4.4. МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ З НАСИЧЕННЯМ

Експоненціальні криві використовують для опису процесів, які лий час розвиватися за експонентою, прискорений розвиток відбувається лише на обмеженому історичному проміжку часу. Для багатьох динамічних процесів характерний ефект насичення, коли з плином часу темпи зростання (зниження) уповільнюються, потім стабілізуються і врешті-решт рівень наближається до певної межі (питомі витрати ресурсів, споживання продуктів харчування на душу населення тощо). Для їх описування використовують клас кривих, що мають горизонтальну асимптоту К ? 0. Серед них модифікована експонента, логістична крива (Перла

швидко зростають або спадають. Коли b > 1, функція зростає до нескінченності, коли b < 1, — спадає до нуля. Очевидно, економічні процеси не можуть тривашвидко зростають або спадають. Коли b > 1, функція зростає до нескінченності, коли b < 1, — спадає до нуля. Очевидно, економічні процеси не можуть трива

—Ріда), крива Гомпертца.

Модифікована експонента відрізняється від простої експоненти тим, що містить додаткову складову К:

Y t = К + ab t , Y t = К + ab t , де параметр а — це різниця між ординатою Y t при t = 0 і асимтотою К; коли а < 0, асимптота перебуває вище кривої, коли а > 0 — асимптота нижче кривої;а < 0, асимптота перебуває вище кривої, коли а > 0 — асимптота нижче кривої;де параметр а — це різниця між ординатою Y t при t = 0 і асимтотою К; коли а < 0, асимптота перебуває вище кривої, коли а > 0 — асимптота нижче кривої;

параметр b характеризує співідношення послідовних приростів ординати; за умови рівномірного розподілу ординат по осі часу ці співвідношення сталі:

.

1 const YY YY b tt tt = ? ? = ? + .

1 const YY YY b tt tt = ? ? = ? + .

1

1 const YY YY b tt tt = ? ? = ? +

Модифіковану експоненту найчастіше використовують для опису економічних процесів, нарощення яких відбувається з уповільненням і обмежене згори (рис. 4.18).y t

К

Y t = K+ab t а Y t = K+ab t

Рис. 4.18. Модифiкована експонента при а < 0 і b < 1 t

Рис. 4.18. Модифiкована експонента при а < 0 і b < 1

Отже, модифікована експонента описує процеси, на які діє певний обмежувальний фактор, і вплив цього фактора зростає зі збільшенням Y t . Якщо обмежувальний фактор впливає лише після певного моменту, до якого процес розвивався за експоненціальним законом, то такий процес найкраще апроксимується S-подібною кривою з точкою перегину, в якій прискорене зростання змінюється уповільненням. Наприклад, попит на новий товар попервах незначний, потім після визнання споживачами він стрімко зростає, але з насиченням ринку темпи зростання уповільнюються, згасають. Попит стабілізується на певному рівні. Аналогічні фази розвитку мають процеси нововведень та винаходів, ефективність використання ресурсів тощо.

По суті S-подібні криві описують два послідовні процеси: один з прискоренням розвитку, другий — з уповільненням темпів і переходом до насичення. Точка перегину визначає кульмінаційний момент розвитку, асимптота — межу розвитку процесу. Схематично S-подібний процес можна поділити на дві приблизно однакові частини АС і СВ (рис. 4.19). До точки С прирости ординати нижчі за пряму АВ, що пояснюється опором середовища (наприклад, покупці не готові сприйняти інновацію), але повільно прискорюються. Ближче до точки С приріст стає максимальним, і S-крива перетинає пряму АВ. Поблизу асимптоти прирости уповільнюються і поступово згасають.

Рис. 4.19. S-подібна крива

Серед S-подібних кривих, що описують процеси з насиченням, передусім ринкових процесів, поширена логістична крива. Найчастіше її записують у вигляді

Якщо показник процесу — частка, що змінюється в межах від 0 до 1, то формула логістичної функції спрощується: де е — основа натурального логарифма; a, b — параметри кривої.

У страховій і демографічній статистиці використовують іншу S-подібну функцію — криву Гомпертца:

Крива Гомпертца зводиться до модифікованої експоненти логарифмуванням

lg Y t = lg K + b t lg a, тож характерними для неї є постійні відношення приростів ординат у логарифмах. lg Y t = lg K + b t lg a, тож характерними для неї є постійні відношення приростів ординат у логарифмах.

Отже, обидві криві — логістична крива і крива Гомпертца — описують динамічні процеси, у яких відношення приростів до ординати змінюються. Відмінність між ними в тому, що в кривої Гомпертца сталі відношення перших різниць логарифмів до рівновіддалених одна від одної ординат, а в логістичній кривій сталі відношення перших різниць обернених значень ординат. При цьо-

му логістична крива центрально симетрична відносно точки перегину, а крива Гомпертца — асиметрична. Обидві криві зводяться до модифікованої експоненти за допомогою певних перетворень.

Оцінити параметри функцій з насиченням порівняно з поліномами й експонентами значно складніше. Тут можливі два варіанти.

За першим варіантом асимптота у вигляді нормативу, стандарту тощо визначається апріорі — К*. Тоді модифікована експонента набуває вигляду як і параметри поліномів, можна оцінити методом найменших квадратів, використовуючи процедури модуля Multiple Regression (див. підрозд. 6.4). Прогноз і його довірчі межі визначаються традиційно, хоча довірчі межі прогнозу за кривими з насиченням мають умовний характер. За другим варіантом асимптота невідома, тож необхідно визначити всі три параметри: К, a, b. У такому разі параметри модифікованої експоненти визначаються методами нелінійного оцінювання, які вимагають ітеративної процедури мінімізації відхилень (y t – Y t ).

(Y t – К*) = ab t , тобто зводиться до експоненціальної кривої. Замінивши (Y t – К*) на z і прологарифмувавши рівняння, дістанемо лінійну функцію логарифмів lg z = lg a + t lg b. Аналогічно приводиться до лінійного виду логістична функt , яка при заміні (1/Y t – К*) на z в логарифмах набуває такого ж вигляду lg z = lg a + t lg b. Параметри зведених до лінійного виду функцій, ція 1/Y t = К* + ab t , яка при заміні (1/Y t – К*) на z в логарифмах набуває такого ж вигляду lg z = lg a + t lg b. Параметри зведених до лінійного виду функцій, ж вигляду lg z = lg a + t lg b. Параметри зведених до лінійного виду функцій, (Y t – К*) = ab t , тобто зводиться до експоненціальної кривої. Замінивши (Y t – К*) на z і прологарифмувавши рівняння, дістанемо лінійну функцію логарифмів lg z = lg a + t lg b. Аналогічно приводиться до лінійного виду логістична функція 1/Y t = К* + ab t , яка при заміні (1/Y t – К*) на z в логарифмах набуває такого ж вигляду lg z = lg a + t lg b. Параметри зведених до лінійного виду функцій,

В особливих випадках невідомі параметри функцій з насиченням можна розрахувати наближено досить простими методами. До таких спрощених методів належить, зокрема, правило трьох сум. Суть його полягає в тому, що часовий ряд поділяється на три періоди однакової довжини m, для кожного періоду визначають суми: ?

1 у, ?

2 у, ?

3 у, які, власне, є базою розрахунку параметрів функції. За цим правилом спершу визначається параметр b, а потім два інші — a і К. Формули розрахунку параметрів модифікованої експоненти мають такий вигляд:

Оскільки логістична крива і крива Гомпертца за допомогою певних перетворень зводяться до модифікованої експоненти, розглянемо порядок розрахунку параметрів модифікованої експоненти методом трьох сум. У табл. 4.6 наведено поквартальні дані про виробництво синтетичних волокон за три роки (m=4).

Таблиця 4.6

ДИНАМІКА ВИРОБНИЦТВА СИНТЕТИЧНИХ ВОЛОКОН, тис. т

Квартал	1-й рік	2-й рік	3-й рік

122,435,854,5

2	24,8	40,4	55,8
3	26,0	47,6	56,2

428,556,255,7

Разом

101,7

180,0

222,2

ватися і, наближаючись до рівня насиченості (67,9 тис. т), стабілізуються.

У системі Statistica розрахунок параметрів S-подібних кривих можна здійснити у модулі Nonlinear Estimation

— нелінійне оцінювання, скориставшись процедурою User-specified regression

— визначення виду регресії користувачем самостійно (рис. 4.20).

Рис. 4.20. Структура модуля Nonlinear Estimation

Як приклад застосуємо логістичну криву до даних ряду динаміки населення мегаполіса (табл. 4.7). У діалоговому вікні Estimated function & loss function задамо функціональний вид кривої: де v2 — чисельність населення мегаполіса; v1 — фактор часу t;

Таблиця 4.7

ДИНАМІКА ЧИСЕЛЬНОСТІ НАСЕЛЕННЯ МЕГАПОЛІСА

Рік	Млн осіб	Рік	Млн осіб	Рік	Млн осіб
1960	3,48	1980	4,78	2000	6,14
1965	3,86	1985	5,13	2005	6,37
1970	4,17	1990	5,52	2010	7,04
1975	4,56	1995	5,90

Оцінювання параметрів моделі здійснимо методом Quasi-Newton. Щодо функції втрат, то можна обмежитися залишковою девіатою, яка визначається системою за умовчуванням. Після завершення ітераційної процедури оцінювання параметрів за командою ОК відкривається вікно Results. Значення коефіцієнта копараметрів — Parameter estimates наведено в табл. 4.8.

реляції R = 0,997 свідчить про високу апроксимуючу властивість моделі. Оцінки реляції R = 0,997 свідчить про високу апроксимуючу властивість моделі. Оцінки

Таблиця 4.8

ОЦІНКИ ПАРАМЕТРІВ ЛОГІСТИЧНОЇ МОДЕЛІ

Model: v2=b1/(1+b2*exp(-b3*v1)) (Population.sta)
Final loss: ,0723 R=,997 Variance explained: 99,428%
	B1	B2	B3
Estimate	12,37	2,79	0,114

Згідно з даними приріст населення мегаполіса за п’ятиріччя становить у середньому 11,4 %, наближаючись до межі 12,37 млн осіб.

Отже, клас моделей динаміки досить широкий, і вони описують різні процеси розвитку. Вибір типу моделі в конкретному дослідженні ґрунтується передусім на теоретичному аналізі специфіки процесу, його внутрішньої структури, взаємозв’язків з іншими процесами. На основі такого аналізу в загальних рисах визначається характер динаміки (рівномірний, рівноприскорений, з насиченням тощо) й окреслюється коло функцій, які спроможні апроксимувати цей процес.

Серйозною підмогою у виборі конкретної моделі слугують формальні методи, скажімо, аналіз послідовних різниць. Сталість різниць р-го порядку розглядається як симптом того, що процес описується поліномом р-го порядку. Якщо

приблизно однакові різниці 1-го порядку ? t = t – y t–1 , використовують лінійнийприблизно однакові різниці 1-го порядку ? t = y t – y t–1 , використовують лінійний

тренд, якщо однакові різниці 2-го рорядку ?" t = ? t – ? t-1 , — параболу і т. д. Певні складнощі можуть виникнути при виборі експоненти, адже S-подібна крива

тренд, якщо однакові різниці 2-го рорядку ?" t = ? t – ? t-1 , — параболу і т. д. Певні складнощі можуть виникнути при виборі експоненти, адже S-подібна крива

до точки перегину описує експоненціальний тренд, а сама точка перегину може бути за межами динамічного ряду. Отже, якщо межа насичення теоретично можлива і процес у майбутньому може згасати або існують певні обмеження для процесу (правові, матеріальних ресурсів, виробничих потужностей тощо), то перевага віддається S-подібній кривій. У табл. 4.9 наведено основні апріорні тести, за якими визначається тип моделі для конкретного динамічного процесу.

Таблиця 4.9

АПРІОРНІ ТЕСТИ ВИБОРУ ФУНКЦІОНАЛЬНОГО ВИДУ ТРЕНДОВОЇ МОДЕЛІ

ХарактеристикаВластивості характеристикВид трендової моделі

? t	Приблизно однакові	Поліном 1-го ступеня
? t	Лінійно змінюються	Поліном 2-го ступеня
? t / y t–1	Приблизно однакові	Експонента
lg? t	Лінійно змінюються	Модифікована експонента
lg? t / (y t–1 ) 2	Лінійно змінюються	Логістична крива
lg? t / y t–1	Лінійно змінюються	Крива Гомпертца

Оскільки первинним рядам динаміки властива значна варіація рівнів y t ,то аналіз послідовних різниць більш коректно проводити на основі рядів ковзних середніх. При зворотному напрямі тенденції різниці розраховуються починаючи з кінця. За наявності від’ємних різниць логарифмування неможливе, тому необхідно збільшити інтервал згладжування ковзних середніх.

Очевидно, що клас трендових моделей не вичерпується розглянутими вище. Можна експериментувати з перетвореннями часового ряду практично необмеженої складності, включаючи кусочно-лінійні сплайни з точками розриву, на різних ділянках ряду одночасно підганяти різні функції і т. ін. Проте в цьому немає потреби, оскільки реалізовані в системі Statistica методи аналізу й моделювання динаміки спроможні описати майже всі можливі варіанти розвитку соціально-економічних процесів.

РЕЗЮМЕ

Соціально-економічні процеси динамічні і закономірності їхнього розвитку найповніше виявляються в часових рядах. Зміни рівнів часових рядів умовно поділяють на закономірні і випадкові. Закономірні зміни відбуваються під впливом факторів еволюційного й осцилятивного характеру, випадкові є результатом дії різних короткострокових факторів. Часовий ряд, що описує соціально-економічний процес, за характером нестаціонарний і може поєднувати кілька компонент, зокрема: тренд, циклічні і сезонні коливання, випадкові флуктуації. Згладжування та декомпозиція часових рядів слугують методологічною базою аналізу та прогнозування динаміки.

Важливим завданням моделювання динамічних процесів є визначення тренда — основної тенденції розвитку. У дослідженнях часових рядів тенденцію

подають у вигляді плавної кривої і описують певною функцією часу Y t = f (t), де t = 1, 2, …, n

— фактор часу. t = 1, 2, …, n

— фактор часу. подають у вигляді плавної кривої і описують певною функцією часу Y t = f (t), де t = 1, 2, …, n

— фактор часу.

У практиці статистичного моделювання соціально-економічних процесів використовують переважно функції, параметри яких мають конкретну інтерпретацію залежно від характеру динаміки. Найбільш поширені поліноми (многочлени), різного роду експоненти та логістичні криві. Вони формують клас так званих кривих зростання.

Клас кривих досить широкий, вони описують різні процеси розвитку. Вибір виду моделі в конкретному дослідженні ґрунтується передусім на теоретичному аналізі специфіки процесу, його внутрішньої структури, взаємозв’язків з іншими процесами. На основі такого аналізу в загальних рисах визначається характер динаміки (рівномірний, рівноприскорений, з насиченням тощо) й окреслюється коло функцій, які спроможні апроксимувати цей процес.

Так, лінійна модель відображає середній абсолютний приріст b, тобто арифметичну прогресію, парабола другого порядку — описує випадки зростання абсолютного приросту на константу 2с, а третього порядку — S-подібну криву з двома точками перегину.

Процеси, характерною властивістю динаміки яких є стабільна відносна швидкість (темпи приросту), описують експонентою. Алгебраїчно експонента може набувати різних еквівалентних форм, які зводяться до лінійного вигляду заміною y t десятковими або натуральними логарифмами.

Виявлену тенденцію можна продовжити за межі динамічного раду. Принципова можливість екстраполяції ґрунтується на припущенні, що умови, які визначали тенденцію в минулому, не зазнають істотних змін у майбутньому.

Свої особливості має моделювання динамічних процесів з ефектом насичення, коли темпи зростання (зниження) уповільнюються і рівень наближається до певної межі. Для їх опису використовують клас кривих, що мають горизонтальну асимптоту К ? 0. Серед них модифікована експонента, крива Перла

—Ріда (логістична), крива Гомпертца. Модифікована експонента описує процеси, на які діє певний обмежувальний фактор, і вплив цього фактора зростає зі збільшенням рівнів ряду. Якщо обмежувальний фактор впливає лише після певного моменту, до якого процес розвивався за експоненціальним законом, то такий процес найкраще апроксимується S-подібною кривою з точкою перегину, в якій прискорене зростання змінюється уповільненням.

Отже, клас моделей динаміки досить широкий, і вони описують різні процеси розвитку. Вибір виду моделі в конкретному дослідженні ґрунтується передусім на теоретичному аналізі специфіки процесу, його внутрішньої структури, взаємозв’язків з іншими процесами. На основі такого аналізу в загальних рисах визначається характер динаміки (рівномірний, рівноприскорений, з насиченням тощо) й окреслюється коло функцій, які спроможні апроксимувати цей процес. Особливості часових рядів досліджують різними методами, серед них:

— графічний метод для описування поведінки ряду;

— згладжування ряду, яке призначене для трансформації ряду з метою видалення високочастотних чи сезонних коливань;

— декомпозиція ряду на складові, які залежать від тренда, сезонних і циклічних коливань;

— аналіз випадкової складової;

— інтегровані моделі авторегресії й ковзної середньої для опису і прогнозування складних за внутрішньою структурою процесів.

Сучасні методи статистичного прогнозування надають змогу з високою точністю прогнозувати динамічні процеси майже будь-якого характеру.

ПИТАННЯ І ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОПІДГОТОВКИ

1. Як формується закономірність розвитку?

2. Поясніть сутність і наведіть приклади стаціонарних і нестаціонарних часових рядів.

3. Назвіть складові динамічного процесу.

4. Як перевірити наявність (відсутність) у часовому ряду періодичних коливань?

5. Поясніть способи взаємодії окремих компонент в адитивних, мультиплікативних та змішаних моделях.

6. За характером поєднання складових динамічного процесу вирізняють чотири типи часових рядів. Назвіть ці типи, дайте їм характеристику.

7. Обґрунтуйте послідовність етапів дослідження динамічних процесів.

8. Якщо для часового ряду характерні приблизно однакові абсолютні прирости, яку функцію слід застосувати для його прогнозування?

9. Динаміка перевезення вантажів залізницею (млн т) описується лінійним чі межі прогнозу з імовірністю 0,95.

трендом Y = 14,9 + 0,9 t, де t =1, 2, …7, зі стандартною похибкою 0,275. Визначте прогнозний обсяг перевезень вантажів на період попередження v =1 та довіртрендом Y = 14,9 + 0,9 t, де t =1, 2, …7, зі стандартною похибкою 0,275. Визначте прогнозний обсяг перевезень вантажів на період попередження v =1 та довір

10. Якщо для часового ряду характерні приблизно однакові темпи приросту, яку функцію слід застосувати для його прогнозування?

11. Динаміка виробництва збірних залізобетонних конструкцій і деталей (млн

м ) за останні сім років описується експонентою Y t = 20,1е

0,04t . Поясніть зміст параметрів моделі і визначте прогнозний рівень виробництва на наступний рік. м ) за останні сім років описується експонентою Y t = 20,1е

0,04t . Поясніть зміст параметрів моделі і визначте прогнозний рівень виробництва на наступний рік.

12. Поясніть зміст параметрів параболи, окресліть сферу її використання.

13. Чому декомпозицію часових рядів розглядають як методологічну базу прогнозування динаміки соціально-економічних процесів?

14. Яку функцію в аналізі часових рядів виконує коефіцієнт автокореляції?

15. Поясніть суть трансформації первинного часового ряду та її роль у статистичному моделюванні та прогнозуванні динамічних процесів.

16. Як визначається вплив тренд-циклічної компоненти в адитивній, мультиплікативній і змішаних моделях?

17. У чому полягає особливість моделювання процесів із насиченням?

18. Поясніть зміст параметрів модифікованої експоненти.

19. Наведіть приклади соціально-економічних процесів, які описуються логістичною кривою.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

4.1. Динаміка надходження страхових платежів від добровільного майнового страхування за останні сім років характеризується даними:

№ року	1	2	3	4	567
Млн грн	137,6	141,3	144,8	145,7	150,4	149,5	150,8

Опишіть тенденцію ряду поліномом першого ступеня, поясніть зміст параметрів. Визначте прогнозні рівні надходження страхових платежів на наступного тренда реальному процесу поширення добровільного майнового страхування.

ні два роки (v = 1, 2) і стандартну похибку прогнозу. Оцініть автокореляцію залишкових величин з лагом p = І, зробіть висновки про адекватність лінійні два роки (v = 1, 2) і стандартну похибку прогнозу. Оцініть автокореляцію залишкових величин з лагом p = І, зробіть висновки про адекватність ліній

4.2. Динаміка експорту олії за останні сім років характеризується даними:

№ року	12		3	4	5	6789
Тис. т	86	92	97	106	115	128	142	154	170

Опишіть тенденцію ряду експонентою, поясніть зміст параметрів. Визначте похибку прогнозу. Оцініть автокореляцію залишкових величин з лагом І, зробіть висновки про адекватність експоненти реальному процесу нарощення експорту олії.

прогнозні рівні експорту олії на період попередження v = 1, 2, 3 і стандартну прогнозні рівні експорту олії на період попередження v = 1, 2, 3 і стандартну

4.3. Динаміка підключення абонентів до мережі Iнтернет характеризується даними:

Рік	123456789
Кількість абонентів, тис.	364	04	55	36	27	57	98	38	4

Використовуючи правило трьох сум, опишіть динаміку підключення абонентів до мережі Iнтернет модифікованою експонентою; поясніть зміст параметрів.

4.4. Динаміка витрат на ведення мисливського господарства характеризується даними:

№ року	123			4	5	6	7
Млн грн	8,2	9,0	13,8	21,4	36,6	40,6	41,0

Опишіть динаміку витрат на ведення мисливського господарства логістичною кривою, поясніть зміст параметрів.

4.5. Динаміка експорту транспортних послуг країни характеризується даними, млрд дол. США:

	Транспорт

Рік

МорськийПовітрянийЗалізничний

1

54,1

24,2

1. За наведеними даними опишіть тенденції експорту кожного виду транспортних послуг. Вибір форми трендових моделей здійсніть в середовищі MS Excel.

2. Поясніть зміст параметрів трендових моделей. Припускаючи, що виявлені тенденції збережуться, визначте очікувані обсяги експорту транспортних послуг на найближчі три роки.

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА

1. Боровиков В. П. Statistica® — Статистический анализ и обработка данных в среде Windows® / В. П. Боровиков, И. П. Боровиков. — М. : Информ.-издат. дом «Филинъ», 1998. — С. 431—447.

2. Боровиков В. П. Прогнозирование в системе Statistica в среде Windows / В. П. Боровиков, Г. И. Ивченко. — М. : Финансы и статистика, 2000. — 384 с.

3. Єріна А. М. Статистичне моделювання та прогнозування : навч. посібн. / А. М. Єріна. — К. : КНЕУ, 2001. — 170 с.

4. Тюрин Ю. Н. Статистический анализ данных на компьютере / Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров ; под ред. В. Э. Фигурнова. — М. : ИНФРА-М. 1998. — С. 346—401.

5. Халафян А. А. Statistica 6. Статистический анализ данных : учебник / А. А. Халафян. — М. : ООО «Бином-Пресс», 2007.

— С. 431—447.

6. Четыркин Е. М. Статистические методы прогнозирования / Е. М. Четыркин. — М. : Статистика, 1977. — С. 3—62; 109

—199.

7. StatSoft. Inc. (2001): Электронный учебник по статистике. — Режим доступа : http://www. StatSoft.ru