Posibniki.com.ua Інформатика Нелінійні моделі економічних процесів 1.4. Елементи нелінійного економічного мислення — класичні неперервні математичні моделі еволюційної економіки


< Попередня  Змiст  Наступна >

1.4. Елементи нелінійного економічного мислення — класичні неперервні математичні моделі еволюційної економіки


1.4.1. Нелінійний світогляд і математичні моделі

У природознавстві спостерігається [6; 24] світоглядне значення методологічної проблеми співвідношення «фізики існуючого» (лінійна форма) і «фізики виникаючого» (нелінійна), котра для економіки наразі означає перехід від лінійної парадигми до нелінійного способу сприйняття економічного буття, нелінійного економічного аналізу, розробляючи методологічні основи комп’ютерного моделювання НЕД як підґрунтя у прийнятті своєчасних і ефективних рішень в економіці.

На рис. 1.3 на прикладі ЕС окреслено шлях вивчення поведінки нелінійного об’єкта:

Рис. 1.3. Схема дослідження динаміки нелінійної ЕС СЕС

Рис. 1.3. Схема дослідження динаміки нелінійної ЕС СЕС

025189683211 — поведінка нелінійної динамічної системи економіки;

2 — аналіз статичного режиму;

3 — аналіз перехідного процесу;

4 — особливі (стаціонарні) точки;

5 — фазові портрети;

6 — стійкість особливої точки;

7 — параметричний і структурний портрети;

8 — характерні ознаки поведінки (періодичні, квазіперіодичні й хаотичні коливання; граничні цикли);

9 — індикатори поведінки (показники Ляпунова, відображення Пуанкаре).

Нелінійність пов’язана з неоднозначністю шляхів економічної еволюції, викликає нестійкість динамічних траєкторій розвитку, незворотність функціонування ЕС. У нелінійних ЕС криється (потенційно існує) цілий спектр структур, котрі мають різні темпи розвитку, перебувають у різних темпосвітах, майбутнє організовує сучасне або знаходиться на певних ділянках структур сьогодні. Так відбувається активне формування нелінійного стилю економічного мислення, на відміну від попереднього способу лінійного. Розуміючи недостатність поступової кумуляції розвитку, нелінійне мислення вбачає передусім готовність до всього нового, а саме: вибору з альтернативної множини; сприйняття темпів прискореного розвитку; ініціювання бурхливого зростання; перехід незначних флуктуацій у макроструктуру; стимулювання самоорганізації й саморозвитку.

Природа нелінійного суспільно-економічного розвитку двоїста: з одного боку, закономірності функціонування великих складних систем, а з іншого — їхня динаміка перебуває під впливом людського інтелекту, що спричинює цілеспрямований вибір серед можливих шляхів. На підґрунті двоїстості відбувається ускладнення прямих і зворотних зв’язків полярних знаків, взаємодії нового і старого. Зауважимо, що двоїстість або подвійний перехід (подвійність) зазначалася ще Гегелем: кількість переходить у якість, а вона реалізується по-новому кількісно. Отже, з’являється міра переходу, міра кризової якості.

Математична модель (ММ) не покликана відтворити все ідеально, що притаманне об’єкту нашої уваги. Насамперед нею описується лише те, що головне з погляду дослідника, що його цікавить або важливе на його думку для даного моменту часу t.

Щодо отримання ММ (побудови її рівнянь) існують поради й рекомендації як результат зусиль багатьох дослідників (науковців) унаслідок розв’язання великої кількості нелінійних задач різноманітної природи.

1. Наскільки простіша ММ, настільки менше можливостей отримати хибні висновки.

2. Модель має бути простою, але не простішою ніж це можливо.

3. Нехтувати можна будь-чим, але варто знати, як це впливає на розв’язок ММ.

4. Модель повинна бути грубою — незначні поправки (похибки) не міняють кардинально її поведінку.

5. ММ і розрахунки, проведені на її підґрунті, не можуть бути точнішими за початкові (вхідні) дані.

Як резюме попередніх п’яти пунктів формулюється таке твердження: точність результатів моделювання регламентується адекватністю ММ і похибкою реальних даних.

1.4.2. Рівноважна модель Еванса

Вона проста, доволі ефективна й широковживана та слугує для встановлення рівноважної ціни на ринку одного товару.

Нехай d(t), S(t), p(t) є відповідно попит, пропозиція і ціна товару в момент часу t. Вважа

bpapd?=)(

0,ba bpapd?=)(

0,>ba зростанням ціни падає; S(p) = ? + ?p, ? < 0, ? > 0, пропозиція зі зростанням ціни збільшується.

Природно, що ? > 0 — за нульової ціни попит є або товар бажаний.

Основне припущення: ціна змінюється залежно від відношення між попитом і пропозицією: ?p = ?(dS)?t, де ? > 0 — збільшення ціни прямо пропорційне перевищенню попиту над пропозицією і тривалості такого перевищення. Отже, дістаємо диференціальне рівняння:

Природно, що ? > 0 — за нульової ціни попит є або товар бажаний.

Основне припущення: ціна змінюється залежно від відношення між попитом і пропозицією: ?p = ?(dS)?t, де ? > 0 — збільшення ціни прямо пропорційне перевищенню попиту над пропозицією і тривалості такого перевищення. Отже, дістаємо диференціальне рівняння: цією: ?p = ?(dS)?t, де ? > 0 — збільшення ціни прямо пропорційне перевищенню попиту над пропозицією і тривалості такого перевищення. Отже, дістаємо диференціальне рівняння: ється, що попит і пропозиція є лінійними функціями ціни, тобто bpapd?=)( ,

0,>ba , попит зі зростанням ціни падає; S(p) = ? + ?p, ? < 0, ? > 0, пропозиція зі зростанням ціни збільшується.

Природно, що ? > 0 — за нульової ціни попит є або товар бажаний.

Основне припущення: ціна змінюється залежно від відношення між попитом і пропозицією: ?p = ?(dS)?t, де ? > 0 — збільшення ціни прямо пропорційне перевищенню попиту над пропозицією і тривалості такого перевищення. Отже, дістаємо диференціальне рівняння: ).(?Sd dt dp ?= ).(?Sd dt dp ?=

Графічно взаємозалежність попиту і пропорції від ціни показано на рис. 1.4

Скориставшись лінійними виразами попиту і пропозиції, маємо: пит і пропозиція.

17 Рис. 1.4. Графічне зображення взаємозалежностей попиту і пропозиції від ціни

Рис. 1.4. Графічне зображення взаємозалежностей попиту і пропозиції від ціни

Розв’язок моделі (1.1) має такий вигляд: або

tbtb ebaeptp )?(?)?(?

0

1)?()?()( +?+? ???== (1.2) tbtb ebaeptp )?(?)?(?

0

1)?()?()( +?+? ???== (1.2) [][] tbtb ebaeptp )?(?)?(?

0

1)?()?()( +?+? ???== (1.2) tbtb epeptp )?(?*)?(?

0

1)( +?+? ?+= .(1.2а tbtb epeptp )?(?*)?(?

0

1)( +?+? ?+= .(1.2а .)(lim * ptp t = ??

Дискретний аналог неперервної моделі Еванса. Ринок функціонує так: вранці на ринку виявляються деякі пропозиція S

1 і попит d

1 . Залежно від їхніх числових значень ціна починає рівномірно зростати або спадати: якщо вранці попит був більшим за пропозицію, то зростати; якщо пропозиція переважала над попитом, то спадати. Нехай для початкової ціни р

1 виконується S(р

1 ) < d(р

1 ). Значить ціна починає рости. За день вона досягає значення р

2 , для якого все ще виконується S(р

2 ) < d(р

2 ) і ціна продовжує зростати. При цьому точка рівноваги не проходить, залишаючись ліворуч від р * . І навпаки, процес зображується праворуч від точки рівноваги, якщо ціна була більша за рівноважну. Спостерігається відмінність від павутинної моделі ринку. конується S(р

1 ) < d(р

1 ). Значить ціна починає рости. За день вона досягає значення р

2 , для якого все ще виконується S(р

2 ) < d(р

2 ) і ціна продовжує зростати. При цьому точка рівноваги не проходить, залишаючись ліворуч від р * . І навпаки, процес зображується праворуч від точки рівноваги, якщо ціна була більша за рівноважну. Спостерігається відмінність від павутинної моделі ринку. якого все ще виконується S(р

2 ) < d(р

2 ) і ціна продовжує зростати. При цьому точка рівноваги не проходить, залишаючись ліворуч від р * . І навпаки, процес зображується праворуч від точки рівноваги, якщо ціна була більша за рівноважну. Спостерігається відмінність від павутинної моделі ринку. [] tbtb epeptp )?(?*)?(?

0

1)( +?+? ?+= .(1.2а

Знову ж таки .)(lim * ptp t = ??

Дискретний аналог неперервної моделі Еванса. Ринок функціонує так: вранці на ринку виявляються деякі пропозиція S

1 і попит d

1 . Залежно від їхніх числових значень ціна починає рівномірно зростати або спадати: якщо вранці попит був більшим за пропозицію, то зростати; якщо пропозиція переважала над попитом, то спадати. Нехай для початкової ціни р

1 виконується S(р

1 ) < d(р

1 ). Значить ціна починає рости. За день вона досягає значення р

2 , для якого все ще виконується S(р

2 ) < d(р

2 ) і ціна продовжує зростати. При цьому точка рівноваги не проходить, залишаючись ліворуч від р * . І навпаки, процес зображується праворуч від точки рівноваги, якщо ціна була більша за рівноважну. Спостерігається відмінність від павутинної моделі ринку.

1.4.3. Метод ітерацій (послідовних наближень)

У середовищі економістів він фігурує як павутиноподібна модель ринку. метричне зображення (рис. 1.4 а — 1.4 в), використовуючи декартову систему координат x 0 y на площині.

0)()(=??=xfxx)( )()1(mm xx?= + допускає гео)( )()1(mm xx?= + допускає гео

Для рівняння

0)()(=??=xfxx метод послідовних наближень )( )()1(mm xx?= + допускає гео

Для рівняння

0)()(=??=xfxx метод послідовних наближень )( )()1(mm xx?= + допускає гео

Рис. 1.4 а. Графічне зображення послідовних наближень, що збігаються до шуканого кореня х * : х * — шуканий корінь; якщо

Рис. 1.4 а. Графічне зображення послідовних наближень, що збігаються до шуканого кореня х * : х * — шуканий корінь; якщо

Рис. 1.4 б. Коливна (навколо х * ) збіжність ітеративних наближень

Рис. 1.4 б. Коливна (навколо х * ) збіжність ітеративних наближень

При маємо спіралевидний характер збіжності ітерацій — наближені значення кореня х* лежить по обидва боки від нього.

19 Рис. 1.4 в. Графічне зображення розбіжного ітеративного процесу

Рис. 1.4 в. Графічне зображення розбіжного ітеративного процесу

1)(>? x* початковому набли(0) .

1)(>? ? x процес ітерацій розбіжний, навіть при близькому до х * початковому набли(0) .

Для женні х

1.4.4. Односекторна модель економічної динаміки

Класична модель Солоу допомагає висвітлити основні особливості динаміки, адекватно відображаючи найважливіші загальноекономічні аспекти процесу розширеного відтворення виробництва.

Використовуються 5 змінних величин: Y — обсяг кінцевого продукту; С — фонд невиробничого споживання; S — валовий фонд накопичення; L — обсяг наявних трудових ресурсів; К — обсяг наявних основних фондів. Припускається, що ресурси К і L цілком вичерпуються. Має місце виробнича функція: яка встановлює зв’язок між величинамиY та К і L, тобто кінцевим продуктом і затратами фондів і праці.

Кінцевий продукт Y розподіляється на фонд невиробничого споживання С і валовий фонд накопичення, тобто

Кінцевий продукт Y розподіляється на фонд невиробничого споживання С і валовий фонд накопичення, тобто

Фонд накопичення становить: фіксовану частину, або, враховуючи (2),

Фонд накопичення становить: фіксовану частину, або, враховуючи (2),

Величина s — це норма накопичення.

Величина s — це норма накопичення.

За рахунок фонду валового накопичення забезпечуються відновлення і чистий приріст основних фондів, або чисті накопичення, що описується рівнянням:

20

Припускається, що величина вибуття основних фондів пропорційна їхньому об’сягу зі сталим коефіцієнтом µ , тобто Kµ . Отже,

.const ),1,0( ,µ=µ?µ+=KkS & (1.6) .const ),1,0( ,µ=µ?µ+=KkS & (1.6)

Рівняння динаміки трудових ресурсів описується рівнянням де величина g — темп зростання робочої сили. Рівняння (1.7) стверджує, що приріст трудових ресурсів пропорційний їхнього обсягу, і відоме як рівняння Мальтуса.

const. ,==ggLL

1.7) const. ,==ggLL &

1.7) )( )( )(? tx tx t x & = . Дуже часто const,)(?=t xСолоу відтворено на рис. 1.5.

Зауваження. Темпом зростання величини x(t) є відношення )( )( )(? tx tx t x & = . Дуже часто const,)(?=t x і тоді функція x(t) змінюється за експоненціальним законом. Графічно модель Солоу відтворено на рис. 1.5. = ( , ) S = ?Y Y = F ( K , L ) S = ?Y Y L

Рис. 1.5. Модель Солоу

Зауваження. Наведену сукупність рівнянь (1.3—1.6) отримано в припущенні, що виробнича функція (ВФ) відповідала ВВП (валовому внутрішньому продукту). У разі ВСП (валового суспільного продукту Х) модель Солоу в абсолютних показниках записується

так:;)1(µXasKK?+?=

0 )0(KK= ; ),(LKFX= ; XasS)1(?= ; XasC)1)(1(??= , де величина10<<a — коефіцієнт прямих затрат або для проміжного продукту у ВСП. ;)1(µXasKK&

0 )0(KK= ; ),(LKFX= ; XasS)1(?= ; XasC)1)(1(??= , де величина10<<a — коефіцієнт прямих затрат або для проміжного продукту у ВСП. ;)1(µXasKK?+?=

0 )0(KK= ; ),(LKFX= ; XasS)1(?= ; XasC)1)(1(??= , де величина10<<a — коефіцієнт прямих затрат або для проміжного продукту у ВСП. на10<<a — коефіцієнт прямих затрат або для проміжного продукту у ВСП. так:;)1(µXasKK?+?= &

0 )0(KK= ; ),(LKFX= ; XasS)1(?= ; XasC)1)(1(??= , де величина10<<a — коефіцієнт прямих затрат або для проміжного продукту у ВСП.

Схему функціонування економіки в цьому разі наведено на рис. 1.6.

Рис. 1.6. Схема функціонування економіки що випливає з (1.6) і (1.5) та визначення функції f(k). Як наслідок попереднього записується диференціальне рівняння:

Рис. 1.6. Схема функціонування економіки що випливає з (1.6) і (1.5) та визначення функції f(k). Як наслідок попереднього записується диференціальне рівняння:

21 За припущеннями воно володіє єдиним розв’язком для конкретної початкової умови

За припущеннями воно володіє єдиним розв’язком для конкретної початкової умови

0

0

Економічна інтерпретація процедури отримання диференціального рівняння моделі Солоу.

Якби приріст робочої сили був нульовим і основні фонди не зношувалися, то фондоосначно &

щеність збільшилася б на величину S/(L) = sf.

Знос фондів в обсязі Kµ зменшує це значення на величинуk L K µ µ =. Щоб фондами за нормою k була оснащена знову втягувана робоча сила ?L, знадобиться k?L одиниць капітальних ресурсів, що з розрахунку на кожного зайнятого становить величину (?L·k)/L або гранищеність збільшилася б на величину S/(L) = sf.

Знос фондів в обсязі Kµ зменшує це значення на величинуk L K µ µ =. Щоб фондами за нормою k була оснащена знову втягувана робоча сила ?L, знадобиться k?L одиниць капітальних ресурсів, що з розрахунку на кожного зайнятого становить величину (?L·k)/L або граниL kL , що з урахуванням (1.7) дорівнює gk. , загальний приріст фондооснащеності дорівнює різниці gkksf??µ

Отже, що відображає рівняння (1.8).

Зауваження. Функція f(k) зростає, але темп її зростння уповільнюється. Водночас функk * ?(k) k

ція (µ + g)k зростає з постійним темпом.

Дослідження траєкторій (розв’язків) моделі Солоу. Їхню різноманітну поведінку графічно зображено на рис. 1.7—1.9. ція (µ + g)k зростає з постійним темпом.

Дослідження траєкторій (розв’язків) моделі Солоу. Їхню різноманітну поведінку графічно зображено на рис. 1.7—1.9. (g + µ)k sf(k) f(k) (g + µ)k

0

Рис. 1.7 ндоо

f(k) — залежність продуктивності праці від фондоозброєності k; ?(k) = sf(k) – ?k — залежність приросту фо*

— стаціонарне значення фондооснащеності.f(k) — залежність продуктивності праці від фондоозброєності k; ?(k) = sf(k) – ?k — залежність приросту фоснащеності від неї самої; k *

— стаціонарне значення фондооснащеності.

Рис. 1.8

Рис. 1.8

Рис. 1.9

Рис. 1.9

? ? ? ? ? ? = b L a K LKF,min),( ,

0,>ba , const).

Значення норми накопичення може бути надто низьким відносно (g + µ), і не знайдеться такого значення фондооснащеності, для підтримки якого на постійному рівні накопичення було б достатньо.

Характеристики стаціонарної траєкторії. Нехай фондооснащеність потенційна, тоб? ? ? ? ? ? = b L a K LKF,min),( ,

0,>ba , const).

Значення норми накопичення може бути надто низьким відносно (g + µ), і не знайдеться такого значення фондооснащеності, для підтримки якого на постійному рівні накопичення було б достатньо.

Характеристики стаціонарної траєкторії. Нехай фондооснащеність потенційна, тоб

Значення норми накопичення може бути надто низьким відносно (g + µ), і не знайдеться такого значення фондооснащеності, для підтримки якого на постійному рівні накопичення було б достатньо.

Характеристики стаціонарної траєкторії. Нехай фондооснащеність потенційна, тоб)0( )0( )0( * K L K k== (перебуває на стаціонарній траєкторії в момент часу t = 0). gt = exp(gt) то )0( )0( )0( * K L K k== (перебуває на стаціонарній траєкторії в момент часу t = 0). gt = exp(gt) * )()(ktLtK?=.)0()( gt eKtK= e gt = exp(gt) * )()(ktLtK?=.)0()( gt eKtK= e gt = exp(gt)

Оскільки * )()(ktLtK?= і L зростає з постійним темпом, то .)0()( gt eKtK= e gt = exp(gt) )0()()0( * LkfY?=)()()( * tLkftY?= gt eYtY)0()(= . )0()()0( * LkfY?=)()()( * tLkftY?= gt eYtY)0()(= .

Функції )(?f і )(?? для виробничої функції з фіксованими коефіцієнтами ? ? ? ? ? ? = b L a K LKF,min),( ,

0,>ba , const).

Значення норми накопичення може бути надто низьким відносно (g + µ), і не знайдеться такого значення фондооснащеності, для підтримки якого на постійному рівні накопичення було б достатньо.

Характеристики стаціонарної траєкторії. Нехай фондооснащеність потенційна, тобто )0( )0( )0( * K L K k== (перебуває на стаціонарній траєкторії в момент часу t = 0).

Оскільки * )()(ktLtK?= і L зростає з постійним темпом, то .)0()( gt eKtK= e gt = exp(gt)

Аналогічно )0()()0( * LkfY?= і )()()( * tLkftY?= , і тому gt eYtY)0()(= .

Висновок. Вздовж стаціонарної траєкторії фондооснащеності всі основні змінні моделі зростають з постійним темпом, що дорівнює темпу робочої сили g. Співвідношення між основними змінними моделі при цьому не змінюються: середня продуктивність праці

Зауваження. Стан економіки в моделі Солоу описується п’ятьма змінними, для яких ха

Зауваження. Стан економіки в моделі Солоу описується п’ятьма змінними, для яких ха

gt eLtL

0 )(= ; $ ` )(

0 gt eLktK ( = gt eLkftY

0

0 )()(= ; gt eLkftC

0

0 )()?1()(?= ; gt eLkft

0

0 )(?)(I= , де k

0 відповідає стаціонарній траєкторії.

На стаціонарній траєкторії значення фондонакопичення збігається зі значенням, яке необхідне для підтримки фондооснащеності на початковому рівні. Потрібно, по-перше, підтримувати на постійному рівні фондооснащеність уже задіяної робочої сили і, по-друге, цим уже забезпечити знову залучену в процесі відтворення робочу силу. * . Для * )0(kk? фондооснащеність автоматично наближається до * , ніколи його не досягаючи. Інакше кажучи, стаціонарна траєкторія стійка.

0

0 >?k *

0 kk? і )(tk — розв’язок рівняння для моделі (1.8) за початкової * монотонна. )0(

0 kk= * .)(limktk t = ??

Збіжність траєкторій до k * монотонна. рактерні співвідношення: gt eLtL

0 )(= ; $ ` )(

0 gt eLktK ( = gt eLkftY

0

0 )()(= ; gt eLkftC

0

0 )()?1()(?= ; gt eLkft

0

0 )(?)(I= , де k

0 відповідає стаціонарній траєкторії.

На стаціонарній траєкторії значення фондонакопичення збігається зі значенням, яке необхідне для підтримки фондооснащеності на початковому рівні. Потрібно, по-перше, підтримувати на постійному рівні фондооснащеність уже задіяної робочої сили і, по-друге, цим уже забезпечити знову залучену в процесі відтворення робочу силу.

Таке можливо лише для k * . Для * )0(kk? фондооснащеність автоматично наближається до k * , ніколи його не досягаючи. Інакше кажучи, стаціонарна траєкторія стійка.

Твердження: для

0

0 >?k , *

0 kk? і )(tk — розв’язок рівняння для моделі (1.8) за початкової умови )0(

0 kk= , має місце * .)(limktk t = ??

Збіжність траєкторій до k * монотонна. k k * k ~

1

2

3

0 t

Рис. 1.10. Траєкторії фондооснащеності моделі Солоу за різних значень k

0

Коментар до рис. 1.10. Для * kk?? в економіці відбувається перехідний процес, який закінчується усталеним режимом (стаціонарна точка k * ).

1) для kk ~

0 < спочатку спостерігається прискорене зростання фондооснащеності, яке з ~ уповільнюється (крива 1); ~ kkk<< — уповільнене зростання фондооснащеності (крива 2); *

0 ~ kkk<< — уповільнене зростання фондооснащеності (крива 2); в) для *

0 kk> — уповільнене падіння фондооснащеності (крива 3). ~ kkk<< спостерігається достатньо короткий перехідний процес: практично *

0 kk> — уповільнене падіння фондооснащеності (крива 3). ~ kkk<< спостерігається достатньо короткий перехідний процес: практично *

0 ~ kkk<< спостерігається достатньо короткий перехідний процес: практично через невеликий проміжок часу поточне і стаціонарне значення показника відрізнятимуться на кілька відсотків.

Щодо фондооснащеності розрізняють три типи перехідного процесу:

1) для kk ~

0 < спочатку спостерігається прискорене зростання фондооснащеності, яке з досягненням значення k ~ уповільнюється (крива 1);

2) для *

0 ~ kkk<< — уповільнене зростання фондооснащеності (крива 2); в) для *

0 kk> — уповільнене падіння фондооснащеності (крива 3).

Отже, для *

0 ~ kkk<< спостерігається достатньо короткий перехідний процес: практично через невеликий проміжок часу поточне і стаціонарне значення показника відрізнятимуться на кілька відсотків.

Висновки. При * )(ktk? стабілізуються та вирівнюються темпи зростання основних змінних K, Y, C, S, наближаючись до темпу зростання робочої сили. Інакше кажучи, стаціонарна траєкторія описує тенденцію (напрям) розвитку економіки.

Оптимальна постійна норма виробничого накопичення. Величина k * єдина для вказаного набору фіксованих параметрів моделі Солоу, тобто сюди належать коефіцієнти g, µ, s і виробнича функція f(·). Характер змінюваності k * для іншого набору параметрів моделі відображено на рис. 1.11. f

Рис. 1.11. Стаціонарні значення k * за різних параметрів g, µ, s

Рис. 1.11. Стаціонарні значення k * за різних параметрів g, µ, s

Зауваження. У випадку функції Кобба

—Дугласа (КД) та класичного рівняння Солоу мають місце формули стаціонарних значень:

1 ? ?

• фондооснащеності )?1(

0 ` )gµ( ? ? ? ? ? ? ? + ? = A k;

• фондооснащеності )?1(

0 ` )gµ( ? ? ? ? ? ? ? + ? = A k;

• фондооснащеності )?1(

0 ` )gµ( ? ? ? ? ? ? ? + ? = A k;

• продуктивності праці )?1(

0 )g( ? ? ? ? ? ? ? ? +µ = A Ay;

• продуктивності праці )?1(

0 )g( ? ? ? ? ? ? ? ? +µ = A Ay;

• продуктивності праці )?1(

0 )g( ? ? ? ? ? ? ? ? +µ = A Ay;

• питомого споживання (на одного працівника). )?1( )gµ( ? )?1()()?1(lim )( )( lim ? ???? ? ? ? ? ? ? + ?=?= A Aty tL tC tt .

Критерієм успішності розвитку економіки цілком слушно вважають питоме споживання.

Приклад. У моделі Солоу з виробничою функцією КД при А = 10 , ? = 1/2, ? = 1– ? знайти значення фондооснащеності, продуктивності праці й питомого споживання на стаціонарній

• питомого споживання (на одного працівника). )?1( )gµ( ? )?1()()?1(lim )( )( lim ? ???? ? ? ? ? ? ? + ?=?= A Aty tL tC tt .

Критерієм успішності розвитку економіки цілком слушно вважають питоме споживання.

Приклад. У моделі Солоу з виробничою функцією КД при А = 10 , ? = 1/2, ? = 1– ? знайти значення фондооснащеності, продуктивності праці й питомого споживання на стаціонарній

Приклад. У моделі Солоу з виробничою функцією КД при А = 10 , ? = 1/2, ? = 1– ? знайти значення фондооснащеності, продуктивності праці й питомого споживання на стаціонарній

• питомого споживання (на одного працівника). )?1( )gµ( ? )?1()()?1(lim )( )( lim ? ???? ? ? ? ? ? ? + ?=?= A Aty tL tC tt .

Критерієм успішності розвитку економіки цілком слушно вважають питоме споживання.

Приклад. У моделі Солоу з виробничою функцією КД при А = 10 , ? = 1/2, ? = 1– ? знайти значення фондооснащеності, продуктивності праці й питомого споживання на стаціонарній

траєкторії, для якої норма накопичення дорівнює 0,2, вибуття фондів — 0,2 за рік, а річний приріст трудових ресурсів — 0,05.

Розв’язання. Скориставшись відповідними формулами, маємо: фондооснаще

Рис. 1.12. Оптимальна норма накопичення в моделі Солоу (k * — оптимальна стаціонарна фондооснащеність) ?

Рис. 1.12. Оптимальна норма накопичення в моделі Солоу (k * — оптимальна стаціонарна фондооснащеність) ?

1 рис. 1.13.

Оскільки перша похідна функції ?(g) має вигляд ? ?? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = d dg , то

0 ?

0 > d dC для ? < ? dC для ??> . Тож найбільше середньодушове споживання досягається при ?? * = — ?(g? ?? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = d dg , то

0 ?

0 > d dC для ? < ? dC для ??> . Тож найбільше середньодушове споживання досягається при ?? * = —

0 ?

0 < d dC для ??> . Тож найбільше середньодушове споживання досягається при ?? * = — норма накопичення має дорівнювати еластичності випуску за фондами.

Майже завжди спостерігається ??< — недонакопичення, що графічно відображено на

0 ?

0 < d dC для ??> . Тож найбільше середньодушове споживання досягається при ?? * = — норма накопичення має дорівнювати еластичності випуску за фондами.

Майже завжди спостерігається ??< — недонакопичення, що графічно відображено на і

0 ?

0 < d dC для ??> . Тож найбільше середньодушове споживання досягається при ?? * = — норма накопичення має дорівнювати еластичності випуску за фондами.

Майже завжди спостерігається ??< — недонакопичення, що графічно відображено на ?? Aa B ; ?1 )?1(?)?( ?? ?=g . Останнє цілком визначає середньо душове споживання. де ?1 ? )1( ? ? ? ? ? ? ? ? ?Aa B ; ?1 )?1(?)?( ?? ?=g . Останнє цілком визначає середньо душове споживання.

Оскільки перша похідна функції ?(g) має вигляд ? ?? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = d dg , то

0 ?

0 > d dC для ? < ? і

0 ?

0 < d dC для ??> . Тож найбільше середньодушове споживання досягається при ?? * = — норма накопичення має дорівнювати еластичності випуску за фондами.

Майже завжди спостерігається ??< — недонакопичення, що графічно відображено на

Рис. 1.13. Крива середньодушового споживання

Застереження: виграш у поточному споживанні обертається програшем у найближчій

??? ~ ??= середньодушове споживання зросте ~ ?

00 AkC?+?=

Але для ??< стаціонарне середньодушове ~ )??()?(CCC C =?> =? . Змінюваність розглядуваного показника для цих двох випадків геометрично зображено на рис. 1.14.?

00 )?1(AkC?= до величини .)??1( ~ ?

00 AkC?+?=

Але для ??< стаціонарне середньодушове ~ )??()?(CCC C =?>=? . Змінюваність розглядуваного показника для цих двох випадків геометрично зображено на рис. 1.14.?

00 )?1(AkC?= до величини .)??1( ~ ?

00 AkC?+?=

Але для ??< стаціонарне середньодушове ~ )??()?(CCC C =?>=? . Змінюваність розглядуваного показника для цих двох випадків геометрично зображено на рис. 1.14.?

00 )?1(AkC?= до величини .)??1( ~ ?

00 AkC?+?=

Але для ??< стаціонарне середньодушове ~ )??()?(CCC C =?>=? . Змінюваність розглядуваного показника для цих двох випадків геометрично зображено на рис. 1.14.

0

0

0 ~ )??()?(CCC C =?>=? . Змінюваність розглядуваного показника для цих двох випадків геометрично зображено на рис. 1.14.перспективі.

Справді, для меншої норми накопичення ??? ~ ??= середньодушове споживання зросте з ?

00 )?1(AkC?= до величини .)??1( ~ ?

00 AkC?+?=

Але для ??< стаціонарне середньодушове споживання

0

0

0 ~ )??()?(CCC C =?>=? . Змінюваність розглядуваного показника для цих двох випадків геометрично зображено на рис. 1.14.

Рис. 1.14. Графічна інтерпретація змінюваності середньодушового споживання

Рис. 1.14. Графічна інтерпретація змінюваності середньодушового споживання


< Попередня  Змiст  Наступна >
Iншi роздiли:
РОЗДІЛ 2. ФРАКТАЛЬНІ СТРУКТУРИ І МОДЕЛЮВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ ЕКОНОМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ
2.2. Фрактальні об’єкти: основні поняття і визначення
2.3 Фрактальні структури в економічному аналізі
РОЗДІЛ 3. ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ТЕОРІЇ НЕЛІНІЙНИХ ПРОЦЕСІВ ЕКОНОМІЧНИХ СИСТЕМ
3.2. Канонічні моделі нелінійної динаміки в економіці
Дисциплiни

Медичний довідник новиниКулінарний довідникАнглійська моваБанківська справаБухгалтерський облікЕкономікаМікроекономікаМакроекономікаЕтика та естетикаІнформатикаІсторіяМаркетингМенеджментПолітологіяПравоСтатистикаФілософіяФінанси

Бібліотека підручників та статтей Posibniki (2022)