Зважаючи на корені U
1,2 квадратного рівняння (*), на підґрунті виразів сліду і визначника матриці Jлінеаризації та діаграми (рис. 6.4), стверджується, що точка А — вузол, або фокус (стійкість визначається параметрами ? і µ ), а точка С — сідло.
0),(=VUSpJ, тобто
2 )?1(2 )(? µ UV VUU + ?+ = після очевидних алгебраїчних перетворень виразу для сліду матриці. Лінія N — графік деякої функції, у чисельнику якої стоїть лінійний вираз від , а в знаменнику — нелінійна залежність також від ? . Графік зазначеної функції досить ві-
0),(=VUSpJ, тобто
2 )?1(2 )(? µ UV VUU + ?+ = після очевидних алгебраїчних перетворень виразу для сліду матриці. Лінія N — графік деякої функції, у чисельнику якої стоїть лінійний вираз від , а в знаменнику — нелінійна залежність також від ? . Графік зазначеної функції досить ві-
0),(=VUSpJ, тобто
2
2 )?1(2 )(? µ UV VUU + ?+ = після очевидних алгебраїчних перетворень виразу для сліду матриці. Лінія N — графік деякої функції, у чисельнику якої стоїть лінійний вираз від , а в знаменнику — нелінійна залежність також від ? . Графік зазначеної функції досить ві-
0),(=VUSpJ, тобто
2 )?1(2 )(? µ UV VUU + ?+ = після очевидних алгебраїчних перетворень виразу для сліду матриці. Лінія N — графік деякої функції, у чисельнику якої стоїть лінійний вираз від , а в знаменнику — нелінійна залежність також від ? . Графік зазначеної функції досить ві-Її слід U U V U V SpJ ?1 µ2 )?1(
2 + +? + ?= визначник після алгебраїчних перетворень U U U V U VJ ?1 )?1( )?1(
1 µ21det
22 + + + + ? ? ? ? ? ? ? ? ? + +?= .
Зважаючи на корені U
1,2 квадратного рівняння (*), на підґрунті виразів сліду і визначника матриці Jлінеаризації та діаграми (рис. 6.4), стверджується, що точка А — вузол, або фокус (стійкість визначається параметрами ? і µ ), а точка С — сідло. Існує так звана лінія N нейтральності рівноважної точки ),(VUA, що випливає з рівності
0),(=VUSpJ, тобто
2
2 )?1(2 )(? µ UV VUU + ?+ = після очевидних алгебраїчних перетворень виразу для сліду матриці. Лінія N — графік деякої функції, у чисельнику якої стоїть лінійний вираз від ? , а в знаменнику — нелінійна залежність також від ? . Графік зазначеної функції досить ві-
Рис. 6.10. Фазові портрети ММ (6.11) для різних областей
Зауваження. Принагідно привернемо увагу до такого. Якщо економічну систему, що перебуває в стаціонарному (рис. 6.10 для області 2) або автоколивному (рис. 6.10 для області 3) режимах збурити (усуспільстві здійснюється різними важелями), наприклад різким зменшенням числових значень змінної U, то спостерігатиметься необмежене кількісне зростання першої змінної ММ (6.11). Історія розвитку економіки рясніє подібними прикладами, також в інших сферах (екологія, біофізика, біологія) спостерігаються зазначені парадоксальні ефекти.
У точку К (див. рис. 6.19 б) входить ще одна біфуркаційна лінія Р: її утворюють такі точки (значення параметрів µ і ? ), для яких на фазовому портреті ММ одна із сепаратрис сідло, що виходить з нього, тобто має місце петля сепаратриси (сепаратрисний цикл). Лінію петлі сепаратрис на рис. 6.19 б позначено Р. На рис. 6.12 наводиться геометрична інтерпретація сказаного вище.
Рис. 6.11. Фазові портрети ММ (6.11) для значень параметрів на біфуркаційних лініях: а
— для S ліворуч і вище точки K; б — Р; в
— для S праворуч і нижче точки К
6.2.2.2. Характеристика портретів і біфуркацій
Опишемо досить складну динамічну поведінку ММ (6.11): область 1 порожня; область 2 має дві точки рівноваги; в області 3 лежать стійкий граничний цикл і поза ним стійка рівноважна точка; в області 5 існує одна стійка особлива точка (див. рис. 6.19 б). На параметричному портреті (рис. 6.19 б) немає тривіальної точки.
Оскільки точка К є спільною для всіх чотирьох областей 1, 2, 3 і 5, то в околі її можна розглядати всі біфуркації.
домий: виходить із початку системи координат і перетинає лінію S у деякій точці K (див. рис. 6.13 б). Вище лінії N параметри ? і µ сприяють стійкості особливої точки А і навпаки. При русі зверху донизу і перетині лінії нейтральності N втрата точкою А стійкості супроводжується появою малого стійкого граничного циклу, що геометрично для кожної точки з областей відображено на рис. 6.11.
В області 1 не існує рівноважних (особливих) точок. При перетині лінії S вище точки К з переходом до області 2 з’являється стійкий сідло-вузол АС (рис. 6.11а), який згодом розпадається на стійкий вузол А і сідло С.
Сепаратриса, що входить у сідло С (рис. 6.10, область 2), розмежовує область на 2 частини для початкових умов, в одній з них має місце тяжіння до точки А, а в іншій траєкторії розбігаються.
Для параметрів з області 3 (див. рис. 6.19 б) залежно від початкових умов фазові траєкторії накручуються на граничний цикл або розбігаються.
Для моменту, коли параметри ММ (6.11) набувають значень, що лежать на лінії Р петлі сепаратриси, стійкий граничний цикл зливається з петлею (рис. 6.11 б). З переходом параметрів до області 5 сепаратрисний цикл на фазовому портреті зникає (рис. 6.10).
Отже, взаємне розташування трьох кривих: сідло-вузла S; лінії N нейтральності і петлі Р сепаратрис цілком визначає структуру параметричного портрета (рис. 6.9 б) ММ (6.11). Він є цілісою структурою взаємоузгоджених областей, що робить правомірною його назву — структурний портрет. Очевидно, що поняття структурного або параметричного портрета тільки з’являється в економіко-математичному моделюванні, хоча воно цілком принагідно існує в інших сферах математичного моделювання. Слушність використання цього поняття для успішного й дієвого пізнання природи та механізму нелінійної економічної динаміки на підґрунті комп’ютерного моделювання незаперечна.
6.2.2.3. Економічне тлумачення результатів якісного дослідження
Залежно від значень параметрів ММ (6.11) і початкової умови (стартової для економічного процесу) можливі такі режими функціонування економічної системи: а) необмежене зростання змінної x і асимптотична насиченість — стабілізація щільності значень змінної у на рівні жиміграничний цикл.
?µ ?1? =V ; б) стійке співіснування складових економічного процесу в стаціонарному ре?µ ?1? =V ; б) стійке співіснування складових економічного процесу в стаціонарному ре — рівноважний стан у точці А (див. рис. 6.19 а) або в автоколивному режимі — стійкий
При значеннях параметрів в областях 1 і 5 поведінка розв’язків ММ (6.11) не залежить від початкових умов; для областей 2 і 3 фазовий простір розподіляється на одну частину — область тяжіння стійкої рівноваги чи стійкого граничного циклу та другу, де фазові траєкторії змінної х необмежено зростають.
Межу області початкових умов, де розв’язки ММ скінченні, справедливо кваліфікувати як небезпечну для нормального функціонування економічної системи. Резонно на параметричній площині виокремити область змінюваності параметрів, де реалізується режим нормального функціонування. Відповідно межа її називатиметься небезпечною параметричною. Для ММ (6.11) зазначену область утворюють 2 і 3, а межею виступають ділянки лінії S вище точки К і лінії Р петлі сепаратриси. З рис. 6.19 б випливає, що будь-яка варіація µ небезпечна зі збільшенням µ рівновага лишається стійкою, але наближається до межі області тяжіння і, досягнувши критичного значення (перетину лінії S), сягає межі області 2 (утворюється сідло–вузол) і зникає; зі зменшенням µ втрачається стійкість рівноваги з утворенням малого стійкого граничного циклу (м’яке збудження автоколивань), розміри його збільшуються — зростає амплітуда коливань, які стають релаксаційними, і, нарешті, цикл руйнується на петлі сепаратриси.
Збільшення µ свідчить про посилення конкуренції в середовищі, описуваному змінною у, тобто відбувається падіння її граничної щільності значень. Зменшення µ сприяє спочатку локальній нестійкості, а потім і глобальній.
Отже, для цілої низки математичних моделей (ММ) динаміки нелінійної економіки побудовано двовимірні параметричні портрети на координатних площинах простору параметрів ( ? , µ , ? ).
У разі змінюваності числових ММ (6.11) можуть мати місце такі біфуркації: 1) при виході з області 2 до інших спостерігається так званий жорсткий зрив рівноваги, що відбувається навіть за малих кількісних значень змінних моделі; 2) при перетині межі областей 2 і 3 відбувається так званий м’який зрив або зародження автоколивань навколо єдиної рівноваги; 3) для переходу з області 3 в іншу, крім 2, може мати місце також жорсткий зрив рівноваги з виходом на стійкий граничний цикл; 4) при виході з області 5 в інші можуть відбуватися жорсткий зрив автоколивань і перехід системи до стійкої рівноваги в середині граничного цик-
Зауважимо, що поняття жорсткого зриву цілком відповідає такому економічному явищу, як дефолт або біржовий обвал, коли відбувається стрімке падіння показників, хоча в попередні моменти часу витримувався плавний характер їхньої змінюваності.
