1. Стійкий вузол. Для рівняння виконуються умови Гурвіца, D
3 ? 0. Усі корені дійсні від’ємні. Траєкторії входять в особливу точку.
2. Нестійкий вузол. Умови Гурвіца виконуються для рівняння, D
3 ? 0; усі корені додатні;
а
1 < 0, a
2 < 0, a
3 < 0. Траєкторії виходять з особливої точки.
3. Стійкий фокус. Умови Гурвіца виконуються для рівняння; D
3 < 0; два корені комплексні з від’ємними дійсними частинами, один корінь від’ємний. Траєкторії входять в особливу точку, закручуючись по спіралі.
4. Нестійкий фокус. Умови Гурвіца виконуються для рівняння; D
3 < 0; два комплексні корені з додатними дійсними частинами. Траєкторії закручені по спіралі і виходять з особливої точки (а
1 < 0; a
2 < 0; a
3 <0 ).
5. Сідло першого порядку. Всі три корені дійсні: два від’ємні, один додатній; D
3 ? 0. Траєкторії, що входять в особливу точку, утворюють поверхню сепаратрис. Тільки дві траєкторії виходять з особливої точки, вони мають спільну дотичну.
6. Сідло другого порядку. Всі три корені дійсні, два додатні, один корінь від’ємний; D
3 ? 0. Тільки дві траєкторії входять в особливу точку. Траєкторії, що виходять з особливої точки, утворюють поверхню.
7. Сідло-фокус першого роду. Два комплексні корені з від’ємними дійсними частинами, один корінь дійсний додатній. Всі траєкторії, що входять в особливу точку, закручені по спіралі і утворюють поверхню сепаратрис. Дві траєкторії виходять з особливої точки (D
3 < 0, а
3 < 0).
3. Стійкий фокус. Умови Гурвіца виконуються для рівняння; D
3 < 0; два корені комплексні з від’ємними дійсними частинами, один корінь від’ємний. Траєкторії входять в особливу точку, закручуючись по спіралі.
4. Нестійкий фокус. Умови Гурвіца виконуються для рівняння; D
3 < 0; два комплексні корені з додатними дійсними частинами. Траєкторії закручені по спіралі і виходять з особливої точки (а
1 < 0; a
2 < 0; a
3 <0 ).
5. Сідло першого порядку. Всі три корені дійсні: два від’ємні, один додатній; D
3 ? 0. Траєкторії, що входять в особливу точку, утворюють поверхню сепаратрис. Тільки дві траєкторії виходять з особливої точки, вони мають спільну дотичну.
6. Сідло другого порядку. Всі три корені дійсні, два додатні, один корінь від’ємний; D
3 ? 0. Тільки дві траєкторії входять в особливу точку. Траєкторії, що виходять з особливої точки, утворюють поверхню.
7. Сідло-фокус першого роду. Два комплексні корені з від’ємними дійсними частинами, один корінь дійсний додатній. Всі траєкторії, що входять в особливу точку, закручені по спіралі і утворюють поверхню сепаратрис. Дві траєкторії виходять з особливої точки (D
3 < 0, а
3 < 0).
4. Нестійкий фокус. Умови Гурвіца виконуються для рівняння; D
3 < 0; два комплексні корені з додатними дійсними частинами. Траєкторії закручені по спіралі і виходять з особливої точки (а
1 < 0; a
2 < 0; a
3 <0 ).
5. Сідло першого порядку. Всі три корені дійсні: два від’ємні, один додатній; D
3 ? 0. Траєкторії, що входять в особливу точку, утворюють поверхню сепаратрис. Тільки дві траєкторії виходять з особливої точки, вони мають спільну дотичну.
6. Сідло другого порядку. Всі три корені дійсні, два додатні, один корінь від’ємний; D
3 ? 0. Тільки дві траєкторії входять в особливу точку. Траєкторії, що виходять з особливої точки, утворюють поверхню.
7. Сідло-фокус першого роду. Два комплексні корені з від’ємними дійсними частинами, один корінь дійсний додатній. Всі траєкторії, що входять в особливу точку, закручені по спіралі і утворюють поверхню сепаратрис. Дві траєкторії виходять з особливої точки (D
3 < 0, а
3 < 0).точки (а
1 < 0; a
2 < 0; a
3 <0 ).
5. Сідло першого порядку. Всі три корені дійсні: два від’ємні, один додатній; D
3 ? 0. Траєкторії, що входять в особливу точку, утворюють поверхню сепаратрис. Тільки дві траєкторії виходять з особливої точки, вони мають спільну дотичну.
6. Сідло другого порядку. Всі три корені дійсні, два додатні, один корінь від’ємний; D
3 ? 0. Тільки дві траєкторії входять в особливу точку. Траєкторії, що виходять з особливої точки, утворюють поверхню.
7. Сідло-фокус першого роду. Два комплексні корені з від’ємними дійсними частинами, один корінь дійсний додатній. Всі траєкторії, що входять в особливу точку, закручені по спіралі і утворюють поверхню сепаратрис. Дві траєкторії виходять з особливої точки (D
3 < 0, а
3 < 0).ралі і утворюють поверхню сепаратрис. Дві траєкторії виходять з особливої точки (D
3 < 0, а
3 < 0).а
1 < 0, a
2 < 0, a
3 < 0. Траєкторії виходять з особливої точки.
3. Стійкий фокус. Умови Гурвіца виконуються для рівняння; D
3 < 0; два корені комплексні з від’ємними дійсними частинами, один корінь від’ємний. Траєкторії входять в особливу точку, закручуючись по спіралі.
4. Нестійкий фокус. Умови Гурвіца виконуються для рівняння; D
3 < 0; два комплексні корені з додатними дійсними частинами. Траєкторії закручені по спіралі і виходять з особливої точки (а
1 < 0; a
2 < 0; a
3 <0 ).
5. Сідло першого порядку. Всі три корені дійсні: два від’ємні, один додатній; D
3 ? 0. Траєкторії, що входять в особливу точку, утворюють поверхню сепаратрис. Тільки дві траєкторії виходять з особливої точки, вони мають спільну дотичну.
6. Сідло другого порядку. Всі три корені дійсні, два додатні, один корінь від’ємний; D
3 ? 0. Тільки дві траєкторії входять в особливу точку. Траєкторії, що виходять з особливої точки, утворюють поверхню.
7. Сідло-фокус першого роду. Два комплексні корені з від’ємними дійсними частинами, один корінь дійсний додатній. Всі траєкторії, що входять в особливу точку, закручені по спіралі і утворюють поверхню сепаратрис. Дві траєкторії виходять з особливої точки (D
3 < 0, а
3 < 0).
8. Сідло-фокус другого роду. Два комплексні корені з додатними дійсними частинами, один корінь дійсний від’ємний. Напрямок траєкторії протилежний напрямку траєкторії попереднього випадку (D
3 < 0; а
3 > 0).
9. Нестійкий центр. Два суто уявні корені, один дійсний додатній; виконується тільки необхідна умова існування кореня такого типу. Лише дві траєкторії виходять з особливої точки, інші лежать на паралельних циліндричних поверхнях.
10. Стійкий центр. Характеристичне рівняння має два уявні корені й один дійсний від’ємний. Напрямок траєкторій протилежний напрямку траєкторій попереднього випадку.
Усі випадки з одним або кількома нульовими коренями є критичними. Задачею є дослідження сідловин точок і точок сідло-фокус, які лежать на поверхні сепаратрис.
Резюме
Здійснено теоретико-методологічний аналіз стійкості економічної системи на підгрунті її математичної моделі. Викладено основні поняття та визначення теорії стійкості руху (розвитку системи), яким надано геометричне й економічне тлумачення. На прикладі лінійної двовимірної динамічної моделі розглянуто методику вивчення поведінки розв’язків, класифікації особливих точок. Класичні результати стійкості траєкторії ціни )(tp на ринку товарів суттєво доповнено такими категоріями, як час переходу від однієї цінової точки до іншої та його регулювання, кількість коливань у перехідному процесі досягнення нової ціни, якість і точність моделювання. Вказано алгоритм побудови області стійкості з урахуванням варіації коефіцієнта характеристичного рівняння моделі. Отримано оцінку зверху для ціни, яка існує на ринку ціни протягом певного часу. У дослідженні лінійних неперервних і дискретних моделей використано єдиний підхід, ураховуючи властиві економіці запізнення.
Наведено техніку дослідження на стійкість нелінійних площинних і тривимірних динамічних економіко-математичних моделей. Здійснено класифікацію особливих точок рівноважності економічного стану.
Терміни і поняття
Стабільність економічної системи
Стійкість зв’язку динамічної економіко-математичної моделі
Асимптотична стійкість
Орбітальна стійкість
Стійкість за Ляпуновим і Лагранжем
Характеристичне рівняння
Рівняння у варіаціях
Площинна динамічна модель
Особливі точки рівноважного економічного стану
Граничні цикли
Якісне моделювання економіки
Питання для перевірки знань
1. Що таке скупчена модель?
2. Гносеологія стійкості економічної системи (вербально).
3. Дефініція стійкого розвитку (вербально).
4. Графічне тлумачення стійкості розв’язку математичної моделі економічної динаміки.
5. Сутність траєкторії економічного розвитку.
6. Геометрична інтерпретація нестійкого тривіального розв’язку.
7. У чому полягає глобальна стійкість моделі?
8. Стійкий розв’язок економіко-математичної моделі за: а) Лагранжем; б) Пуассоном. Відмінності між ними.
9. Орбітальна стійкість розв’язку моделі.
10. Умова асимптотичної (глобальної) стійкості лінійної моделі економічної системи.
11. Стійкість траєкторії ціни на ринку товарів.
12. Класичний критерій стійкості цінової траєкторії на ринку п товарів (неперервна модель).
13. Прагматичний критерій стійкості траєкторії )(tp лінійної системи.
14. Межі змінюваності ціни товару.
15. Деякі аспекти моделювання лінійної моделі економічної системи: а) точність; б) час перехідного процесу і його регулювання; в) якість; г) кількість коливань переходу від однієї ціни до іншої.
16. Як будується області стійкості з урахуванням варіації коефіцієнта характеристичного рівняння?
17. Оцінка зверху для діючої ціни )(tp на ринку протягом певного часу.
18. Процедура дослідження нелінійної економіко-математичної моделі на стійкість.
19. Назвіть особливі точки для лінійної площинної моделі.
20. Діаграма особливих точок лінійної економіко-математичної моделі.
21. Граничні цикли: а) стійкі; б) напівстійкі; в) нестійкі.
22. Запишіть матрицю лінеаризації для тривимірної динамічної моделі економічного розвитку.
Завдання для індивідуальної роботи
1. Розгляньте класичні динамічні моделі економіки: а) Харрода–Домара; б) Солоу; в) Кейнса; з позицій теорії стійкості.
2. Проаналізуйте двовимірні узагальнення моделі Харрода–Домара з погляду стійкості розв’язку.
3. На прикладі конкретної динамічної моделі економіки порівняйте поняття стійкості за Ляпуновим і Лагранжем.
4. Нестійкість по Лагранжу і Ляпунову (на прикладі конкретної математичної моделі економічної динаміки).
5. Стійкість двосекторної моделі Солоу.
