А?B (x) = 1 – – µ
А (x) + µ
А (x)µ B (x); за Ваді: µ
А?B (x) = max{µ
А (x)µ B (x), 1 – µ
А (x)}; )( )()( x ABA B xx µ ? µ=µ; за Віллмоттом: µ
А?B () = min{max{1 – µ
А (), µ B ()}, max{µ
А (), 1 – µ B (x), min{1 – µ
А (x), µ B (x)}}}; за Кліне-Дайєнісом-Лукасевичем-Рейхенбахом: µ
А?B (x) = 1 – – µ
А (x) + µ
А (x)µ B (x); за Ваді: µ
А?B (x) = max{µ
А (x)µ B (x), 1 – µ
А (x)}; )( )()( x ABA B xx µ ? µ=µ; за Кліне-Дайєнісом-Лукасевичем-Рейхенбахом: µ
А?B () = 1 – – µ
А (x) + µ
А (x)µ B (x); за Ваді: µ
А?B (x) = max{µ
А (x)µ B (x), 1 – µ
А (x)}; )( )()( x ABA B xx µ ? µ=µ; – µ
А () + µ
А ()µ B (); за Ваді: µ
А?B (x) = max{µ
А (x)µ B (x), 1 – µ
А (x)}; )( )()( x ABA B xx µ ? µ=µ; за Ваді: µ
А?B () = max{µ
А ()µ B (), 1 – µ
А ()}; )( )()( x ABA B xx µ ? µ=µ; за Ягером: )( )()( x ABA B xx µ ? µ=µ; за Гейнсом: ? ? ? µµ µ?µ =µ ? ;інакше),(/)( ),()(якщо,1 )( xx xx x AB BA BA за Гьоделем: ? ? ? µ µ?µ =µ ? ;інакше),( ),()(якщо,1 )( х хх x
В
ВА BAS-імплікація: µ
А?B (x) = S{1 – µ
А (x), 1 – µ B (x)}, де S — оператор S-норми; S-імплікація: µ
А?B (x) = S{1 – µ
А (x), 1 – µ B (x)}, де S — оператор S-норми; R-імплікація: µ
А?B (x) = sup{z ? [0, 1]| T(µ
А (x), z) ? µ B (x)}, T-імплікація: µ
А?B (x) = T{µ
А (x), µ B (x)}, де Т — оператор Т-норми.
Окремо виділяють нечіткі імплікації, які визначаються: за Заде: µ
А?B (x) = max{min{µ
А (x), µ B (x)}, (1 – µ
А (x))}; за Кліне-Дайєнісом: µ
А?B (x) = max{(1 – µ
А (x)), µ B (x)}; за Мамдані: µ
А?B (x) = min{µ
А (x), µ B (x)}; за Лукасевичем: µ
А?B (x) = min{1, 1 – µ
А (x) + µ B (x)} або µ
А?B (x) = max{0, µ
А (x) + µ B (x) – 1}; за Гогуеном: µ
А?B (x) = min{1, µ B (x) / µ
А (x)}, µ
А (x) > 0; за граничною сумою: µ
А?B (x) = min{1, µ
А (x) + µ B (x)}; за Ларсеном: µ
А?B (x) = µ
А (x)µ B (x); за Віллмоттом: µ
А?B (x) = min{max{1 – µ
А (x), µ B (x)}, max{µ
А (x), 1 – µ B (x), min{1 – µ
А (x), µ B (x)}}}; за Кліне-Дайєнісом-Лукасевичем-Рейхенбахом: µ
А?B (x) = 1 – – µ
А (x) + µ
А (x)µ B (x); за Ваді: µ
А?B (x) = max{µ
А (x)µ B (x), 1 – µ
А (x)}; за Ягером: )( )()( x ABA B xx µ ? µ=µ; за Гейнсом: ? ? ? µµ µ?µ =µ ? ;інакше),(/)( ),()(якщо,1 )( xx xx x AB BA BA за Гьоделем: ? ? ? µ µ?µ =µ ? ;інакше),( ),()(якщо,1 )( х хх x
В
ВА BA
Нечітке включення: ступінь включення нечіткої множини:
V(A, В) = (µ A (x
0 ) ? µ B (x
0 )) (µ A (x
1 ) ? µ B (x
1 )) …
Нечітка еквівалентність A ? B визначається за формулою: µ
А?B (x) = min{max{1 – µ
А (x), µ B (x)}, max{µ
А (x), 1 – µ B (x)}}.
Оператор збільшення нечіткості використовується для перетворення чітких множин у нечіткі та для збільшення нечіткості нечіткої множини. Нехай А — нечітка множина, Е — універсаль? Е визначені нечіткі множини K(х). Сукупність усіх K(х) називається ядром оператора збільшення нечіткості Н. Результатом дії оператора Н на нечітку множину А є µ
А?B () = min{max{1 – µ
А (), µ B ()}, max{µ
А (), 1 – µ B ()}}.
Оператор збільшення нечіткості використовується для перетворення чітких множин у нечіткі та для збільшення нечіткості нечіткої множини. Нехай А — нечітка множина, Е — універсаль? Е визначені нечіткі множини K(х). Сукупність усіх K(х) називається ядром оператора збільшення нечіткості Н. Результатом дії оператора Н на нечітку множину А є нечітка множина вигляду: )()(),(xKxKAH A U ? µ=, де µ
А (х)K(х) — добуток числа на нечітку множину.
Уведені вище операції над нечіткими множинами засновані на використанні операцій max і min. У теорії нечітких множин розглянуті питання побудови узагальнених, параметризованих операцій перетинання, об’єднання і доповнення, що дозволяють урахувати різноманітні значеннєві відтінки відповідних їм зв’язувань «ТА», «АБО», «НЕ». Один з підходів до узагальнення операцій перетинання й об’єднання полягає в їх визначенні в класі трикутних норм і конорм. V(A, В) = (µ A (x
0 ) ? µ B (x
0 )) ? (µ A (x
1 ) ? µ B (x
1 )) ?…
Нечітка еквівалентність A ? B визначається за формулою: µ
А?B (x) = min{max{1 – µ
А (x), µ B (x)}, max{µ
А (x), 1 – µ B (x)}}.
Оператор збільшення нечіткості використовується для перетворення чітких множин у нечіткі та для збільшення нечіткості нечіткої множини. Нехай А — нечітка множина, Е — універсальна множина і для всіх х ? Е визначені нечіткі множини K(х). Сукупність усіх K(х) називається ядром оператора збільшення нечіткості Н. Результатом дії оператора Н на нечітку множину А є нечітка множина вигляду: )()(),(xKxKAH Ex A U ? µ=, де µ
А (х)K(х) — добуток числа на нечітку множину.
Уведені вище операції над нечіткими множинами засновані на використанні операцій max і min. У теорії нечітких множин розглянуті питання побудови узагальнених, параметризованих операцій перетинання, об’єднання і доповнення, що дозволяють урахувати різноманітні значеннєві відтінки відповідних їм зв’язувань «ТА», «АБО», «НЕ». Один з підходів до узагальнення операцій перетинання й об’єднання полягає в їх визначенні в класі трикутних норм і конорм.
14.6. Нечіткі величини та числа
Нечітка величина — довільна нечітка множина A = {<µ
А (x)|x>}, що задана на множині дійсних чисел R.
Нечіткий інтервал — нечітка величина з опуклою функцією приналежності.
Нечітке число — нечітка величина, функція приналежності якої є опуклою та унімодальною. Нечітке число визначається як нечітка множина А на множині дійсних чисел R із функцією приналежності µ
А (х) ? [0, 1], де х ? R.
Нечітким нулем називають нечітке число, якщо його мода дорівнює 0.
Позитивним є нечітке число, якщо воно має суворо позитивний носій.
Негативним є нечітке число, якщо воно має суворо негативний носій.
Нечітка величина — довільна нечітка множина A = {<µ
А (x)|x>}, що задана на множині дійсних чисел R.
Нечіткий інтервал — нечітка величина з опуклою функцією приналежності.
Нечітке число — нечітка величина, функція приналежності якої є опуклою та унімодальною. Нечітке число визначається як нечітка множина А на множині дійсних чисел R із функцією приналежності µ
А (х) ? [0, 1], де х ? R.
Нечітким нулем називають нечітке число, якщо його мода дорівнює 0.
Позитивним є нечітке число, якщо воно має суворо позитивний носій.
Негативним є нечітке число, якщо воно має суворо негативний носій.
за Шарпом (стандартною логікою послідовностей R-SEQ):
Операції над нечіткими числами A та B із функціями приналежності µ A (x) та µ B (y), відповідно, в узагальненому вигля
ді визначаються як: A ? B = С = {z|µ C (z)}, де ? — символ операції, µ C (z) — функція приналежності результату, що визначається за формулою: {}{} )(),(minsup)(yxz BA yxz C µµ=µ =o або {}{} )(),(minsup)( yxz BA yxz C µµ=µ =o .
Як операцію замість символу ? можна задавати: + (додавання), — (віднімання), (множення), / (ділення), min (розширений мінімум), max (розширений максимум).
Нечіткі числа (L-R)-типу — це різновид нечітких чисел спеціального виду, що задаються за визначеними правилами з метою зниження обсягу обчислень при операціях над ними.
Функції приналежності нечітких чисел (L-R)-типу задаються за допомогою незростаючих на множині невід’ємних дійсних чисел функцій дійсної змінної L(х) та R(x), що задовольняють властивостям: L(–х) = L(х); R(–x) = R(x); L(0) = R(0). значається за формулою: )(),(minsup)(yxz BA yxz C µµ=µ =o або {}{} )(),(minsup)( yxz BA yxz C µµ=µ =o .
Як операцію замість символу ? можна задавати: + (додавання), — (віднімання), (множення), / (ділення), min (розширений мінімум), max (розширений максимум).
Нечіткі числа (L-R)-типу — це різновид нечітких чисел спеціального виду, що задаються за визначеними правилами з метою зниження обсягу обчислень при операціях над ними.
Функції приналежності нечітких чисел (L-R)-типу задаються за допомогою незростаючих на множині невід’ємних дійсних чисел функцій дійсної змінної L(х) та R(x), що задовольняють властивостям: L(–х) = L(х); R(–x) = R(x); L(0) = R(0). yxz =o{}{} )(),(minsup)( yxz BA yxz C µµ=µ =o .
Як операцію замість символу ? можна задавати: + (додавання), — (віднімання), (множення), / (ділення), min (розширений мінімум), max (розширений максимум).
Нечіткі числа (L-R)-типу — це різновид нечітких чисел спеціального виду, що задаються за визначеними правилами з метою зниження обсягу обчислень при операціях над ними.
Функції приналежності нечітких чисел (L-R)-типу задаються за допомогою незростаючих на множині невід’ємних дійсних чисел функцій дійсної змінної L(х) та R(x), що задовольняють властивостям: L(–х) = L(х); R(–x) = R(x); L(0) = R(0). )(),(minsup)( yxz BA yxz C µµ=µ =o .
Як операцію замість символу ? можна задавати: + (додавання), — (віднімання), (множення), / (ділення), min (розширений мінімум), max (розширений максимум).
Нечіткі числа (L-R)-типу — це різновид нечітких чисел спеціального виду, що задаються за визначеними правилами з метою зниження обсягу обчислень при операціях над ними.
Функції приналежності нечітких чисел (L-R)-типу задаються за допомогою незростаючих на множині невід’ємних дійсних чисел функцій дійсної змінної L(х) та R(x), що задовольняють властивостям: L(–х) = L(х); R(–x) = R(x); L(0) = R(0). ),( yxz =o
Як операцію замість символу ? можна задавати: + (додавання), — (віднімання), (множення), / (ділення), min (розширений мінімум), max (розширений максимум).
Нечіткі числа (L-R)-типу — це різновид нечітких чисел спеціального виду, що задаються за визначеними правилами з метою зниження обсягу обчислень при операціях над ними.
Функції приналежності нечітких чисел (L-R)-типу задаються за допомогою незростаючих на множині невід’ємних дійсних чисел функцій дійсної змінної L(х) та R(x), що задовольняють властивостям: L(–х) = L(х); R(–x) = R(x); L(0) = R(0).
Як операцію замість символу ? можна задавати: + (додавання), — (віднімання), (множення), / (ділення), min (розширений мінімум), max (розширений максимум).
Нечіткі числа (L-R)-типу — це різновид нечітких чисел спеціального виду, що задаються за визначеними правилами з метою зниження обсягу обчислень при операціях над ними.
Функції приналежності нечітких чисел (L-R)-типу задаються за допомогою незростаючих на множині невід’ємних дійсних чисел функцій дійсної змінної L(х) та R(x), що задовольняють властивостям: L(–х) = L(х); R(–x) = R(x); L(0) = R(0). тивостям: L(–х) = L(х); R(–x) = R(x); L(0) = R(0). ді визначаються як: A ? B = С = {z|µ C (z)}, де ? — символ операції, µ C (z) — функція приналежності результату, що визначається за формулою: {}{} )(),(minsup)(yxz BA yxz C µµ=µ =o або {}{} )(),(minsup)( ),( yxz BA yxz C µµ=µ =o .
Як операцію замість символу ? можна задавати: + (додавання), — (віднімання), (множення), / (ділення), min (розширений мінімум), max (розширений максимум).
Нечіткі числа (L-R)-типу — це різновид нечітких чисел спеціального виду, що задаються за визначеними правилами з метою зниження обсягу обчислень при операціях над ними.
Функції приналежності нечітких чисел (L-R)-типу задаються за допомогою незростаючих на множині невід’ємних дійсних чисел функцій дійсної змінної L(х) та R(x), що задовольняють властивостям: L(–х) = L(х); R(–x) = R(x); L(0) = R(0).
14.7. Характеристики нечітких відношень
Нечітке n-арне відношення визначається як нечітка підмно
жина R на Е, що приймає свої значення в М, де Е = Е
1 Е
2 …Е n — прямий добуток універсальних множин, М — деяка множина приналежностей (наприклад, М = [0; 1]).
У випадку n = 2 і M = [0, 1], бінарним нечітким відношенням R між множинами X = E
1 і Y = E
2 буде називатися функція R: (X, Y) ? [0, 1], що ставить у відповідність кожній парі елементів (x, y) на приналежностей (наприклад, М = [0; 1]).
У випадку n = 2 і M = [0, 1], бінарним нечітким відношенням R між множинами X = E
1 і Y = E
2 буде називатися функція R: (X, Y) ? [0, 1], що ставить у відповідність кожній парі елементів (x, y)
У випадку n = 2 і M = [0, 1], бінарним нечітким відношенням R між множинами X = E
1 і Y = E
2 буде називатися функція R: (X, Y) ? [0, 1], що ставить у відповідність кожній парі елементів (x, y) між множинами X = E
1 і Y = E
2 буде називатися функція R: (X, Y) ? [0, 1], що ставить у відповідність кожній парі елементів (x, y)
У випадку, коли X = Y, тобто X і Y збігаються, нечітке відносумів Е = Е
1 Е
2 … Е n .
Використовують такі cпособи задавання нечітких відношень: жина R на Е, що приймає свої значення в М, де Е = Е
1 ? Е
2 ? …? Е n — прямий добуток універсальних множин, М — деяка множина приналежностей (наприклад, М = [0; 1]).
У випадку n = 2 і M = [0, 1], бінарним нечітким відношенням R між множинами X = E
1 і Y = E
2 буде називатися функція R: (X, Y) ? [0, 1], що ставить у відповідність кожній парі елементів (x, y) ? X ? Y величину µ R (х, y) ? [0; 1].
Нечітке відношення на X ? Y записується у вигляді: x ? X, y ? Y: x R y.
У випадку, коли X = Y, тобто X і Y збігаються, нечітке відношення R: X ? X ? [0,1] називається нечітким відношенням на множині Х.
Пустим нечітким відношенням ? називають відношення, що не містить жодного кортежу — довільного набору впорядкованих елементів.
Повним нечітким відношенням є декартовий добуток універсумів Е = Е
1 ? Е
2 ? …? Е n .
Використовують такі cпособи задавання нечітких відношень: ? у формі списку з явним перелічуванням усіх кортежів нечіткого відношення та відповідних їм значень функції приналеж-
ності: R = {(w
1 , R (w
1 )), …, (w r , R (w r ))}, де w i = <x
1 , x
2 , …, x n > — i-ий кортеж елементів цього відношення, а r — число кортежів нечіткого відношення R; ? орієнтованим нечітким графом G = (V, E, µ G ), що може бути заданий у вигляді двох звичайних скінченних множин: множини вершин нечіткого графа V = {v
1 , v
2 , …, v n } та множини дуг нечіткого графа E = {e
1 , e
2 , …, e m }, а також певної функції приналежності дуг даному нечіткому графу []
1;0:?µE G .
Нечіткий предикат P(<x
1 , x
2 , …, x n >) — деяке відображення з декартового добутку універсумів Е = Е
1 ? Е
2 ? …? Е n у певну цілковито впорядковану множину значень істинності, зокрема в інтервал [0; 1]. При цьому змінні x
1 , x
2 , …, x n називають предметними змінними нечіткого предиката, а декартовий домножини вершин нечіткого графа V = {v
1 , v
2 , …, v n } та множини дуг нечіткого графа E = {e
1 , e
2 , …, e m }, а також певної функції приналежності дуг даному нечіткому графу []
1;0:?µE G .
Нечіткий предикат P(<x
1 , x
2 , …, x n >) — деяке відображення з декартового добутку універсумів Е = Е
1 ? Е
2 ? …? Е n у певну цілковито впорядковану множину значень істинності, зокрема в інтервал [0; 1]. При цьому змінні x
1 , x
2 , …, x n називають предметними змінними нечіткого предиката, а декартовий додуг нечіткого графа E = {e
1 , e
2 , …, e m }, а також певної функції приналежності дуг даному нечіткому графу []
1;0:?µE G .
Нечіткий предикат P(<x
1 , x
2 , …, x n >) — деяке відображення з декартового добутку універсумів Е = Е
1 ? Е
2 ? …? Е n у певну цілковито впорядковану множину значень істинності, зокрема в інтервал [0; 1]. При цьому змінні x
1 , x
2 , …, x n називають предметними змінними нечіткого предиката, а декартовий до
Нечіткий предикат P(<x
1 , x
2 , …, x n >) — деяке відображення з декартового добутку універсумів Е = Е
1 ? Е
2 ? …? Е n у певну цілковито впорядковану множину значень істинності, зокрема в інтервал [0; 1]. При цьому змінні x
1 , x
2 , …, x n називають предметними змінними нечіткого предиката, а декартовий доз декартового добутку універсумів Е = Е
1 Е
2 … Е n у певну цілковито впорядковану множину значень істинності, зокрема в інтервал [0; 1]. При цьому змінні x
1 , x
2 , …, x n називають предметними змінними нечіткого предиката, а декартовий добуток універсумів Е = Е
1 Е
2 … Е n — ПРГ нечіткого предиката. ності: R = {(w
1 , µ R (w
1 )), …, (w r , µ R (w r ))}, де w i = <x
1 , x
2 , …, x n > — i-ий кортеж елементів цього відношення, а r — число кортежів нечіткого відношення R; ? аналітично у формі певного математичного виразу для відповідної функції приналежності цього відношення.
Нечітке бінарне відношення може бути подане: ? графічно у вигляді певної поверхні або сукупності окремих точок у тривимірному просторі, при цьому вісі абсциси та ординати будуть відповідати універсумам E
1 та E
2 , а вісь аплікати — інтервалу [0; 1]; ? у матричній формі: строки матриці нечіткого відношення при цьому відповідають першим, а стовпці — другим елементам кортежів, елементами матриці є відповідні значення функції приналежності нечіткого відношення; ? орієнтованим нечітким графом G = (V, E, µ G ), що може бути заданий у вигляді двох звичайних скінченних множин: множини вершин нечіткого графа V = {v
1 , v
2 , …, v n } та множини дуг нечіткого графа E = {e
1 , e
2 , …, e m }, а також певної функції приналежності дуг даному нечіткому графу []
1;0:?µE G .
Нечіткий предикат P(<x
1 , x
2 , …, x n >) — деяке відображення з декартового добутку універсумів Е = Е
1 ? Е
2 ? …? Е n у певну цілковито впорядковану множину значень істинності, зокрема в інтервал [0; 1]. При цьому змінні x
1 , x
2 , …, x n називають предметними змінними нечіткого предиката, а декартовий добуток універсумів Е = Е
1 ? Е
2 ? …? Е n — ПРГ нечіткого предиката.
Характеристиками нечітких відношень є: носій нечіткого ртеж <x
1 , x
2 , …, x n >, замість А використовують відношення R, а замість E — декартовий добуток E
1 ? E
2 ? … ? E n .
Модою нечіткого відношення R є кортеж w m ? E
1 ? E
2 ? … ? E n , якщо цей кортеж є точкою локального максимуму відповідної функції приналежності µ R (<x
1 , x
2 , …, x n >), тобто виконується умова: w m = arg max{µ R (<x
1 , x
2 ,…,x n >)}.
Скінченним є нечітке відношення, якщо його носій є скінченним відношенням. функції приналежності µ R (<x
1 , x
2 , …, x n >), тобто виконується умова: w m = arg max{µ R (<x
1 , x
2 ,…,x n >)}.
Скінченним є нечітке відношення, якщо його носій є скінченним відношенням. умова: w m = arg max{R (<x
1 , x
2 ,…,x n >)}.
Скінченним є нечітке відношення, якщо його носій є скінченним відношенням. но до нечітких множин: при цьому замість x використовують кортеж <x
1 , x
2 , …, x n >, замість А використовують відношення R, а замість E — декартовий добуток E
1 ? E
2 ? … ? E n .
Модою нечіткого відношення R є кортеж w m ? E
1 ? E
2 ? … ? E n , якщо цей кортеж є точкою локального максимуму відповідної функції приналежності µ R (<x
1 , x
2 , …, x n >), тобто виконується умова: w m = arg max{µ R (<x
1 , x
2 ,…,x n >)}.
Скінченним є нечітке відношення, якщо його носій є скінченним відношенням.
Рефлексивним є нечітке відношення R на X ? X, якщо для
будь-якого x ? X виконується рівність µ R (x, x) = 1. У випадку кін-будь-якого x ? X виконується рівність µ R (x, x) = 1. У випадку кін-
відношення, відношення ?-рівня, висота нечіткого відношення, нормальність, субнормальність, ядро, найближче чітке відношення, межі, точки переходу, опуклість, що визначаються подіб
Антирефлексивним є нечітке відношення R на X ? X, якщо для
будь-якого x ? X виконується рівність µ R (x, x) = 0. У випадку кінцевої множини X усі елементи головної діагоналі матриці R дорівнюють 0. ? Y, якщо для будьякої пари (x, y) ? X ? Y виконується рівність µ R (x, y) = µ R (y, x). Матриця симетричного нечіткого відношення, заданого на кінцевій множині, є симетричною. будь-якого x ? X виконується рівність µ R (x, x) = 0. У випадку кінцевої множини X усі елементи головної діагоналі матриці R дорівнюють 0.
Симетричним є нечітке відношення R на X ? Y, якщо для будьякої пари (x, y) ? X ? Y виконується рівність µ R (x, y) = µ R (y, x). Матриця симетричного нечіткого відношення, заданого на кінцевій множині, є симетричною.
Асиметричним є нечітке відношення R на X ? Y, якщо для будьбудь-якої пари (x, y) ? X ? Y виконується рівність: RRR?o. Іншими словами, для будь-якої пари (x, y) ? X ? Y ступінь виконання відношення R має бути не менше за ступінь виконання відношення RRo.
якої пари (x, y) ? X ? Y справедливий вираз: µ R (x, y) µ R (y, x) = 0.
Зворотними є нечіткі відношення R та R –1 на X ? Y, якщо для якої пари (x, y) ? X ? Y справедливий вираз: µ R (x, y) ? µ R (y, x) = 0.
Зворотними є нечіткі відношення R та R –1 на X ? Y, якщо для ),(),(
1 xyyx R R ? µ=µ.
Транзитивним є нечітке відношення R на X ? Y, якщо ),(),(
1 xyyx R R ? µ=µ.
Транзитивним є нечітке відношення R на X ? Y, якщо ,...2,1= n разів n U ,...2,1= = n n RR , де
43421 ooo разів ... n n RRRR=. U ,...2,1= = n n RR , де
43421 ooo разів ... n n RRRR=.
Транзитивним замиканням нечіткого відношення R є відношення: U ,...2,1= = n n RR , де
43421 ooo разів ... n n RRRR=.
14.8. Операції над нечіткими відношеннями
