функції Ріккера {} nnn xxx??= + exp?

1 , яка є узагальненням логістичного відображення (7.3): справді, обмежуючись лінійними членами розвинення експоненти в ряд, тобто {} nn xx???1 ~ exp , переходимо до виразу (7.3). nnn xxx??= + exp?

1 чись лінійними членами розвинення експоненти в ряд, тобто {} nn xx???1 ~ exp , переходимо до виразу (7.3). nnn +

1 чись лінійними членами розвинення експоненти в ряд, тобто {} nn xx???1 ~ exp , переходимо до виразу (7.3).

Для

45,3?= вираз похідної набуває значення (-1), попередній цикл періоду 2 втрачає свою стійкість. Проходження параметра ? через значення

2 ? дуже нагадує описану вище поведінку, але для відображення )4( ? f в околі точок а

1 і а

2 . Для

45,3?> поряд з кожною точкою а

1 і а

2 з’являються ще дві нерухомі точки відображення )4( ? f , тобто виникає стійкий цикл періоду 4. Отже, для

2 ??= спостерігається ще одна біфуркація подвоєння періоду.

На рис. 7.5 подано геометричне зображення циклів 2 і 4 для функції Ріккера {} nnn xxx??= + exp?

1 , яка є узагальненням логістичного відображення (7.3): справді, обмежуючись лінійними членами розвинення експоненти в ряд, тобто {} nn xx???1 ~ exp , переходимо до виразу (7.3). aб

Рис. 7.5. Динамічна спіраль — цикли періоду 2 (рис. 7.5 а) і періоду 4 (рис. 7.5 б).

Змінна х

1 і х

2 (2) і х

1 , х

2 , х

3 , х

4 (б). Стрілками вказано переходи в ітеративному процесі

На рис. 7.6 у системі координат: абсциса — параметр ?, ордината — точка n x геометрично зображено поведінку біфуркацій для одновимірних дискретних відображень — логістичного (рис. 7.6 а) і функції Ріккера (рис. 7.6 б), причому для першого випадку кількість

0

0

Рис. 7.6. Біфуркаційна діаграма логістичного відображення (а) і функції Ріккера (б), збільшений для неї фрагмент (в)

Рис. 7.6. Біфуркаційна діаграма логістичного відображення (а) і функції Ріккера (б), збільшений для неї фрагмент (в)

Для обох функцій спершу наявний рівноважний стан розв’язку, а потім для нього спостерігаються періодичні циклічні коливання змінної n x між двома значеннями (крива роздвоюється), і нарешті — настає детермінований хаос.

Характерно, що, незважаючи на різні дискретні відображення, спостерігається майже однаковий сценарій переходу до хаотичного стану, який графічно зображено на рис. 7.7.

Рис. 7.7. Детермінований хаос на прикладі функції Ріккера: а — фазовий портрет; б — поведінка n x з плином часу

Рис. 7.7. Детермінований хаос на прикладі функції Ріккера: а — фазовий портрет; б — поведінка n x з плином часу

? ?? ?? lim

1

1 = ? ? + ? ?? nn nn n , де ...6692,4?= називається універсальною сталою Фейгенбаума. Для логістичного сімейства {}

569,3?lim= ?? n n .

Відображення, що відповідає значенню ,569,3?= ? має інваріантну множинуF канторівського типу, оточену нескінченною кількістю нестійких циклів періоду n

2 . При цьому всі точки відрізка [0;1], крім точок цих циклів та їхніх прообразів, притягуються до множини F. Фрактальна розмірність цього атрактора дорівнює (–0,583).

В околі точки

83,3?= з’являється цикл 3 (рис. 7.8) для логістичного відображення (7.3).

1 + ?? nn n Для логістичного сімейства {}

569,3?lim= ?? n n .

Відображення, що відповідає значенню ,569,3?= ? має інваріантну множинуF канторівського типу, оточену нескінченною кількістю нестійких циклів періоду n

2 . При цьому всі точки відрізка [0;1], крім точок цих циклів та їхніх прообразів, притягуються до множини F. Фрактальна розмірність цього атрактора дорівнює (–0,583).

В околі точки

83,3?= з’являється цикл 3 (рис. 7.8) для логістичного відображення (7.3).? ?? ?? lim

1

1 = ? ? + ? ?? nn nn n , де ...6692,4?= називається універсальною сталою Фейгенбаума. Для логістичного сімейства {}

569,3?lim= ?? n n .

Відображення, що відповідає значенню ,569,3?= ? має інваріантну множинуF канторівського типу, оточену нескінченною кількістю нестійких циклів періоду n

2 . При цьому всі точки відрізка [0;1], крім точок цих циклів та їхніх прообразів, притягуються до множини F. Фрактальна розмірність цього атрактора дорівнює (–0,583).

В околі точки

83,3?= з’являється цикл 3 (рис. 7.8) для логістичного відображення (7.3).Для логістичного сімейства

569,3?lim= ?? n n .

Відображення, що відповідає значенню ,569,3?= ? має інваріантну множинуF канторівського типу, оточену нескінченною кількістю нестійких циклів періоду n

2 . При цьому всі точки відрізка [0;1], крім точок цих циклів та їхніх прообразів, притягуються до множини F. Фрактальна розмірність цього атрактора дорівнює (–0,583).

В околі точки

83,3?= з’являється цикл 3 (рис. 7.8) для логістичного відображення (7.3).,569,3?= ?кого типу, оточену нескінченною кількістю нестійких циклів періоду n

2 . При цьому всі точки відрізка [0;1], крім точок цих циклів та їхніх прообразів, притягуються до множини F. Фрактальна розмірність цього атрактора дорівнює (–0,583).

В околі точки

83,3?= з’являється цикл 3 (рис. 7.8) для логістичного відображення (7.3).

83,3?=

Було встановлено таке. Послідовність {} n ? біфуркаційних значень параметра ? збігається, причому ? ?? ?? lim

1

1 = ? ? + ? ?? nn nn n , де ...6692,4?= називається універсальною сталою Фейгенбаума. Для логістичного сімейства {}

569,3?lim= ?? n n .

Відображення, що відповідає значенню ,569,3?= ? має інваріантну множинуF канторівського типу, оточену нескінченною кількістю нестійких циклів періоду n

2 . При цьому всі точки відрізка [0;1], крім точок цих циклів та їхніх прообразів, притягуються до множини F. Фрактальна розмірність цього атрактора дорівнює (–0,583).

В околі точки

83,3?= з’являється цикл 3 (рис. 7.8) для логістичного відображення (7.3).

Рис. 7.8. Графік ітерації )2( ? f для ? = 3,83.

Нерухомі точки b

1 , b

2 , b

3 утворюють цикл періоду 3 функції ? f

Рис. 7.8. Графік ітерації )2( ? f для ? = 3,83.

Нерухомі точки b

1 , b

2 , b

3 утворюють цикл періоду 3 функції ? f

Зважаючи на теорему сучасного українського математика Шарковського: якщо функція має цикл періоду 3, то вона має цикли всіх періодів, доходимо висновку про надзвичайну складність динаміки економічної поведінки системи, описуваної навіть найпростішою логістичною функцією (7.3).


< Попередня  Змiст  Наступна >
Iншi роздiли:
7.3. Дискретизація логістичного рівняння
7.4. Модель Солоу як узагальнене логістичне відображення
РОЗДІЛ 8. СТОХАСТИЧНІ МОДЕЛІ ПЕРЕБІГУ ЕКОНОМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ
8.2. Ергодичність економічної системи
8.4. Математичний опис стану економічного агента з використанням теорії випадкових процесів
Дисциплiни

Медичний довідник новиниКулінарний довідникАнглійська моваБанківська справаБухгалтерський облікЕкономікаМікроекономікаМакроекономікаЕтика та естетикаІнформатикаІсторіяМаркетингМенеджментПолітологіяПравоСтатистикаФілософіяФінанси

Бібліотека підручників та статтей Posibniki (2022)