2.1.Чим зумовлюється фрактальний підхід до розв’язання економічних проблем?Що таке фрактали?
2.2Фрактальні об’єкти: основні поняття і визначення
2.3.Фрактальні структури в економічному аналізі
Резюме
Терміни і поняття
Питання для перевірки знань
Завдання для індивідуальної роботи
Список використаних і рекомендованих джерел для поглибленого вивчення матеріалу Опрацювавши матеріал цього розділу, студент буде знати:
— всюдисутність фракталів, для яких економіка є ще однією сферою застосування;
— фрактальні властивості економічного середовища зумовлюються притаманними йому явищами агрегування, дифузії та дисипації, детермінованого хаосу і випадкових блукань;
— логіка економічної еволюції потребує апарату досконалого опису, яким на сьогодні є фрактальний аналіз;
— багатофункціональна мова економічної науки поповнюється ще однією можливістю адекватно описувати явища і процеси. Також студент буде вміти:
— вивчати економіку під кутом зору динаміки, послуговуючись фрактальним аналізом;
— вивчати конкретні економічні процеси і явища на підґрунті методу (R/S) аналізу;
— аналізувати результати фрактального моделювання, прогнозуючи поведінку об’єкта і надаючи практичні поради замовнику дослідження.
У науковій літературі спостерігається значний інтерес до фрактального аналізу, але немає предметно орієнтованої методології застосування, наприклад у моделюванні економічних проблем (аналізі й синтезі задач прикладної та теоретичної економіки). У цьому розділі стисло й доступно викладено основні положення фрактальних методів, методику їх використання в економічній сфері. Ставилося за мету уникнути фрагментарності, досягти наочності у викладі матеріалу, його застосовуванні до реальних проблем економіки. Запозичити лише те, що безпосередню стосується до економічної проблематики.
2.1. Чим зумовлюється фрактальний підхід до розв’язання економічних проблем? Що таке фрактали?
Головна причина, на наш погляд, полягає у фундаментальних особливостях природи економіки, а саме:
— механізм і структурна організація в цілому та її складових;
— принцип ієрархічності на всіх масштабних рівнях суспільства;
— систематична зміна технології виробництва;
— неоднорідність сировини для виробничого процесу.
Урахування такого широкого й досить різнопланового спектра факторів, щоб досягнути повноти економічного знання, можливе за наявності адекватного математичного апарату. Добре відомо, що класичної математики для економіста вже недостатньо.
Спершу привернемо свою увагу до того незаперечного факту, що фрактали всюдисущі, трапляється будь-де у природі: кущі, крони дерев, берегова лінія, гірські хребти, мережа річок на поверхні Землі, кровоносні судини живого організму тощо. Вважається, що Всесвіт — просторовий фрактал.
Взагалі кажучи, природа характеризується локальною випадковістю і глобальним порядком. Кожен природний фрактал відмінний у деталях (двох однакових нема!), але є подібний до іншого в загальній концепції. Для прикладу, усі дерева дуба різні, але їх легко розпізнають як дуби. Можна брати до розгляду людську спільноту і людину (етнос) зокрема.
Смислове навантаження терміна «фрактал» означає ламаний об’єкт. Для прикладу, аркуш паперу завжди сприймається як площина, маючи довжину і ширину. Говорять, що Чим більше жужмом поданий аркуш, тим він подібніший до суцільної форми якогось тіла, тобто розмірності три.
вимірність цього об’єкта d = 2. Але він має товщину, яким би тонким не був аркуш паперу. І насправді — він є тривимірним, тобто d = 3. Зім’явши паперовий аркуш і не враховуючи його товщини, будемо мати щось менше, ніж тривимірний об’єкт або тіло, але точно вже не площину! У такому разі кажуть, що зім’ятий аркуш паперу має фрактальну або дробову розмірність, більшу ніж два і меншу ніж три, тобто виконується подвійна нерівність 32??d. насправді — він є тривимірним, тобто d = 3. Зім’явши паперовий аркуш і не враховуючи його товщини, будемо мати щось менше, ніж тривимірний об’єкт або тіло, але точно вже не площину! У такому разі кажуть, що зім’ятий аркуш паперу має фрактальну або дробову розмірність, більшу ніж два і меншу ніж три, тобто виконується подвійна нерівність 32??d. вимірність цього об’єкта d = 2. Але він має товщину, яким би тонким не був аркуш паперу. І насправді — він є тривимірним, тобто d = 3. Зім’явши паперовий аркуш і не враховуючи його товщини, будемо мати щось менше, ніж тривимірний об’єкт або тіло, але точно вже не площину! У такому разі кажуть, що зім’ятий аркуш паперу має фрактальну або дробову розмірність, більшу ніж два і меншу ніж три, тобто виконується подвійна нерівність 32??d.
Натуральні числа d = 2 і d = 3 називаються топологічною розмірністю. Вона характеризується як вимірність певної множини на одиницю більшої, ніж розмірність перетину, що ділить множину на дві непов’язані частини (підмножини). Отже, звичайне геометричне тіло (об’ємне) розбивається поверхнею, площина розділяється лінією, а крива — точкою. ( )
2
1 r разів менша за площуі початкового, тобто виконується рівність .1 2 =Nr .1 2 =Nr
Натуральні числа d = 2 і d = 3 називаються топологічною розмірністю. Вона характеризується як вимірність певної множини на одиницю більшої, ніж розмірність перетину, що ділить множину на дві непов’язані частини (підмножини). Отже, звичайне геометричне тіло (об’ємне) розбивається поверхнею, площина розділяється лінією, а крива — точкою.
Квадрат розбивається на N інших квадратиків, площа яких в ( )
2
1 r разів менша за площуі початкового, тобто виконується рівність .1 2 =Nr N = 9; r = 1/3; d = 2 r r N = 9; r = 1/3; d = 2
Рис. 2.1. Тлумачення зв’язку розмірності й коефіцієнта подібності у двовимірному просторі
Менші квадратики подібні до початкового більшого. Узагальнено можна записати:
1= d Nr ,(2.1)
1= d Nr ,(2.1) де для d = 1 матимемо лінію, а для d = 3 — куб. Але крім зазначених простих випадків (цілої розмірності) можуть знайтися такі розбиття, що величина d є дійсним числом (необов’язкове ціле).
Логарифмуючи рівність (2.1), записується розмірність фрактального об’єкта де для d = 1 матимемо лінію, а для d = 3 — куб. Але крім зазначених простих випадків (цілої розмірності) можуть знайтися такі розбиття, що величина d є дійсним числом (необов’язкове ціле).
Логарифмуючи рівність (2.1), записується розмірність фрактального об’єкта ? ? ? ? = r N(r) d
1 ln ln .(2.2) ? ? ? ? ? ? = r N(r) d
1 ln ln .(2.2)
2
3ln
3ln2
1 ln
9ln == ? ? ? ? ? ? ? ? =d . ()
2
3ln
3ln2
31
1 ln
9ln == ? ? ? ? ? ? ? ? =d .
Для наведеного вище прикладу
Формула (2.2) фрактальної розмірності вказує на те, що розмірність пов’язана зі способом розбиття (побудови розглядуваної множини). Інакше кажучи, фрактальна розмірність пов’язана зі способом утворення розглядуваної множини, але не її топологією.
Зауваження. Інколи фрактальну розмірність називають хаусдорфовою або ентропійною. Вона більша за топологічну, або евклідову, розмірність.
Дробова (фрактальна) розмірність якраз демонструє практичну (суміжного характеру) властивість фрактала — бути між точкою і лінією або між лінією і площиною і тощо, на відміну від класичних уявлень це буде пухнаста межа (лінія).
