7.4. Модель Блека з нульовою «бетою», багатофакторна модель Мертона і модель теорії арбітражного ціноутворення

Наявність безризикового активу веде до вибору портфелів на ефективній лінії ринку (capital market line (CML). На площині дохідність — ризик вона лежить вище ефективної границі Марковіца, і за її допомогою формуються основні результати САРМ.

Однак не тільки припущення про наявність безризикового активу є суттєвим для САРМ. Важливими є ще два припущення:

1) існує не обмежена можливість позичати і давати в борг за безризиковою відсотковою ставкою. Безризиковий актив — це актив, дохідність якого для деякого інвестиційного горизонту відома з повною визначеністю. Реалізація подібної дохідності є можливою лише за абсолютної надійності емітента активу. Зазвичай у міжнародній практиці під безризиковим активом розуміють короткострокові державні боргові зоб ов’язання. Насправді на фінансовому ринку не існує єдиної відсоткової ставки, а існує ціла сукупність ставок. Так, позики уряду оплачуються за найнижчою відсотковою ставкою, а приватних осіб — за більш високою. Чим більший ризик кредитора, тим більшу ставку він вимагає за надання кредиту позичальнику.

Таким чином, припущення про існування єдиної відсоткової ста вки не відповідає дійсності;

2) інвестор дає і бере в борг за однією і тією самою ставкою. Насправді він стикається з двома різними ставками, причому ставка, за якою він бере в борг, як правило, вища за ту, що він сам дає в борг.

Узагальнення САРМ на випадок відсутності безризикової відсоткової ставки, під яку інвестор може позичати і давати в борг кошти, було розглянуто у своїх працях Ф. Блеком, який показав, що існування або відсутність безризикового активу або безризикової відсоткової ставки не відіграє суттєвого значення для САРМ. Але одержані ним результати певним чином відрізн яються від класичного випадку.

Підхід Блека полягає в наступному: «бета» безризикового активу дорівнює нулю, оскільки його дохідність є постійною і не залежить від стану ринку. Припустимо, однак, що можна побудувати портфель з ризикових активів, що не корелює з ринком. Оскільки «бета» такого портфеля буде дорівнювати нулю, то він зветься портфелем з нул ьовою «бетою» (zero-beta portfolio).

Через точку, що відповідає дохідності портфеля з нульовою «бетою», проведена дотична CML з ефективною границею (рис. 7.6). Вона лежить над ефективною границею і може розглядатись як ефективна лінія ринку за відсутності безризикових активів.

Рис. 7.6. Ефективна лінія ринку (CML) за умови відсутності безризикового активу, але за умови існування портфеля з нульовою «бетою»

Блек показав, що існування портфеля з нульовою «бетою» дозволяє представити САРМ таким рівнянням: E(R p ) = E(R z ) + ? p [E(R M ) – E(R z )], (7.13) де E(R z ) — очікувана дохідність портфеля з нульовою «бетою»; [E(R M ) – E(R z )] — премія за ризик.

Це рівняння є аналогічним рівнянню (7.6) класичної моделі, тільки замість безризикової відсоткової ставки використовується очікувана дохідність портфеля з нульовою «бетою». Варіант САРМ, одержаний Блеком, має назву двофакторної моделі (two-factor model). Емпіричні дослідження показали, що вона краще описує статистичні оцінки дохідності, ніж вихідна САРМ.

Якщо існує множина портфелів з нульовою «бет ою», який з них обрати? Точками Р

1 і Р

2 позначено два такі портфелі (рис. 7.6). Усі портфелі з нульовою «бетою» лежать на горизонтальній прямій, що проходить через точку E(R z ), яка відіграє роль параметра моделі Блека (Р

2 — припустимий, але не ефективний портфель).

З двох портфелів з нульовою «бетою» і однаковою очікуваною дохідністю інвестор обере портфель Р

1 , оскільки в нього менший ризик.

Необхідною умовою для побудови портфеля з нульовою «бетою» є використання «коротких» продажів, які полягають в одержанні доходу від очікуваного зниження ціни активу. Впевненість у такому зниженні означає, що взявши актив у борг і продавши його за поточною ціною сьогодні, інвестор може купити цей актив у ма йбутньому за більш низькою ціною і повернути власнику. «Короткі продажі» у даному випадку необхідні, оскільки активи, наприклад акції, зазвичай позитивно корелюють між собою, і щоб портфель не корелював з ринковим, його треба сформувати з власних і взятих у борг для «короткого» продажу активів. Однак зниження цін веде до збитків за власними актива ми і до прибутку за позиченими. Отже, наявність «коротких» позицій дає змогу сформувати портфель з власних і позичених активів так, щоб його «бета» дорівнювала нулю.

На жаль, «короткі» продажі не завжди можливі. Зазвичай для інституційних інвесторів вони заборонені або значною мірою обмежені.

Хоча двофа кторна модель Блека усуває нереалістичні вимоги існування єдиної безризикової відсоткової ставки, вона зберігає можливість необмеженого використання «коротких» продажів, насправді майже нездійснену.

На практиці інвестор стикається з різними видами ризику, що впливають на його добробут, майбутнє споживання товарів і послуг тощо. При цьому можна навести три приклади: ризик, пов’язаний з невизначеністю майбутніх доходів; ризик, пов’язаний з невизначеністю майбутніх цін; ризик, пов’язаний з можливістю майбутніх інвестицій. Для таких ризиків дисперсія очік уваної дохідності навряд чи буде адекватною оцінкою. Тому говорити про варіацію очікуваної дохідності як єдину оцінку ризику необґрунтовано.

Урахування видів ризику привело Р. Мертона до вдосконалення САРМ, яке виходить з принципу оптимізації інвестором «майбутнього споживання» з урахуванням неринкових (extra-market) джерел ризику, від яких воно залежить. Ці джерела ризику заз вичай називають факторами, тому модель Мертона отримала назву багатофакторної САРМ (multifactor САРМ) і має такий вигляд: де R F — дохідність за безризиковою відсотковою ставкою; F

1 , F

2 , …, FK — фактори неринкового ризику; K — кількість факторів неринкового ризику; ? p,M — чутливість портфеля до змін ринку; ? p,FK — чутливість портфеля до фактора K; E(R FK ) — очікувана дохідність фактора K.

Сукупний неринковий ризик визначається сумою: .(7.15)

Цей вираз говорить про те, що інвестор очікує одержати компенсацію не тільки за ринковий ризик, а й за ризик кожного фактора. Якщо не буде інших джерел ризику крім самого ринку, рівняння 7.14 буде визначати очікувану дохідність портфеля за класичною САРМ:

Під час обговорення САРМ вважалось, що інвестор намагається уникнути невизначеності відносно майбутньої ціни активу за допомогою диверсифікації. Інакше кажучи, він формує ринковий портфель з усіх цінних паперів відповідно до їх відносної капіталізації. Крім інвестування в ринковий портфель, в багатофакторній САРМ інвестор намагається знизити певний вид неринкового

ризику (рис. 7.7). Це стосується тільки тих інвесторів, які опікуються зниженням саме такого виду ризику.

Ринковий портфель

Портфель, що страхує неринковий ризик 1

Портфель, що страхує неринковий ризик 2

Портфель, що страхує неринковий ризик 3

Рис. 7.7. Багатофакторний портфель Мертона

Очікувану дохідність окремого активу і можна отримати виходячи з загального вигляду багатофакторної моделі, якщо представити актив як портфель з єдиної складової:

Багатофакторна модель САРМ — прийнятна модель, оскільки в неї включено ринковий ризик. За ринкового оцінювання активу має враховуватись і премія за неринковий ризик. На жаль, виділити цей ризик емпірично і оцінити його кількісно дуже складно. Ця модель багато в чому подібна до моделі арбітражного ціноутворення активів.

Теорія арбітражного ціноутворення (arbitra ge pricing theory

— APT) була розроблена у 1976 р. С. Россом, який піддав сумніву адекватність гіпотез САРМ і є одним із головних критиків останньої.

Арбітраж (arbitrage) — це одночасна купівля й продаж одного й того самого активу за двома різними цінами на двох різних ринках. Арбітражер, тобто інвестор, який виконує арбітражну уго ду, одержує безризиковий дохід від купівлі активу за низькою ціною на одному ринку і продажу його за більш високою на іншому. Інвестору не варто очікувати таку можливість, оскільки вона реалізується вкрай рідко. Насправді арбітражер з необмеженою можливістю здійснення «коротких» продажів може негайно вирівняти дисбаланс цін на цих ринках, якщо профін ансує купівлю активу з низькою ціною на ринку за рахунок його «короткого» продажу на ринку з високою ціною. Це означає, що можливість безризикового арбітражу є дуже короткочасною.

Менша можливість арбітражу існує в тому разі, якщо вдасться сконструювати портфель активів, що має ідентичний з деяким іншим активом потік доходів, але з менш ою ціною, ніж цей актив. Цей вид арбітражу ґрунтується на фундаментальному прин

ципі теорії фінансів, що має назву закон єдиної ціни (law of one price). Його сутність полягає в наступному: якщо потік доходів, створених даним активом, збігається з потоком доходів від штучно створеного пакета інших активів, то вартості активу і пакета, що його копіює, мають збігатися.

Якщо виявляється відмінність цін активу і пакета активів з однако вими потоками доходів, то інвестори будуть здійснювати з ними арбітражні угоди, що у підсумку приведе до вирівнювання цін і відновлення рівноваги. Наявність ринкового механізму, що відтворює цю рівновагу, і передбачається теорією арбітражного механізму.

Розглянемо, наприклад, як можна скористатись можливістю арбітражу, маючи три акції А, В і С (табл. 7.1). Їх ціни на ведено у другому стовпчику, і річний дохід за кожною з них має два можливих значення, що залежить від деяких неринкових чинників (наприклад від інфляції). Розглянемо дві можливі ситуації з двома різними виплатами за кожною акцією.

Таблиця 7.1

ЦІНИ І МОЖЛИВІ ВИПЛАТИ ЗА ТРЬОМА АКЦІЯМИ

Акції

Ціна, гр. од.

Виплати у ситуації 1, гр. од.

З активів А і В можна сформувати портфель з такою самою очікуваною дохідністю, як і в активу С у ситуаціях 1 або 2. Припустимо, що W A і W B — це частки активів А і В у даному портфелі. Тоді за портфелем (або його вартість у кінці року) для кожного з двох випадків можна представити так:

• ситуація 1: 50 гр. од. W A + 30 гр. од. W B ;

• ситуація 2: 100 гр. од. W A + 120 гр. од. W B .

Визначивши відповідним чином ваги W A і W B , можна сформувати портфель, що складається з акцій А і В і відтворює потік доходів акції С незалежно від ситуації. Вартість портфеля буде відрізнятись від вартості С, якщо ціни акцій не задовольняють спеціальну умову.

• ситуація 2: 100 гр. од. W A + 120 гр. од. W B .

Визначивши відповідним чином ваги W A і W B , можна сформувати портфель, що складається з акцій А і В і відтворює потік доходів акції С незалежно від ситуації. Вартість портфеля буде відрізнятись від вартості С, якщо ціни акцій не задовольняють спеціальну умову.

• ситуація 1: 50 гр. од. W A + 30 гр. од. W B ;

• ситуація 2: 100 гр. од. W A + 120 гр. од. W B .

Визначивши відповідним чином ваги W A і W B , можна сформувати портфель, що складається з акцій А і В і відтворює потік доходів акції С незалежно від ситуації. Вартість портфеля буде відрізнятись від вартості С, якщо ціни акцій не задовольняють спеціальну умову.

Таблиця 7.2

СТВОРЕННЯ АРБІТРАЖНОЇ МОЖЛИВОСТІ ЗА ДОПОМОГОЮ КОМБІНАЦІЇ

НЕДООЦІНЕНИХ АКТИВІВ

Портфель А + В	Акція С = 38 гр. од. = 112 гр. од. результати: Акції С
Ситуація 1
Ситуація 2
Розв’язання системи рівнянь дає такі
W A = 0,4
Вартість

Оберемо ваги W A і W B так, щоб у кожній з двох ситуацій потік доходів портфеля збігався з потоком доходів акції С. Ці ваги одер

жуються з рівнянь, наведених у табл. 7.2. Таким чином, W A = 0,4, W B = 0,6, і портфель з такими вагами в кожному з двох випадків веде до тих самих виплат, що й акція С. Оскільки ціни акцій А і В дорівнюють 70 і 60 гр. од. відповідно, то ціна портфеля становитиме: W B = 0,6, і портфель з такими вагами в кожному з двох випадків веде до тих самих виплат, що й акція С. Оскільки ціни акцій А і В дорівнюють 70 і 60 гр. од. відповідно, то ціна портфеля становитиме: жуються з рівнянь, наведених у табл. 7.2. Таким чином, W A = 0,4, W B = 0,6, і портфель з такими вагами в кожному з двох випадків веде до тих самих виплат, що й акція С. Оскільки ціни акцій А і В дорівнюють 70 і 60 гр. од. відповідно, то ціна портфеля становитиме:

0,4 ? 70 + 0,6 ? 60 = 64 (гр. од.).

0,4 ? 70 + 0,6 ? 60 = 64 (гр. од.).

Таблиця 7.3

РЕЗУЛЬТАТИ АРБІТРАЖУ

Акції	Інвестиції, гр. од.	Ситуація 1, гр. од.	Ситуація 2, гр. од.
А	400 000	285 715	571 429
В	600 000	300 000	1200 000
С	– 1000 000	– 475 000	– 1400 000
Усього	0	110 715	371 429

Зауважимо, що вартість акцій С дорівнює 80 гр. од., що дає можливість арбітражної угоди, яка полягає в купівлі портфеля за рахунок «короткого» продажу акцій С. У табл. 7.3 наведено результати такої угоди для кожного з можливих випадків. Виручка в 1 млн гр. од. за рахунок «короткого» продажу акцій С на цю суму була і нвестована в портфель, що складається з акцій А на суму 400000 гр. од і акцій В на суму 600000 гр. од. Зауважимо,

що сукупні інвестиції дорівнюють нулю, тобто ніяких власних коштів використано не було. Однак у кожній з двох ситуацій є ненульовий прибуток. Таким чином, портфель гарантує безризиковий прибуток не нижче 110715 гр. од. без жодних витрат. Теорія арбітражного ціноутворення припускає, що ринок «швидко ліквідує» таку можливість.

Теорія арбітражного ціноутворення (АРТ) передбачає, що оч ікувана дохідність активу залежить від багатьох факторів, а не від одного узагальненого ринкового фактора, як це припускає класична модель ринку. Якщо знову подивитись на рівняння (7.3), то можна помітити, що на дохідність активу впливає його чутливість до ринку, що описується коефіцієнтом ?, і несистематична дохідність (? і ? і ). Арбітражна теорія, навпаки, ґрунтується на лінійній залежності дохідності активу або портфеля від Н факторів.

Для ілюстрації АРТ припустимо, що портфель складається з трьох активів і існує тільки два таких фактори. Далі будуть використовуватись такі позначення: i

—R ~випадкова величина, що представляє дохідність активу і

= 1,2); ? i,h — чутливість і-го активу на h-й фактор; e ~ — несистематична дохідність активу і (і = 1, 2, 3).

Модель АРТ стверджує, що дохідність активу і як випадкова величина виражається так: i e ~ — несистематична дохідність активу і (і = 1, 2, 3).

Модель АРТ стверджує, що дохідність активу і як випадкова величина виражається так: . ~ ~~~

22,11,iiiii eFFRER+?+?+= (7.17) (і = 1, 2, 3);

Е(R i ) — очікувана дохідність активу і (і = 1, 2, 3); — фактор h, спільний для дохідностей усіх трьох активів (h F ~

Е(R i ) — очікувана дохідність активу і (і = 1, 2, 3); — фактор h, спільний для дохідностей усіх трьох активів (h F ~ (і = 1, 2, 3);

Е(R i ) — очікувана дохідність активу і (і = 1, 2, 3); h — фактор h, спільний для дохідностей усіх трьох активів (h = 1,2); F ~ ? i,h — чутливість і-го активу на h-й фактор; i e ~ — несистематична дохідність активу і (і = 1, 2, 3).

Модель АРТ стверджує, що дохідність активу і як випадкова величина виражається так: () . ~ ~~~

22,11,iiiii eFFRER+?+?+= (7.17)

Щоб між цими трьома активами існувала рівновага, має виконуватись така умова: без залучення додаткових інвестицій і збільшення ризику неможливо створити портфель з більшою дохідністю. Інакше кажучи, стверджується, що на ринку немає «фінансового вічного двигуна».

Для того щоб побачити, як працює цей принцип, припустимо, що V i — це зміна суми, інвестованої в і-й актив, виражена у вигляді частки всього капіталу інвестора.

Припустимо, наприклад, що початкова ринкова вартість портфеля, що дорівнює 100000 гр. од., складається з трьох компонентів: 1) 20000 гр. од. вкладено в актив 1; 30000 гр.од. — в актив 2; 50000 гр. од. — в актив 3. Припустимо, що інвестор змінив свій по ртфель так: 1) 35000 гр. од. вклав в актив 1; 2) 25000

гр. од. — в актив 2; 3) 40000 гр. од. — в актив 3. Тоді значення змін (V i ) будуть такими:

Потрібно звернути увагу на те, що оскільки додаткові (зовнішні) кошти не залучались, то сума всіх V i дорівнює нулю. Таким чином, перебудова портфеля веде до двох наслідків: 1) змінюється дохідність портфеля; 2) змінюється його ризик (систематичний і несистематичний), пов’язаний з обома факторами.

Зупинимося на першому наслідку. Зміна очікуваної дохідності портфеля

]. ~~~ [ ~ ][

33221122,332,222,11 eVeVeVFVVV +++?+?+?+ (7.18) ~ ][][ ~

11,331,221,11332211 FVVVREVREVREVR p +?+?+?+++=? (7.18) () p R ~ ? математичною мовою виражається так: ()()() ]. ~~~ [ ~ ][ ~ ][][ ~

33221122,332,222,11

11,331,221,11332211 eVeVeVFVVV FVVVREVREVREVR p +++?+?+?+ +?+?+?+++=? (7.18)

Наведене рівняння свідчить, що зміна дохідності портфеля включає несистематичний ризик і компоненти, що залежать від систематичного ризику. Як зазначалося вище, несистематичний ризик можна диверсифікувати. Тоді рівняння (7.18) набуде такого вигляду:

Тепер розглянемо систематичний ризик кожного фактора. Зміна ризику портфеля внаслідок дії фактора 1 дорівнює добутку «бети» кожного активу і відповідних змін V i . Отже, зміна чутливості портфеля до систематичного ризику фактора 1 дорівнює: (7.20)

.

1,331,221,11 ?+?+?VVV.

1,331,221,11 ?+?+?VVV

Для фактора 2 воно дорівнює: (7.21)

.

2,332,222,11 ?+?+?VVV.

2,332,222,11 ?+?+?VVV

Один із наслідків неможливості арбітражу полягає в тому, що зміна ризику за кожним фактором дорівнює нулю. Таким чином, вирази (7.20) і (7.21) задовольняють рівнянням: (7.22) (7.23)

;0

1,331,221,11 =?+?+?VVV;0

1,331,221,11 =?+?+?VVV.0

2,332,222,11 =?+?+?VVV.0

2,332,222,11 =?+?+?VVV

Ці рівняння дозволяють переписати рівняння (7.19) так: (7.24)

Як було зазначено вище, ці рівняння за умови наявності досить великої кількості активів, яка дозволяє диверсифікувати несистематичний ризик, задають математичну модель, що визначає рівноважні ціни активів. Ця система рівнянь є сумісною, оскільки кількість активів перевищує кількість факторів, що дозволяє знайти рівноважну ціну як портфеля, так і кожного з трьох активів. Росс показав, що ре зультуюче співвідношення очікуваної дохідності активу і факторних ризиків має такий вигляд: (7.25) де ? i,Fj — чутливість активу і до фактора j; Е(R Fj ) – R F — перевищення дохідності за фактором j над безризиковою дохідністю (премія за j-й систематичний ризик).

Рівняння (7.25) узагальнюється на випадок Н факторів:

Це рівняння і є основним рівнянням АРТ. Воно стверджує, що інвестори вимагають компенсації за кожний фактор ризику, який систематично впливає на очікувану дохідність активів. Повна компенсація є сумою компенсацій за всіма факторами, а компенсація за кожним фактором — це добуток систематичного ризику даного фактора (? i,Fh ) і премії за ризик за цим фактором [Е(R Fh ) – R F ]. Як і в інших моделях, премія за несистематичний ризик не передбачається.

Неважко побачити, що класична САРМ (рівняння (7.6) і багатофакторна модель Мертона (рівняння (7.16) являють собою окремі випадки арбітражної моделі (рівняння (7.26).

Якщо єдиним фактором рівняння (7.26) залишається ринковий ризик, то рівняння арбітражної моделі перетворюється в рівняння (7.6).

Порівняємо тепер рівняння (7.26) з рівнянням моделі Мертона (7.16). Вони аналогічні. Обидва свідчать про те, що кожний систематичний ризик має компенсуватись інвестору. При цьому багатофакторна модель стверджує, що одним із систематичних ризиків є ринковий, а арбітражна модель таких уточнень не робить.

Прихильники АРТ стверджують, що перед класичною і багатофакторною моделями в неї є су ттєві переваги:

1) вона не робить обмежувальних припущень про віддачу переваг інвестора відносно ризику і дохідності. Базова модель (САРМ) враховує лише два конкуруючих між собою критерії — очікувану дохідність і ризик, АРТ, у свою чергу, накладає низку не дуже жорстких обмежень на можливий вид функції корисності інвестора;

2) АРТ не ро бить ніяких припущень відносно функцій розподілу дохідностей цінних паперів;

3) вона не припускає побудову «істинного» ринкового портфеля, і тому піддається тестуванню.

Щодо тестування АРТ, то аналіз даних показав, що вона пропонує альтернативу для однофакторної САРМ у поясненні формування цін активів. Дослідження показують, що АРТ вра ховує більшу кількість факторів, які впливають на варіацію дохідності, ніж САРМ. Тим не менш, у практичному застосуванні АРТ є кілька невирішених питань.

Так, залишається невирішеним питання про кількість факторів, від яких має залежати дохідність цінних паперів. Р. Ролл і С.

Росс запропонували чотири прийнятні економічні фактори:

1) непередбачувані зміни на про мислових підприємствах;

2) непередбачувані зміни спреду дохідностей облігацій з високим і низьким рейтингом;

3) непередбачувані зміни відсоткових ставок і форми кривої дохідності;

4) непередачувані зміни темпів інфляції.

Аналогічну АРТ модель побудували Е. Соренсен і його колеги з Salomon Brothers. Вона враховує сім важливих макроекономічних факторів, які систематично впливають на дохідності простих акцій: довгострокові тем пи економічного зростання, короткостроковий діловий цикл, зміни дохідностей довгострокових облігацій, зміни дохідностей короткострокових казначейських векселів США, стрибки інфляції, зміни курсів іноземних валют відносно до долара і залишкова ринкова «бета».

Таким чином, дослідники продовжують пошук факторів, що пояснюють систематичні дохідності. Цим займаються не тільки теоретики, а й практ ики-фінансисти.

?