Як окремий випадок описаної вище ЕММ (4.1) запишимо — система двох нелінійних ЗДР першого порядку.
Якісне дослідження ММ (4.1 б) охоплює такі кроки. Спершу шукають точки рівноваги (стаціонарні, особливі), прирівнюючи до нуля похідні
1 y & і
2 y & . Усього має бути дві рівноважні точки () )1(
2 )1( ,
1 yy і () )2()2(
21 ,yy . Потім формується функціональна матриця Якобі ? ? ? ? ? ? ? ?
211
211 ),( . ),( y yyf y yyf яка обчислюється для кожної рівноважної (особливої) точки. У результаті щоразу отри
2
1
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =
2
212
1
212
21 ),( . ),( ... ),( y yyf y yyf yyJ , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =
2
212
1
212
21 ),( . ),( ... ),( y yyf y yyf yyJ , мується дійсна матриця )(
2 )( ,
1 ii yyJA= (i = 1, 2) з постійними елементами, тобто ? ? ? ? ? ? ? ? =
2221
1211 aa aa A . Тип особливої точки визначається коренями характеристичного рівняння мується дійсна матриця )(
2 )( ,
1 ii yyJA= (i = 1, 2) з постійними елементами, тобто ? ? ? ? ? ? ? ? =
2221
1211 aa aa A . Тип особливої точки визначається коренями характеристичного рівняння )(
2 )( ,
1 ii yyJA= (i = 1, 2) з постійними елементами, тобто ? ? ? ? ? ? ? ? =
2221
1211 aa aa A . Тип особливої точки визначається коренями характеристичного рівняння мується дійсна матриця () )(
2 )( ,
1 ii yyJA= (i = 1, 2) з постійними елементами, тобто ? ? ? ? ? ? ? ? =
2221
1211 aa aa A . Тип особливої точки визначається коренями характеристичного рівняння
0det?? 2 =+?ASpA ,
0det?? 2 =+?ASpA , )(
2211 aaSpA+=. Корені квадратного рівняння визначаються формулою:
12212211 detaaaaA?= A SpASpA det
22 ?
2
2,1 ? ? ? ? ? ? ? ±= .
Для0det<A корені дійсні, різні і протилежних знаків. Має місце особлива точка сідлосі,
2 det ? ? ? ? ? ? > SpA A то корені комплексні і спряжені (не уявні). То можливі два варіанти: а) дійсна комплексно-спряженого кореня від’ємна (
0<SpA ) — особлива точка є стійкий фокус; б)
0>SpA - нестійкий фокус. Але для більшої
0<SpA
0>SpAде )(
2211 aaSpA+= — слід матриці (сума елементів її головної діагоналі); визначник матриці
12212211 detaaaaA?= . Корені квадратного рівняння визначаються формулою: A SpASpA det
22 ?
2
2,1 ? ? ? ? ? ? ? ±= .
Для0det<A корені дійсні, різні і протилежних знаків. Має місце особлива точка сідлосімейство гіпербол. Коли виконується нерівність ,
2 det
2 ? ? ? ? ? ? > SpA A то корені комплексні і спряжені (не уявні). То можливі два варіанти: а) дійсна комплексно-спряженого кореня від’ємна (
0<SpA ) — особлива точка є стійкий фокус; б)
0>SpA - нестійкий фокус. Але для більшої
зручності на рис. 4.4.7 графічно відображається залежність фазових портретів від сліду і детермінанта матриці (на координатній площині SpA0detA).
Рис. 4.4.7. Діаграма особливих точок ЕММ (4.1а)
На рис. 4.4.8 графічно зображено типи особливих точок. В околі рівноважної точки можливі такі режими рухів: а) стійкий вузлового типу — економічна система звершує аперіодичні рухи (рис. 4.8 а), намагаючись повернутися до початкового стану рівноваги після збурення; б) нестійкий вузловий (рис. 4.8 б) — економічна система віддаляється від рівноважного стану; в) стійкий фокальний (рис. 4.8 в) — економічна система звершує стійкі періодичні затухаючі коливання; г) нестійкий фокальний (рис. 4.8 г) — нарощується амплітуда коливань і економічна система відходить від рівноваги; д) нестійкий режим сідлового типу (рис. 4.8 д). Через певні умови можуть існувати два нові положення рівноваги. Тільки-но економічна система вибирає одне з них, що визначається початковими умовами, то перебуває в ньому досить довго. Це так званий тригерний тип функціонування економічної системи; е) особлива точка типу центр (рис. 4.8 е) — стійкі незатухаючі коливання.
Рис. 4.9. Поведінка змінних залежно від часу t
Отже, у розумінні якісної поведінки траєкторій існують чотири типи: стійкий і нестійкий фазові портрети, центр і сідло. У синергетичній економіці особливий інтерес викликають нестійкі режими функціонування: у разі збурення динамічних траєкторій ЕММ та їхньої взаємодії за рахунок нелінійностей спостерігається значне підсилення навіть малих відхилень.
Характер особливих точок лінеаризованої та вихідної нелінійної ЕММ збігається за виняток таких випадків: а) якщо нерухома точка лінеаризованої моделі є центр (корені вікового рівняння уявні), то особлива точка вихідної ММ або центр, або фокус; б) якщо принаймі один корінь лінеаризованої моделі дорівнює нулю, то для аналізу особливої точки вихідної нелінійної ММ потрібне додаткове дослідження.
Траєкторія, що входить у нерухому точку або виходить із неї, дотикаючись деякого фіксованого напряму, називається сепаратрисою.
Напрямки сепаратрис лінійної системи (лінеаризації ЕММ) вказують напрямки нелінійних сепаратрис у нерухомій точці, які називаються головними напрямками. Напрямки сепаратрис визначаються власними векторами матриці А, які відповідають власним значенням —
розв’язкам рівняння xAx?=.
Граничні цикли. У дослідженні економічних систем можуть бути ізольовані траєкторії ЕММ — замкнуті криві, в околі яких немає інших замкнутих ліній. Слід зауважити, що у випадку особливої точки центр замкнуті траєкторії цілком заповнюють усю фазову площину, не будучи ізольованими.
Розрізняють стійкий граничний цикл, коли всі фазові траєкторії прямують до деякої циліндричної поверхні (рис. 4.10.4). розв’язкам рівняння xAx?=.
Граничні цикли. У дослідженні економічних систем можуть бути ізольовані траєкторії ЕММ — замкнуті криві, в околі яких немає інших замкнутих ліній. Слід зауважити, що у випадку особливої точки центр замкнуті траєкторії цілком заповнюють усю фазову площину, не будучи ізольованими.
Розрізняють стійкий граничний цикл, коли всі фазові траєкторії прямують до деякої циліндричної поверхні (рис. 4.10.4).
Рис. 4.10.4. Геометричне зображення стійкого граничного циклу (траєкторії з обох боків накручуються)
У випадку нестійкого граничного циклу всі фазові траєкторії скручуються із циліндричної поверхні як ззовні, так і зсередини (рис. 4.11.5).
Рис. 4.11.5. Геометричне зображення нестійкого граничного циклу Існують напівстійкі граничні цикли, коли з одного боку циліндричної поверхні накручуються, а з іншого — скручуються.
Зауваження. Незатухаючі коливання нелінійної дисипативної економічної системи, що не живляться із зовнішнього джерела енергії, називаються автоколиваннями. Характерна особливість автоколивань — відсутність зовнішнього періодичного впливу, їхня частота, амплітуда й форма визначаються самою системою і не залежать від початкових умов. Тож, автоколиванням відповідає на фазовій площині граничний цикл — замкнута траєкторія, на яку накручуються (з якої скручуються) усі фазові траєкторії в деякому околі. Граничний цикл є атрактором.