Posibniki.com.ua Інформатика Нелінійні моделі економічних процесів 3.4. Дослідження на стійкість траєкторій нелінійних динамічних систем


< Попередня  Змiст  Наступна >

3.4. Дослідження на стійкість траєкторій нелінійних динамічних систем


Узагальнено динамічний стан економіки описується скінченною системою автономних звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР):

55

економічного стану для фіксованого моменту часу

0 t . Диференціальна система (3.9) називається точковою моделлю (зі скупченими або зосередженими параметрами), котра у векторному вигляді записується так:

Зазначеній моделі органічно властивий багатющий набір функцій різної поведінки, що

Зазначеній моделі органічно властивий багатющий набір функцій різної поведінки, що

n xxxx...,,,

21 =них змінних і певних областей змінюваності параметрів економічної системи. Як правило, аналітично рівняння нелінійної ММ (3.9) не розв’язуються, тому її розв’язки (інтегральні криві) шукаються числовими методами (числового інтегрування рівнянь моделі).

Надалі буде розглядатися точкова ММ: проявляється залежно від ступеня нелінійностей координат вектора {} n xxxx...,,,

21 = економічних змінних і певних областей змінюваності параметрів економічної системи. Як правило, аналітично рівняння нелінійної ММ (3.9) не розв’язуються, тому її розв’язки (інтегральні криві) шукаються числовими методами (числового інтегрування рівнянь моделі).

Надалі буде розглядатися точкова ММ: )?,(xfx= ,

00 )(xtx= , (3.10) )?,(xfx

00 )(xtx= k ?,...,?,??

21 =ся структурно стійким (грубим), якщо незначні зміни координат параметра ? викликають таку ж змінюваність правої частини ММ (векторного поля), а фазові портрети двох моделей (до і після збурення) залишаються якісно однаковими. )?,(xfx= & ,

00 )(xtx= , (3.10) де {} k ?,...,?,??

21 = — вектор параметрів. Векторне диференціальне рівняння (3.10) називається структурно стійким (грубим), якщо незначні зміни координат параметра ? викликають таку ж змінюваність правої частини ММ (векторного поля), а фазові портрети двох моделей (до і після збурення) залишаються якісно однаковими.

3.4.1. Наочне тлумачення основних понять і визначень

Приклад 1. Відома в економіці динамічна модель Харрода

—Домара (рівняння Мальтуса) має такий вигляд

Його фазові портрети зображено на рис. 3.8.

Його фазові портрети зображено на рис. 3.8.

Рис. 3.8. Геометричне зображення розв’язку ММ (3.9б) є прямою. Його траєкторіями можуть бути: а) рівноважні точки; б) інтервали, кінці яких

Рис. 3.8. Геометричне зображення розв’язку ММ (3.9б) є прямою. Його траєкторіями можуть бути: а) рівноважні точки; б) інтервали, кінці яких

Для 0?= спостерігається розмежування фазових портретів одновимірної моделі економічної динаміки, поведінка яких якісно інша. Вказане значення параметра називається біфуркаційним (по-іншому — точка біфуркації), бо тут наявні принципові якісні відмінності фазових портретів.

Фазовий простір ММ з одного рівняння, тобто )(xfx= & Rx?

Для 0?= спостерігається розмежування фазових портретів одновимірної моделі економічної динаміки, поведінка яких якісно інша. Вказане значення параметра називається біфуркаційним (по-іншому — точка біфуркації), бо тут наявні принципові якісні відмінності фазових портретів.

Фазовий простір ММ з одного рівняння, тобто )(xfx= & , Rx?

— точки рівноваги; в) напівпрямі, що обмежені з одногобокуточкою рівноваги, а з іншого —

)(+?)(??

0)(>xf

0)(<xf

Приклад 2.Фазовий портрет ММ у вигляді скалярного ЗДР )1(

2

1

2 ?=xx & зображено на рис.

1

2 =?x).3.9. Значення 1±=x є рівноважні точки (корені рівняння 0)1(

2

1

2 =?x).)(+? або )(?? .

Напрям проходження траєкторій визначається так: якщо функція

0)(>xf додатна, то рух по траєкторії відбувається зліва направо; для умови

0)(<xf — навпаки.

Приклад 2.Фазовий портрет ММ у вигляді скалярного ЗДР )1(

2

1

2 ?=xx & зображено на рис. 3.9. Значення 1±=x є рівноважні точки (корені рівняння 0)1(

2

1

Рис. 3.9. Графічне зображення розв’язку Існують три основні біфуркації фазових портретів: 1) сідло-вузол; 2) Андронова

2 =?x).

Рис. 3.9. Графічне зображення розв’язку Існують три основні біфуркації фазових портретів: 1) сідло-вузол; 2) Андронова

—Хопфа; 3) із втратою симетрії.

Приклад 3. Для ММ у вигляді системи рівнянь

На рис. 3.10 зображено біфуркацію фазового портрета моделі.

На рис. 3.10 зображено біфуркацію фазового портрета моделі.

Рис. 3.10. Графічне зображення розв’язку ММ (3.9 в)

Рис. 3.10. Графічне зображення розв’язку ММ (3.9 в)

1 x0?>? 2 +=xx & ?

1 ?=x

Приклад 4. Нелінійна одновимірна ММ ? 2 +=xx & має дві рівноважні точки ?

1 ?=x і нестійку ?

2 =x, якщо параметр 0?< від’ємний. Коли 0?=, існує єдина точка рівноваги 0=x. Для 0?> немає рівноважних точок

Фазові портрети зазначеної моделі наведено на рис. 3.11. Для 0?> немає рівноважних точок

Фазові портрети зазначеної моделі наведено на рис. 3.11. Для 0?< існує одна точка рівноваги — початок координат О(0; 0); 0?= — кожна точка осі ? < 0 ? = 0? > 0 ? = 0? > 0 Для 0?< існує одна точка рівноваги — початок координат О(0; 0); 0?= — кожна точка осі

1 x рівноважна; 0?> — початок координат також рівноважна точка, але типу сідло.

Приклад 4. Нелінійна одновимірна ММ ? 2 +=xx & має дві рівноважні точки ?

1 ?=x і нестійку ?

2 =x, якщо параметр 0?< від’ємний. Коли 0?=, існує єдина точка рівноваги 0=x. Для 0?> немає рівноважних точок

Фазові портрети зазначеної моделі наведено на рис. 3.11.

0 ? < 0 ? = 0? > 0

0xxx ??

Рис. 3.11. Геометричне зображення розв’язків ММ

Рис. 3.12. Біфуркація типу «сідло-вузол»

Рис. 3.12. Біфуркація типу «сідло-вузол»

Для умови 0??? (параметр ? наближається зліва до початку координат) рівноважні точки прямують одна до другої і змінюються, утворюючи структуру «сідло–вузол».

Біфуркація Андронова–Хопфа (народження граничного циклу) описує зв’язок між втратою стійкості рівноважних точок і появою періодичних розв’язків рівняння ММ. Розрізняють м’яку і жорстку втрати стійкості, що графічно зображено на рис. 3.13 і 3.14 на прикладі однопараметричної ММ

Рис. 3.13. М’яка втрата стійкості

Рис. 3.13. М’яка втрата стійкості

Рис. 3.14. Жорсткий зрив коливань ?

Рис. 3.14. Жорсткий зрив коливань ?

3 ?xxx?= & ? ;0

3,21 ±==xx

1 параметра ? ; інші дві також стійкі, але для 0?> значень параметра. Діаграму стаціонарних якої є три ( ? ;0

3,21 ±==xx ) точки рівноваги: тривіально точка

1 = 0 стійка для всіх значень параметра ? ; інші дві також стійкі, але для 0?> значень параметра. Діаграму стаціонарних параметра ? ; інші дві також стійкі, але для 0?> значень параметра. Діаграму стаціонарних

0? =?xx

Біфуркацію симетрії також розглянемо на прикладі однопараметричної ММ

3 ?xxx?= & , у якої є три ( ? ;0

3,21 ±==xx ) точки рівноваги: тривіально точка х

1 = 0 стійка для всіх значень параметра ? ; інші дві також стійкі, але для 0?> значень параметра. Діаграму стаціонарних точок (розв’язків рівняння

0? =?xx ) подано на рис. 3.15. x 2 = ? x x

0 x 2 = ? ?

Рис. 3.15. Біфуркація типу «вилки»

Фазові портрети ММ зображено на рис. 3.16.

Рис. 3.16. Геометричне зображення розв’язків

Рис. 3.16. Геометричне зображення розв’язків

Явище втрати симетрії стійких розв’язків при біфуркації з’являється у відомій моделі Лоренца.

3.4.2. Біфуркації періодичних розв’язків

Сутність орбітальної стійкості замкненої траєкторії ? відображено на рис. 3.17. Вона полягає ось у чому: з плином часу t усі, досить близькі лінії ? , траєкторії необмежено наближаються до замкненої кривої ? (накручуються на неї).

Рис. 3.17. Графічна інтерпретація орбітальної стійкості

Рис. 3.17. Графічна інтерпретація орбітальної стійкості

У фазовому просторі ММ (3.10) можуть спостерігатимуться такі явища: ?

Рис. 3.18. Біфуркація появи-зникнення замкнутих ліній

Рис. 3.18. Біфуркація появи-зникнення замкнутих ліній

* ??< * ??=* ??> ? , для * ??= спостерігається народження замкнутої кривої, котра далі при * ?