Поняття мартингала (супер- і субмартингала) запропонував Дуб, результати якого послугували фундаментом мартингальної теорії, її застосуванню у прикладних науках. ? ? від’ємні (недодатні).
),( tt FXX= ймовірнісному просторі ( ? , F, P), де ? — множина елементарних подій ? ; F — ? -алгебра вимірних подій; P є ймовірнісна міра визначення з виокремленим у ньому неспадним сімейс? t F TtFFF ts ?? ts? ?< t XM tt FX?s XM s F t X= ? ? ? ? ? ? з ймовірністю 1 або майже напевне.
Більш вербальне визначення: мартингал — випадковий процес Х(t), якому властива індиферентність до минулого, яка проявляється в тому, що умовне математичні сподівання приростів )()(
12 tXtX? (
21 tt< ) для заданих значень )(tsX s < , незалежно від цих значень, дорівнюють нулю. )()(
12 tXtX?
21 tt< )(tsX s < нюють нулю.
Мартингал — стохастична послідовність ),( tt FXX= , ),0[???Tt у так званому базовому ймовірнісному просторі ( ? , F, P), де ? — множина елементарних подій ? ; F — ? -алгебра вимірних подій; P є ймовірнісна міра визначення з виокремленим у ньому неспадним сімейством ? -алгебр ( t F ),Tt?, FFF ts ?? , ts? ; така, що математичне сподівання ?< t XM , тобто tt FX? вимірною, і s XM s F t X= ? ? ? ? ? ? з ймовірністю 1 або майже напевне.
Більш вербальне визначення: мартингал — випадковий процес Х(t), якому властива індиферентність до минулого, яка проявляється в тому, що умовне математичні сподівання приростів )()(
12 tXtX? (
21 tt< ) для заданих значень )(tsX s < , незалежно від цих значень, дорівнюють нулю.
Стохастична послідовність утворює: субмартингал, якщо s XM s t F X ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; супермартенгал, якщо s XM s t F X ? ? ? ? ? ? ? ? ? , тобто припускається, що ці умовні математичні сподівання не
Основний ефект теорії мартингалів проявляється в тому, що структура мартингала (субмартингала) ),( tt FXX зберігається для випадкової заміни часу.
де y — фіксований імовірнісний вектор, незалежний від початкового стану х(0), причому y є власним вектором матриці М, відповідаючи характеристичному числу одиниця.
Основний результат теорії мартингалів — нерівності Дуба, одна з яких записується: якщо ? n Pнерівність Дуба для математичного сподівання ),(?baM n числа перетинів ),(?ba n субмартингалів записується
),( nn FXX невід’ємний мартингал: j nj n XX ?? =
1 * max ; () p p n p n XMX = (
1?p ,1?n), то ),( nn FXXj nj n XX ?? =
1 * max ; () p p n p n XMX = (
1?p ,1?n), то ),( nn FXX невід’ємний мартингал: j nj n XX ?? =
1 * max ; () p p n p n XMX = (
1?p ,1?n), то {} ?? n MX X?; ),( nn FXX=aXM baM n n ? + ?),(? . ),( nn FXX= інтервалу ],[ba знизу догори за n кроківab aXM baM n n ? + ?),(? .
Основний результат про збіжність субмартингалів формулюється: якщо ),( nn FXX — субмартингал??n .
?< n XSupM ? ?? =XX n n lim і ?< ? XM . ?< n XSupM ? ?? =XX n n lim і ?< ? XM . ?< ? XM і має місце нерівність ?< n XSupM , то з ймовірністю 1 існує ? ?? =XX n n lim і ?< ? XM .
Коли субмартингал рівномірно інтегровний, то також виконується
0?? ? XXM n для
Найпростішим прикладом мартингала є вінеровський процес )(tw , 0?t, для якого виконується:
0)0(=w n ttt<<<<...0
21)()(...,),()(
112? ?? nn twtwtwtwзалежні;
— випадкова величина )()(swstw?+ володіє розподілом Гаусса з середнім 0 і дисперсією t. n ttt<<<<...0
21)()(...,),()(
112? ?? nn twtwtwtwзалежні;
— випадкова величина )()(swstw?+ володіє розподілом Гаусса з середнім 0 і дисперсією t. )()(swstw?+
—
0)0(=w , для n ttt<<<<...0
21 випадкові величини )()(...,),()(
112? ?? nn twtwtwtw взаємно незалежні;
— випадкова величина )()(swstw?+ володіє розподілом Гаусса з середнім 0 і дисперсією t.
Умови а) і б) детермінують W(t) як гауссівський процес: для кожного n сумісний розподіл величин )( ..., ),( ),(
21n twtwtw є n-вимірний гауссовим законом.
Властивості вінерівського процесу (його неперервні модифікації).Якщо )(tw , 0?t є ві
)()()(swstwtw?+= 0t? ? ? ? ? ? = ??
2 )( c t cwtw ? ? ? ? ? ? ?= ??? t wttw )( (причому
0)0(= ??? w ) також є вінерівськими.
Траєкторії вінерівського процесу: б) майже напевне мають необмежену варіацію на кожному скінченному інтервалі; в) майже напевне недиференційовні для 0??t.
Простота і прозорість структури основних результатів теорії мартингалів сприяють їх адаптивному (раціональному і релевантному) використанню в моделювання проблем реальної економіки. ? ? ? ? ? ? = ??
2 )( c t cwtw ? ? ? ? ? ? ?= ??? t wttw )( (причому
0)0(= ??? w ) також є вінерівськими.
Траєкторії вінерівського процесу: б) майже напевне мають необмежену варіацію на кожному скінченному інтервалі; в) майже напевне недиференційовні для 0??t.
Простота і прозорість структури основних результатів теорії мартингалів сприяють їх адаптивному (раціональному і релевантному) використанню в моделювання проблем реальної економіки. нерівський процес, то має місце таке: а) процеси )()()(swstwtw?+= ? , 0?t; ? ? ? ? ? ? = ??
2 )( c t cwtw ? ? ? ? ? ? ?= ??? t wttw )( (причому
0)0(= ??? w ) також є вінерівськими.
Траєкторії вінерівського процесу: б) майже напевне мають необмежену варіацію на кожному скінченному інтервалі; в) майже напевне недиференційовні для 0??t.
Простота і прозорість структури основних результатів теорії мартингалів сприяють їх адаптивному (раціональному і релевантному) використанню в моделювання проблем реальної економіки.
Резюме
У розділі 8 викладено основи математичного опису нелінійних економічних процесів з використанням стохастичних диференціальних рівнянь. Така потреба постала, оскільки економічному буттю органічно притаманні ускладнення і щомиттєва змінюваність, що відбуваються в детермінований спосіб або випадково.
Особлива чином потреба у стохастичних знаннях відчувається за умов ринку, де переважають невизначеність і повнота економічної інформації, її динамічність, відчувається також наявність нелінійних взаємозв’язків і впливів між складовими економічної системи. У сенсі наведеного вище розділом 8 закладаються підвалини релевантного й раціонального комп’ютерного моделювання економічної динаміки з урахуванням стохастичної складової перебігу економічних процесів. Варто зауважити, що в економічній літературі мають місце перші спроби застосування стохастичних диференціальних рівнянь в аналізі динаміки розвитку економіки. Але це лише початок, попереду копітка праця.
Терміни і поняття
Стохастичний (випадковий) процес
Марківський ланцюг
Стаціонарний випадковий процес у вузькому і широкому сенсі
Гауссівський випадковий процес
Вінерівський випадковий процес
Ергодичність економічної системи
Середнє по часу
Фазове середнє
Стохастичний диференціал
Стохастичне диференціальне рівняння
Мартингал
Питання для перевірки знань
1. Роль стохастичної складової економічного розвитку.
2. Сформулюйте визначення випадкового процесу.
3. Класифікація стохастичних процесів.
4. Що таке марківський ланцюг?
5. Визначте стаціонарний випадковий процес.
6. Дефініція вінерівського процесу.
7. Що таке середнє по часу?
8. Фазове середнє.
9. Ергодичний економічний рух.
10. Особливості поняття стохастичного диференціала.
11. Інтерпретуйте стохастичне диференціальне рівняння, його розв’язок.
12. Лінійне стохастичне диференціальне рівняння, його окремі випадки, розв’язок.
13. Сутність математичного опису економічного стану з використанням елементів теорії випадкових процесів.
14. Сформулюйте вербальне визначення мартингала.
15. Відмінності між суб- і супермартингалом.
16. Основні результати теорії мартингалів у проекції на економічну дійсність.
17. Вінерівський процес як найпростіший приклад мартингала.
18. Властивості вінерівського процесу.
19. Особливості траєкторії вінеровського процесу.
20. У чому полягає адаптивне управління економічною системою з використанням теорії мартингалів?
Завдання для індивідуальної роботи
1. Наведіть приклади використання основ теорії випадкових процесів у теоретичній і реальній економіці.
2. Опишіть економічну динаміку (лінійну або нелінійну) розвитку економіки на конкретних прикладах.
Список використаних і рекомендованих джерел для поглибленого вивчення матеріалу
Беллман Р. Введение в теорию матриц (гл. 14. Марковские матрицы и теория вероятностей) / Р. Беллман. — М. : Наука, 1969. — 368 с.
Гихман И. И. Стохастические дифференциальные управления и их приложения / И. И. Гихман, А. В. Скороход. — К. : Наук. думка, 1982. — 612 с.
Жлуктенко В. І. Стохастичні процеси та моделі в економіці, соціології, екології: навч. посіб / В. І. Жлуктенко, С. І. Наконечний, С. С. Савіна.. — К. : КНЕУ, 2002. — 226 с.
