Економіка належить до числа надскладних систем, що невпинно розвиваються та самоорганізовуються. Формалізованого і адекватного опису розвитку соціально-економічних систем на сьогодні недостатньо. Разом з тим, економіка категорично не входить до переліку тих систем, під час моделювання яких, починаючи з деякого рівня складності, простіше виготовити, ніж описати певного класу рівняннями формальної моделі. Вихід вбачається в об’єднанні формальних методів і техніки якісного аналізу. Саме такий підхід становить підвалини більшості моделей і методик системного аналізу, при цьому поширена думка щодо традиційних уявлень про моделі та математичне моделювання економіки зазнає кардинальних змін.
У літературі з синергетичної економіки наводиться досить багато математичних моделей (ММ), якими охоплюються важливі (з погляду сьогодення) аспекти функціонування соціально-економічних систем. Придивившись пильно до систем звичайних диференціальних рівнянь, що виступають як ММ нелінійної динаміки соціально-економічних процесів, явищ і ефектів, неважко побачити, що формально вони збігаються з відомими в інших галузях знання — моделями математичної біології і біофізики, екології тощо. По суті або формально це ті
Зазначене цілком закономірне, бо об’єктом уваги кожної зі згадуваних вище наукових дисциплін є нелінійна, нестаціонарна, нерівноважна система необоротної дії. Так яскраво проявляється синергетична теза про холістичність навколишнього середовища (незалежно від свого походження системи проявляють однакові характерні риси, іманентно їм притаманні).
6.2.1. Сутність проблеми та способи її розв’язання
Як відомо, труднощі моделювання економіки детермінуються переважно системним дрейфом економічних чинників, що сприяє почерговості фазових портретів — переходу від одного до іншого, тобто біфуркації. Тоді стає зрозумілою провідна роль і призначення так званих параметричних портретів, якими описується залежна від змінюваності коефіцієнтів ММ варіація фазових портретів. Інакше кажучи, йдеться про характерний вплив та альтернативу фазового портрета.
У літературі з теорії математичного моделювання неодноразово порушувалося питання про якісний аналіз ММ, що передував би як початковий етап обчислювальному експерименту, тобто кількісному економічному аналізу в нашому випадку. У споріднених галузях природознавства, наприклад математична біологія чи біофізика, де об’єкт дослідження — нелінійна, нерівноважна і тощо система необоротної дії, такий підхід частково і досить успішно реалізовано. Цілком логічно й закономірно згадувані результати, фільтруючи, перенести у сферу економіко-математичного моделювання. Цим самим економістам надається могутній інструмент превентивного аналізу та виваженого і вдумливого погляду на економічне майбуття — сценарії еволюції економіки. Але для цього належить викласти наявні здобутки послідовно й доступно для економічного загалу.
Отже, мета цього параграфа полягає у вдумливому перенесенні на економічне підґрунтя і селекції результатів дослідження синергетичних моделей, які є ключовими для математичного моделювання нелінійної економічної динаміки. Послідовний і логічно витриманий, цілком ясний виклад сприятиме створенню методології й методики вивчення економічної дійсності, орієнтуючи у прийнятті виважених рішень.
6.2.2. Аналітичне вивчення динамічної економіко-математичної моделі
На сьогодні економіка кваліфікується як надскладна динамічна самоорганізуюча система, зміни в якій відбуваються не стільки внаслідок зовнішніх впливів (кібернетична точка зору), скільки в головному визначаються внутрішніми механізмами й особливостями (синергетичний погляд).
У вивченні сучасної трансформаційної економіки нині спостерігається розробка новітніх математичних методів у сфері моделювання нелінійної економічної динаміки. Цю прикметну рису слід визнати як цілком закономірну, зважаючи на давню традицію використання математики від самого початку досліджень у теорії економіки.
Кожна ММ по-своєму висвітлює лише окремі аспекти, грані економіки на підставі сформульованих гіпотез — припущень для побудови моделі. Напрошується думка, що описати найбільш повно економічну структуру суспільства можливо, розглядаючи всю множину наявних ММ. Логічно вимагати, щоб ця множина (банк моделей) була структурована за певними принципами, підпорядковуючись ефективному прямому і швидкісному доступу (вибору або утворенню) потрібної адекватної системи рівнянь. Така принципологія організації банку моделей сприятиме системному (всебічному) відображенню економічних взаємозв’язків та взаємовпливів.
Невизначеність і неповнота інформації щодо економічного об’єкта, наявність у ньому швидкоплинних, повільних і латентних змінних, нестаціонарне функціонування його складових і перебіг процесів, присутність нелінійних прямих і зворотних зв’язків сприяють тому, що в економіці перевага має надаватися аналітичним результатам дослідження, які в подальшому можуть деталізуватися кількісно.
На нашу думку, математичне і комп’ютерне моделювання економіки має ґрунтуватися на концептах наскрізного адаптивного використання як засобів, так і інструментів здійснення процесу моделювання. Це означає відмову від жорстких структур і форм моделей та алгоритмів їх аналізу, замінюючи гнучкими, тобто адаптивними. Окрім цього, сучасне економіко-
самі ММ, лише змінним надано предметної інтерпретації. Витоки цих ММ — у моделі «жертва — хижак» — системі рівнянь Вольтерра–Лотки [13, 33], яку щодо економіки можна тлумачити як «ресурс — споживач», «ціна товару — обсяг продукції» тощо.
6.2.2.1. Фазові портрети ключової моделі нелінійної економічної динаміки
На наш погляд, має передбачатися виокремлення ключових ММ економічної динаміки, сукупна дія яких значною мірою відтворює економічну дійсність, її реалії. Дослідження зазначених моделей здійснюється у два етапи — спершу якісний (аналітичний), а потім кількісний аналіз. Прикладом однієї з ключових ММ є система рівнянь якою описується дуопольно-дуопсонієва конкуренція (відображається доданками Ex 2 i звана безрозмірна система рівнянь
? ? ? + +?= ,
1
2 Fy Px Dxy Cyy & (6.8) ? ? + +?= ,
1
2 Fy Px Dxy Cyy & (6.8) ? ? ? + +?= ? + ?= ,
1 ,
1
2
2 Fy Px Dxy Cyy Ex Px Bxy Axx & & (6.8) ? ? ? ? + +?= ? + ?= ,
1 ,
1
2
2 Fy Px Dxy Cyy Ex Px Bxy Axx & & (6.8) ? ? ? ? ? ? + +?= ? + ?= ,
1 ,
1
2
2 Fy Px Dxy Cyy Ex Px Bxy Axx & & (6.8) Fy 2 ) з урахуванням насиченого стану (реалізується множником 1/(1+Рх)). Зауважимо, що для Р = 1 отримується модель, розглянута кількісно (здійснювалося числове інтегрування рівнянь моделі в п’яти важливих для економічної практики ситуаціях). Зазначимо також, що система рівнянь (6.8), з одного боку, є узагальненням класичної моделі «хижак — жертва», а з іншого — динамічною моделлю Леонтьєва. Між іншим, з ММ (6.8) випливає багато моделей синергетичної економіки, надаючи коефіцієнтам відповідних числових значень або вважаючи їх функціями певного виду. А, В, С, D, E, F, P), здійснюється заміна змінних: At?= ; Р = 1 отримується модель, розглянута кількісно (здійснювалося числове інтегрування рівнянь моделі в п’яти важливих для економічної практики ситуаціях). Зазначимо також, що система рівнянь (6.8), з одного боку, є узагальненням класичної моделі «хижак — жертва», а з іншого — динамічною моделлю Леонтьєва. Між іншим, з ММ (6.8) випливає багато моделей синергетичної економіки, надаючи коефіцієнтам відповідних числових значень або вважаючи їх функціями певного виду. А, В, С, D, E, F, P), здійснюється заміна змінних: At?= ; At?= UDAx)(= VBAy)(= AC=? APD=? DE=? BF=µ Fy 2 ) з урахуванням насиченого стану (реалізується множником 1/(1+Рх)). Зауважимо, що для Р = 1 отримується модель, розглянута кількісно (здійснювалося числове інтегрування рівнянь моделі в п’яти важливих для економічної практики ситуаціях). Зазначимо також, що система рівнянь (6.8), з одного боку, є узагальненням класичної моделі «хижак — жертва», а з іншого — динамічною моделлю Леонтьєва. Між іншим, з ММ (6.8) випливає багато моделей синергетичної економіки, надаючи коефіцієнтам відповідних числових значень або вважаючи їх функціями певного виду.
Щоб уникнути семи параметрів (А, В, С, D, E, F, P), здійснюється заміна змінних: At?= ; UDAx)(= ; VBAy)(= ; AC=? ; APD=? ; DE=? ; BF=µ , у результаті якої отримується так ? ? ?? + +?= ) ,(µ ?1 ?
2
2 VUfV U UV VV & (6.9) ? ?? + +?= ) ,(µ ?1 ?
2
2 VUfV U UV VV & (6.9) ? ? ?? + +?= ?? + ?= ) ,(µ ?1 ? ), ,(? ?1
2
2
1
2 VUfV U UV VV VUfU U UV YU & & (6.9) ? ? ? ?? + +?= ?? + ?= ) ,(µ ?1 ? ), ,(? ?1
2
2
1
2 VUfV U UV VV VUfU U UV YU & & (6.9) ? ? ? ? ? ?? + +?= ?? + ?= ) ,(µ ?1 ? ), ,(? ?1
2
2
1
2 VUfV U UV VV VUfU U UV YU & & (6.9) (B = E = F = P = 0) моделі Вольтерра–Лотки, а три інші визначають розв’язки моделі (6.9). Числові значення цих параметрів як правило, вибираються, з використанням даних економічної статистики.
Спершу розглянемо збурюючий вплив кожного окремого параметра. Для 0??== ММ(6.9) набуває вигляду:
Спершу розглянемо збурюючий вплив кожного окремого параметра. Для 0??== ММ(6.9) набуває вигляду: із чотирма параметрами ? , ? , µ , ? , причому ? успадкований від класичної (B = E = F = P = 0) моделі Вольтерра–Лотки, а три інші визначають розв’язки моделі (6.9). Числові значення цих параметрів як правило, вибираються, з використанням даних економічної статистики.
Спершу розглянемо збурюючий вплив кожного окремого параметра. Для 0??== ММ(6.9) набуває вигляду: UVUU?= & ; .µ 2 VUVVV?+?= & (6.9а) UVUU& ; .µ 2 VUVVV?+?= & (6.9а) UVUU?= & ; .µ 2 VUVVV?+?= & (6.9а) Її особливі точки О
1 (0; 0) і О
2 (1+ µ ; 1) знаходяться за умови
0==VU && .
1
2 µ
0==VU && . Її особливі точки О
1 (0; 0) і О
2 (1+ µ ; 1) знаходяться за умови
0==VU && .
Матриця Якобі (лінеаризації) в нашому випадку записується так:
математичне моделювання нелінійної динаміки в першій своїй фазі має бути здійснено на аналітичному рівні, а потім має проводитися обчислювальний експеримент, тобто кількісно відстежуватися фазові траєкторії.
Рис. 6.4 Діаграма визначення типу особливих точок моделі портрет ММ (6.9 а) зображено на рис 6.5.
Рис. 6.5. Фазовий портрет моделі (6.9 а)
При
ММ (6.9) переписується так:
0µ?==
0µ?==. ?
2 ? ? ? +?= ??= UVVV UUVUU & & (6.9б) . ?
2 ? ? ? +?= ??= UVVV UUVUU & & (6.9б) . ?
2 ? ? ? +?= ??= UVVV UUVUU & & (6.9б) V
1 = 0, або U
2 = 1. З першого рівняння
0)?1(=???UVU моделі також випливає ?1
2 ?=V при U
2 = 1 і V
3 = 0 для ?1
3 =U , тобто )0 ;?1(
3 O .
Матриця Якобі J для моделі (6.9 б) має вигляд
1
2
0)?1(=???UVU?1
2 ?=VU
2 = 1 і V
3 = 0 для ?1
3 =U , тобто )0 ;?1(
3 O .
Матриця Якобі J для моделі (6.9 б) має вигляд
1
2 ?1
2 ?=VU
2 = 1 і V
3 = 0 для ?1
3 =U , тобто )0 ;?1(
3 O .
Матриця Якобі J для моделі (6.9 б) має виглядU
2 = 1 і V
3 = 0 для ?1
3 =U , тобто )0 ;?1(
3 O .
Матриця Якобі J для моделі (6.9 б) має вигляд
2
3 ?1
3 =U )0 ;?1(
3 O
Матриця Якобі J для моделі (6.9 б) має вигляд
Особливі точки: О
1 (0; 0) і )1 ;1(
2 ??O . Справді, з другого рівняння моделі випливає, що або V
1 = 0, або U
2 = 1. З першого рівняння
0)?1(=???UVU моделі також випливає ?1
2 ?=V при U
2 = 1 і V
3 = 0 для ?1
3 =U , тобто )0 ;?1(
3 O .
Матриця Якобі J для моделі (6.9 б) має вигляд
1 дорівнює нулю, а визначник від’ємний, тобто точка є сідлом; для О
2 записується портрети моделі (6.9 б).
Рис. 6.6. Разові портрети моделі
Для
ММ (6.9) набуває вигляду Її числові характеристики записуються: .
0µ?==
0µ?==?1 ? ? + +?= U UV VV & ,(6.9в) ?1 ? ? + +?= U UV VV & ,(6.9в) . ?1 ? ? +?= + ?= U UV VV U UV UU & & ,(6.9в) . ?1 ? ? ? +?= + ?= U UV VV U UV UU & & ,(6.9в) . ?1 ?1 ? ? ? ? ? + +?= + ?= U UV VV U UV UU & & ,(6.9в)
1 ))?1(1 );?1(1(
2 +?O ня нуль ізоклини знаходиться )?1(1
2 ?=U , а з першого — )?1(?
2 ?=V . Матриця Якобі для моделі (6.9 в) має вигляд )?1(1
2 ?=U )?1(?
2 ?=V моделі (6.9 в) має вигляд ?1
1 )?1(
2 ? ? ? ? ? ? + +? + = U U U V U U J ?1
1 )?1(
2 ? ? ? ? ? ? + +? + = U U U V U U J ?1
1 )?1(
2 ? ? ? ? ? ? + +? + = U U U V U U J . ?1 )?1(
1
2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + +? + + ? + ? = U U U V U U U V J . ?1 )?1(
1
2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + +? + + ? + ? = U U U V U U U V J . ?1 )?1(
2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + +? + + ? + ? = U U U V U U U V J
Окрім тривіальної О
1 (0; 0) особливої точки, фігурує ))?1(1 );?1(1(
2 +?O : з другого рівняння нуль ізоклини знаходиться )?1(1
2 ?=U , а з першого — )?1(?
2 ?=V . Матриця Якобі для моделі (6.9 в) має вигляд . ?1
1 )?1( ?1 )?1(
1
2
2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + +? + + ? + ? = U U U V U U U V J
2 )?1( ?1 U U SpJ + ? + = ;
32 )?1( ?1
1 )?1(
1det U UV U U U V J + + ? ? ? ? ? ? + +?? ? ? ? ? ? ? ? ? + ?= .
2 )?1( ?1 U U SpJ + ? + = ;
32 )?1( ?1
1 )?1(
1det U UV U U U V J + + ? ? ? ? ? ? + +?? ? ? ? ? ? ? ? ? + ?= .
2 )?1( ?1 U V U U SpJ + ? + = ;
32 )?1( ?1
1 )?1(
1det U UV U U U V J + + ? ? ? ? ? ? + +?? ? ? ? ? ? ? ? ? + ?= .
2 )?1( ?1 U U SpJ + ? + = ;
32 )?1( ?1
1 )?1(
1det U UV U U U V J + + ? ? ? ? ? ? + +?? ? ? ? ? ? ? ? ? + ?= .
2 )?1( ?1 U V U U SpJ + ? + = ;
32 )?1( ?1
1 )?1(
1det U UV U U U V J + + ? ? ? ? ? ? + +?? ? ? ? ? ? ? ? ? + ?= .
2 )?1( ?1 U U SpJ + ? + = ;
32 )?1( ?1
1 )?1(
1det U UV U U U V J + + ? ? ? ? ? ? + +?? ? ? ? ? ? ? ? ? + ?= .
2 )?1( ?1 U V U U SpJ + ? + = ;
32 )?1( ?1
1 )?1(
1det U UV U U U V J + + ? ? ? ? ? ? + +?? ? ? ? ? ? ? ? ? + ?= .
2?
1 =SpJ?1
2 ?=SpJ
На рис. 6.11 зображено фазові портрети моделі (6.9 в).
У точці О
2 вони набувають значення: ?
1 =SpJ і ?1
2 ?=SpJ
На рис. 6.11 зображено фазові портрети моделі (6.9 в).
Її слід для тривіальної особливої точки О
Рис. 6.7 Фазові портрети моделі ( 6,9 в)
6.2.2.2. Параметричні портрети економічної динаміки
Тепер будуть розглядатися ММ типу (6.9), але за наявності двох числових параметрів. на рис. 6.8. а б
При 0?= характер фазових портретів ММ відповідає рис. 6.10.
0µ=?1 ? ? + +?= U UV VV & ,(6.10) ?1 ? ? + +?= U UV VV & ,(6.10) . ? ?1
2 ? ? ? +?= ? + ?= U UV VV U U UV UU & & ,(6.10) . ? ?1
2 ? ? ? +?= ? + ?= U UV VV U U UV UU & & ,(6.10)
При 0?= характер фазових портретів ММ відповідає рис. 6.10.
При
0µ=
ММ має вигляд . ?1 ? ?1
2 ? ? ? ? ? + +?= ? + ?= U UV VV U U UV UU & & ,(6.10)
0=U & і ? ? ? ? ? ? ? + ?U U V U? ?1
1 ;
0=V & ,
0
1
1= ? ? ? ? ? ? ?+ +? U U V ,
Рівняння нуль-ізоклин мають вигляд:
0=U & і ? ? ? ? ? ? ? + ?U U V U? ?1
1 ;
0=V & ,
0
1
1= ? ? ? ? ? ? ?+ +? U U V , & і ? ? ? ? ? ? ? + ?U U V U? ?1
1 ;
0=V & ,
0
1
1= ? ? ? ? ? ? ?+ +? U U V ,
Рівняння нуль-ізоклин мають вигляд:
0=U & і ? ? ? ? ? ? ? + ?U U V U? ?1
1 ;
0=V & ,
0
1
1= ? ? ? ? ? ? ?+ +? U U V , ?1 ? =U .
Нетривіальна точка рівноваги лежить у першій координатній чверті і є перетином параболи V і прямої mU=, tmcons= і ?.10
