Як правило, динаміка системи будь-якої природи описується точковою моделлю — сукупністю звичайних диференціальних нелінійних рівнянь з початковими умовами де х — вектор змінних; t — незалежна змінна часу; права частина ),(axf — нелінійна вектор-функція; с — початкова (стартова) умова або точка відліку динамічного процесу.
Вектором а параметрів рівнянь моделі описується реальний вплив середовища на перебіг процесів економічної системи. Практика економічного буття нагально потребує володіння певною гнучкістю в математичній постановці проблеми, варіативності її моделі.
Дослідження починається з розрахунку координат рівноважних (стаціонарних) точок тяжіння: для довільної точки цього околу траєкторії збігаються (наближаються) до рівноважного стану. Цікаво знати, як відбуваються зміни рівноважних координат (в околі стаціонарних точок) залежно від числових значень параметрів реальної економічної системи (коефіцієнтів ММ).
Рис. 5.3. Поведінка функцій в околі критичної точки для варіації параметра портрета збуреної моделі, то наявна місце структурна стійкість початкової моделі. щодо цих виразів геометрично траєкторії збігаються: для кожного значення х напрямлені однаково, а різняться лише довжиною (існує прямий зв’язок між теорією катастроф, аналізом біфуркацій і структурною стійкістю). Катастрофи з’являються за таких числових значень параметрів моделі системи, коли спостерігаються переходи від одного атрактора до іншого.
Друга збурена функція
2 ~ y тепер набуває двох екстремальних точок (
3
2,1 a x±=), одна з min), а інша — максимум (рис. 5.3 б). Остання збурена функція
3 ~ y набуває вже трьох критичних точок (рис. 5.3 в), причому початок координат (
0
1 =x ) стає точкою max,
0
1 =x інші дві нові критичні точки (
2
1
3,2 ±=x) набувають мінімального значення.
Отже, збурені функції
2 ~ y і
3 ~ y мають спільну властивість, яка називається структурною нестійкістю: для малої (незначної) варіації структури функції її поведінка в околі критичної ~ — структурно стійка. точки радикально змінюється. Наголосимо, що функція axxy?=
2
1 ~ — структурно стійка.
Наостанок зауважимо, що побудова економіко-математичних моделей (ЕММ) пов’язана, як правило, з нехтуванням деякими (малими, несуттєвими на перший погляд) величинами. Саме тому бажана структурна стійкість ЕММ.
Визначення 1. Математична модель (5.2) динаміки деякої економічної системи називається структурно стійкою [9], якщо топологічний (геометричний) характер усіх траєкторій збуреної за рахунок варіації параметра а ММ (5.2) залишається ідентичним поведінці розв’язку початкової моделі. Інакше кажучи, досить малій варіації параметра а також відповідає доволі незначна зміна правої частини ),(axf
ММ (5.2): якщо при цьому не спостерігається істотна зміна фазового
Друга збурена функція
2 ~ y тепер набуває двох екстремальних точок (
3
2,1 a x±=), одна з яких — мінімум (min), а інша — максимум (рис. 5.3 б). Остання збурена функція
3 ~ y набуває вже трьох критичних точок (рис. 5.3 в), причому початок координат (
0
1 =x ) стає точкою max, інші дві нові критичні точки (
2
1
3,2 ±=x) набувають мінімального значення.
Отже, збурені функції
2 ~ y і
3 ~ y мають спільну властивість, яка називається структурною нестійкістю: для малої (незначної) варіації структури функції її поведінка в околі критичної точки радикально змінюється. Наголосимо, що функція axxy?=
2
1 ~ — структурно стійка.
Наостанок зауважимо, що побудова економіко-математичних моделей (ЕММ) пов’язана, як правило, з нехтуванням деякими (малими, несуттєвими на перший погляд) величинами. Саме тому бажана структурна стійкість ЕММ.
Визначення 1. Математична модель (5.2) динаміки деякої економічної системи називається структурно стійкою [9], якщо топологічний (геометричний) характер усіх траєкторій збуреної за рахунок варіації параметра а ММ (5.2) залишається ідентичним поведінці розв’язку початкової моделі. Інакше кажучи, досить малій варіації параметра а також відповідає доволі незначна зміна правої частини ),(axf
ММ (5.2): якщо при цьому не спостерігається істотна зміна фазового
0 aa=зміна в поведінціфазового портрета ММ (5.2), має місце явище біфуркації. У такому разі модель не є структурно нестійкою, а значення параметра
0 a має назву біфуркаційного значення і називається точкою біфуркації.
Зауваження. Визначенню структурної стійкості ММ економічної системи передувало поняття загрубленої системи звичайних диференціальних рівнянь, сформульоване ще в 1937 р. радянськими вченими А. А. Андроновим і Л. С. Понтрягіним. З прикладного погляду зору поняття грубої системи (авторська дефініція) і структурної стійкості еквівалентні. )(xFx= &)(xx?= &)(xF)(?xктор-функція, причому ))(1( )( )(?
2 xF xF x + = , і ? є евклідова норма (довжина вектора), то ))(1( )( )(?
2 xF xF x + = , і ? є евклідова норма (довжина вектора), то
Тоді, коли для деякого числового значення
0 aa= вектора параметрів відбудеться якісна зміна в поведінціфазового портрета ММ (5.2), має місце явище біфуркації. У такому разі модель не є структурно нестійкою, а значення параметра
0 a має назву біфуркаційного значення і називається точкою біфуркації.
Зауваження. Визначенню структурної стійкості ММ економічної системи передувало поняття загрубленої системи звичайних диференціальних рівнянь, сформульоване ще в 1937 р. радянськими вченими А. А. Андроновим і Л. С. Понтрягіним. З прикладного погляду зору поняття грубої системи (авторська дефініція) і структурної стійкості еквівалентні.
Також зазначимо, що ММ )(xFx= & (5.2 а) і )(xx?= & (5.2 б), де х — вектор, )(xF і )(?x — вектор-функція, причому ))(1( )( )(?
2 xF xF x + = , і ? є евклідова норма (довжина вектора), то
Поняття зв’язної стійкості викликане тим, що деякі змінні j x
ЕММ (5.2) можуть впливати на іншізмінні i x . Тоді зв’язна стійкість відповідає сутістійкості за Ляпуновим, ураховуючи всі можливі зв’язки і впливи між елементами економічної системи. Незаперечно важливе поняття зв’язної стійкості в економічному аналізі.
Будемо розглядати дві ММ: І. (5.2а) і ІІ. (5.2б) деякої стабільної економічної системи.
Визначення 2. Сукупність диференціальних рівнянь (5.2 а) описує структурно стійку систему, якщо для достатньо близьких моделей (5.2 а) і (5.2 б) траєкторії першої можна неперервно трансформувати в траєкторії другої зі збереженням напрямку потоку — руху і зміни економічних станів.
Роль структурної стійкості економічної системи та її математичної моделі в моделюванні динаміки розвитку економіки важко переоцінити.
Зауваження. Зазначений підхід щодо моделювання економіки раціональний, бо будьякий новий (наступний) економічний стан випливає з попереднього (поточного).Лише для деяких історичних моментів часу можуть спостерігатися докорінні відмінності між згадуваними станами економіки, наприклад економічні криза або диво. У моделюванні це так звані режими із загостренням, коли економічні фактори раптово набувають досить малих або великих (порівняно з попередніми) числових значень.
Можливо, припущення про структурну стійкість економіки варто постулювати для еволюційного етапу економічного розвитку.
Особлива точка ММ економічної динаміки називається гіперболічною, якщо власні значення матриці лінеаризації (Якобі) для ММ (5.2 а) ? ? ?? ??
1 )()( F F набуваючи комплексних значень, мають ненульові дійсні частини.
Гіперболічна особлива точка може бути стоком (стійкий вузол або фокус), джерелом (нестійкий фокус або вузол) і сідлом залежно від кількості власних значень з від’ємними дійсними частинами (відповідно 2,0 і 1). ніж ( ?? ), для усіх х. Індекс «T» засвідчує операцію транспортування.
Теорема Красовського. Тривіальний розв’язок 0=x, як особлива (рівноважна) точка не)(xfx= &знайдеться така стала 0?>, що матриця )()(xJxJ T + володіє власними значеннями, меншими, 0?)()(xJxJ T + володіє власними значеннями, меншими,
Теорема Красовського. Тривіальний розв’язок 0=x, як особлива (рівноважна) точка нелінійної ММ )(xfx= & економічної системи, буде асимптотично стійким глобально, якщо знайдеться така стала 0?>, що матриця )()(xJxJ T + володіє власними значеннями, меншими,
Подальший розвиток структурної стійкості проявляється у використанні поняття адаптованості, яке відображає здатність економічної системи до поглинання зовнішніх збурень зі збереженням характеру (тенденцій) попередньої поведінки. Ступінь адаптованості економічної системи цілком детермінується взаємодією її внутрішніх можливостей і зовнішніх збурень. Існують щонайменше дві причини на користь такого твердження. По-перше, будь-яка реальна система майже завжди перебувають під дією малих збурень різного походження. Тому окремі властивості функції F опису стану об’єкта моделювання, які можуть руйнуватися в результаті малих збурень, ніяк не відображатимуть реальних властивостей.
По-друге, вимірювання здійснюються з певною точністю до деякої ненульової похибки. Тому властивості функції F, що можуть викликатися варіацією у межах згадуваної похибки, ніяк не стосуватиметься реального об’єкта моделювання.
Ось чому в економіко-математичному моделюванні важливу роль відіграє гіпотеза Р. Тома про структурну стійкість: будь-яка математична модель реальної економічної системи мусить у деякому сенсі мати глобальну стійкість, що відповідала б істинній стійкості явищ, спостережуваних у дійсності. Гіпотеза є головним принципом математичного моделювання нелінійної економічної динаміки.
Визначення 3. Адаптованість економічної системипротягом часу її розвитку може характеризуватися, зокрема, тим, що її ММ може зберігати або дотримуватися незмінюваності основної ходи поведінки динамічного процесу за наявності дії (впливу) збурень.
Для об’єктивного системного дослідження сформулюємо (опишемо) поняття адаптивності математично (мовою математики).
Нехай ММ функціонування економічної системи записується у вигляді ,(5.2в) де доданок .
0 )0( ),(),(xxtgaxfx=+= &
0)(=tg
0),0(=af
0 )0( ),(),(xxtgaxfx=+= & )(tg відповідає збуренню об’єкта моделювання, що коли
0)(=tg , то
0),0(=af для довільного
Вважається вектора а параметрів модельованої системи. Тобто за відсутності зовнішнього збурення рівноважна точка економічної системи є початком координат.
У центрі проблеми стоять запитання: 1) за яких умов функція )(tg збурення сприятиме переходу до іншої, ніж початок координат, області тяжіння?; 2) яка варіація параметрів динамічної моделі економічної системи (вектора а) спричинить перехід до іншого атрактора?
Очевидно, адаптованість детермінується як природою самої економічної системи, так і величиною сили допустимого збурення, точкою її прикладання і часом дії.
