Розглянемо низку так званих площинних (попередні були просторові) математичних моделей, які беруть свій початок від відомої системи рівнянь Вольтерра
—Лотки, отриманої для різних за змістом наукових проблем (хімічної кінетики, Лотка, 1925 р.; динаміки біологічних спільнот, 1926 р., Вольтерра). Проте структура моделей виявилась однаковою, що, очевидно, вперше засвідчило універсальність математичних моделей у пізнанні навколишнього світу, єдність його механізмів. Остаточно цю тезу було сформульовано наприкінці ХХ ст.
3.3.1. Диференціальна система рівнянь Вольтерра-Лотки (модель «жертва-хижак»)
Оскільки вона плідно використовується в багатьох сферах наукових досліджень, зокрема в економічній, то зупинимось на деяких її аспектах (отриманих гіпотезах, нормалізації рівнянь, модифікації тощо) принципового для моделювання характеру.
Модель «жертва — хижак», відтворюючи антагоністичні взаємини між учасниками подій, має вигляд: де змінні фіцієнт а характеризуєшвидкість
— коефіцієнт переробки споживаної хижаком біомаси жертви у власну.
В основу математичної моделі (3.6) покладено гіпотези:
1) за відсутності хижака популяція жертви розмножується згідно рівнянням Мальтуса;
2) популяція хижака експоненційно вимирає за відсутності жертви;
3) сумарна кількість жертв, споживана хижаком за одиницю часу, лінійно залежить від щільності (кількості) жертви і хижака;
4) споживана хижаком біомаса жертв зі сталим коефіцієнтом переробляється в біомасу хижака;
5) додаткові фактори впливу на динаміку популяцій не спостерігаються або ігноруються. Хоча у викладі математичної моделі (3.6) було дотримано історичної справедливості щодо динаміки біологічних популяцій, варто зазначити, що наведена схема міркувань (гіпотези також) допускає інше предметне тлумачення.
До сьогодні модель «жертва — хижак» є об’єктом пильної уваги багатьох дослідників у різних сферах природознавства, екології, біології, соціології й економіки.
У математичному моделюванні завжди доцільно перейти до безрозмірних змінних, що у спрощує її дослідження (якісне і кількісне).
u d a x= ; v b a y= ; a t ? = . Тоді первісна модель (3.6) набуває вигляду: ,? uvvv +?= & (3.6а) ,? ; uvvv uvuu +?= ?= & & (3.6а) нашому випадку досягається заміною змінних: u d a x= ; v b a y= ; a t ? = . Тоді первісна модель (3.6) набуває вигляду: ,? ; uvvv uvuu +?= ?= & & (3.6а) a c =? . Як побічний результат замість чотирьох коефіцієнтів a, b, c, d початкової моделі отримали один числовий параметр ? для безрозмірної системи рівнянь, що значно де коефіцієнт a c =? . Як побічний результат замість чотирьох коефіцієнтів a, b, c, d початкової моделі отримали один числовий параметр ? для безрозмірної системи рівнянь, що значно
3.3.2. Економічне тлумачення моделі Вольтерра
—Лотки
Нехай виробляється продукція (товар) кількістю y = y(t) у деякий момент t і вона споживається за ціною x = x(t) за одиницю виробу. Ступінь взаємин між виробником і споживачем установлюється так: зі збільшенням кількості товару за збереження його якості та попиту ціна падатиме і навпаки. Математично це засвідчується так: вається за ціною x = x(t) за одиницю виробу. Ступінь взаємин між виробником і споживачем установлюється так: зі збільшенням кількості товару за збереження його якості та попиту ціна падатиме і навпаки. Математично це засвідчується так:
• якщо
0?y , то axx= & , де а > 0; 0?x, то cyy?= & , де с > 0.
• якщо 0?x, то cyy?= & , де с > 0.
Нехай виробляється продукція (товар) кількістю y = y(t) у деякий момент t і вона споживається за ціною x = x(t) за одиницю виробу. Ступінь взаємин між виробником і споживачем установлюється так: зі збільшенням кількості товару за збереження його якості та попиту ціна падатиме і навпаки. Математично це засвідчується так:
• якщо
0?y , то axx= & , де а > 0;
• якщо 0?x, то cyy?= & , де с > 0.
Коефіцієнти а і с визначають рівень зростання чи падіння інгредієнтів моделі, а саме: зі зменшенням ціни товару його виробництво стає недоцільним.
У ринковій економіці завжди існує «золота середина» — співвідношення між ціною і обсягом виробництва, чим встановлюється гомеостаз економічної системи.
Зауваження. Гомеостаз — здатність (спроможність) відкритої системи зберігати значення суттєвих змінних у певних межах, не реагуючи на вплив середовища її функціонування.
Гомеостаз — один з проявів більш загальної властивості — стійкості, що притаманно багатьом соціально-економічним системам. Безпосереднє використання поняття гомеостазу вимагає визначення суттєвих змінних і допустимих меж їх варіації.
Припущення. Вважається, що білінійна структура (yx?) цілком відображає пропорційність відношення між ціною і обсягом виробництва.
Тоді динамічна модель взаємодії ціни х і кількості продукції у (по суті це поведінка суб’єктів на ринку товарів) записується так: де економічний зміст коефіцієнтів b і d — як у випадку тлумачення величин а і с.
, dxycyy +?= & , ; dxycyy bxyaxx +?= ?= & & , ; dxycyy bxyaxx +?= ?= & &
0 )0(xx=
0 )0(yy=поведінки суб’єктів ринку продукції. Розв’язуючи ММ (3.6), визначається їхня подальша поведінка з часом. Отже, відбулася математична постановка проблеми.
Нехай
0 )0(xx= і
0 )0(yy= відповідно початкові ціна і обсяг продукції — стартові умови поведінки суб’єктів ринку продукції. Розв’язуючи ММ (3.6), визначається їхня подальша поведінка з часом. Отже, відбулася математична постановка проблеми.
3.3.3. Модель конкурентних взаємодій на спільних ринках праці двох країн
Скористаємося відомою у математичній біології або екології модифікацією моделі Вольтерра
—Лотки, якою відображаються внутрішньовидова і міжвидова конкуренція. Диференціальна система рівнянь записується так [22]: де змінні і коефіцієнти математичної моделі тлумачаться так: x і y — чисельності робочої сили першої і другої країни;
1 k і
2 k — коефіцієнти конкуренції робочої сили за вільні місця на ринку праці кожної з країни;
11 Lk і
22 Lk — коефіцієнти зростання робочої сили на ринку праці кожної з країн;
121 ?k — коефіцієнт конкуренції робочої сили двох країн на ринку праці першої країни; відповідно
12 ? — частка вільних робочих місць першої країни, за які конкурує робоча сила другої країни, аналогічне твердження для
212 ?k для другої країни;
21 ? ; якщо взаємна конкуренція за вільні робочі місця на ринках праці обох країн відбувається на пари
???
2112 == ???
2112 ==
0?=
2
1 ?= вони перекриваються на 50 %, тобто конкуренція робочої сили другої країни відбувається за половину вільних робочих місць першої країни і навпаки. тетних засадах, вважається, що ???
2112 == . Для
0?= ринки праці обох країн функціонують незалежно, а для
2
1 ?= вони перекриваються на 50 %, тобто конкуренція робочої сили другої країни відбувається за половину вільних робочих місць першої країни і навпаки.
3.3.4. Моделі Вайдліха Їх рівняння записується так [8; 24; 30]: де змінні x і y чинять одна на іншу кооперативну дію або антагоністичну; а(y) і b(x) — функції впливу, обумовлені характером взаємодії змінних; S — керуючий параметр, що характеризує ступінь впливу макрозмін них на себе. Структурно рівняння (3.8) нагадують ортодоксальну модель Вольтерра
—Лотки, котра узагальнює класичне логістичне рівняння.
Рис. 3.6. Змінна x кооперативно впливає на у
Змінна х називається кооперативною щодо у, якщо х намагається збільшувати значення у за великих власних значень і зменшувати за малих.
Рис. 3.7. Вигляд функції )(xb за антагоністичного впливу Існують чотири варіанти взаємодії: а) х кооперативно діє на у, а у кооперативно на х; б) х антагоністично діє на у, а у антагоністично впливає на х; в) х кооперативно діє на у, а змінні у
— антагоністично на х; г) х антагоністично діє на у, а у кооперативно впливає на х. Є різні предметні інтерпретації моделі (3.8) щодо соціально-економічної динаміки: а) взаємодія влади в суспільстві; б) співіснування старої і нової галузей господарства: режим про
цвітання x > x s , y > y s ; спад для x < x s , y > y s ; депресія (x < x s , y < y s ); відновлення x > x s , y < y s ; в) становлення модного ресторану (x — якість їжі, y — кількість відвідувачів): відкриття x > x s , y < y s ; процвітання x > x s , y > y s ; спад x < x s , y < y s ; депресія x < x s , y < y s .
За рахунок різноманітних апроксимацій функцій впливу а(у) і b(х) утворюється потужна множина нелінійних моделей Вайдліха. Між іншим, на базі однієї з них було передбачено наслідки перебудови в СРСР. x > x s , y < y s ; процвітання x > x s , y > y s ; спад x < x s , y < y s ; депресія x < x s , y < y s .
За рахунок різноманітних апроксимацій функцій впливу а(у) і b(х) утворюється потужна множина нелінійних моделей Вайдліха. Між іншим, на базі однієї з них було передбачено наслідки перебудови в СРСР. цвітання x > x s , y > y s ; спад для x < x s , y > y s ; депресія (x < x s , y < y s ); відновлення x > x s , y < y s ; в) становлення модного ресторану (x — якість їжі, y — кількість відвідувачів): відкриття x > x s , y < y s ; процвітання x > x s , y > y s ; спад x < x s , y < y s ; депресія x < x s , y < y s .
За рахунок різноманітних апроксимацій функцій впливу а(у) і b(х) утворюється потужна множина нелінійних моделей Вайдліха. Між іншим, на базі однієї з них було передбачено наслідки перебудови в СРСР.
