Властивості операцій алгебраїчної суми й алгебраїчного добутку: ) B = B + ) A; ) B) + ) C = A + ) (B + ) C); ) ? = A, A · ? = ?, A · E = A, A + ) E = E; ) , BABA+=· ) . ? комутативність: A · B = B · A, A + ) B = B + ) A; ) B) + ) C = A + ) (B + ) C); ) ? = A, A · ? = ?, A · E = A, A + ) E = E; ) , BABA+=· ) . ? асоціативність: (A · B) · C = A · (B · C), (A + ) B) + ) C = A + ) (B + ) C); ) ? = A, A · ? = ?, A · E = A, A + ) E = E; ) , BABA+=· ) . (B + ) C); ) ? = A, A · ? = ?, A · E = A, A + ) E = E; ) , BABA+=· ) . ? універсальні верхня та нижня межі: A + ) ? = A, A · ? = ?, A · E = A, A + ) E = E; ) , BABA+=· ) . A · E = A, A + ) E = E; ) , BABA+=· ) . ? закони де Моргана: BABA·=+ ) , BABA+=· ) . ? ідемпотентність, тобто: A + ) A ? A, A · A ? A; ) C) ? (A · B) + ) (A · C), A + ) (B · C) ? (A + ) B) · (A + ) C); ) B) ? A, A + ) (A · B) ? A; ? дистрибутивність, тобто: A · (B + ) C) ? (A · B) + ) (A · C), A + ) (B · C) ? (A + ) B) · (A + ) C); ) B) ? A, A + ) (A · B) ? A; A + ) (B · C) ? (A + ) B) · (A + ) C); ) B) ? A, A + ) (A · B) ? A; ? поглинання, тобто: A · (A + ) B) ? A, A + ) (A · B) ? A; A · A ? ?, A + ) A ? E.? ідемпотентність: А ? А = А, А ? А = А; ? дистрибутивність: А ? (В ? С) = (А ? В) ? (А ? С), А ? (В ? С) = (А ? В) ? (А ? С); ? поглинання: А ? (А ? В) = А ? (А ? В) = А; ? універсальні верхня та нижня межі: А ? ? = А, А ? ? = ?, А ? Е = А, А ? Е = Е; ? закони де Моргана: BABAIU=, BABAUI=.
На відміну від чітких множин, для нечітких множин у загальному випадку не виконуються закон виключення третього і закон тотожності, тобто: А ? A ? ? та А ? A? Е.
Різниця AB або A–B: ()()(){}
0,max / xxх BAВА µ?µ=µ. Зауважимо, що AB ? BA.
Симетрична різниця: А ? В = (А В) ? (В А), А ? В = (A ? B) ? ? (A ? B): ()()() xxx BABA µ?µ=µ ? .
Диз’юнктивна сума: A ? B = (A ? B) ? (A ? B) із функцією приналежності: µ
А ? В (х) = max(min(µ A (x), 1 ? µ B (x)), min(1 ? µ
А (x), µ B (x))).
Алгебраїчні операції над нечіткими множинами
Алгебраїчний добуток (алгебраїчне перетинання) A ? B: ?x ? Е: µ
АB (x) = µ
А (x)µ B (x).
Алгебраїчна сума (алгебраїчне об’єднання) А + )
В: ?x ? E: µ A)(–)()()(xxxx ABABA µµ+µ=µ + ) · )(x B µ .
Властивості операцій алгебраїчної суми й алгебраїчного добутку: ? комутативність: A · B = B · A, A + ) B = B + ) A; ? асоціативність: (A · B) · C = A · (B · C), (A + ) B) + ) C = A + ) (B + ) C); ? універсальні верхня та нижня межі: A + ) ? = A, A · ? = ?, A · E = A, A + ) E = E; ? закони де Моргана: BABA·=+ ) , BABA+=· ) .
Не виконуються: ? ідемпотентність, тобто: A + ) A ? A, A · A ? A; ? дистрибутивність, тобто: A · (B + ) C) ? (A · B) + ) (A · C), A + ) (B · C) ? (A + ) B) · (A + ) C); ? поглинання, тобто: A · (A + ) B) ? A, A + ) (A · B) ? A; ? закон виключення третього і закон тотожності, тобто: A · A ? ?, A + ) A ? E.
За спільного використання операцій {?, ?, + ) , ·} справедливі вла? B) = (A · B) ? (A · С), A · (В ? С) = (A · B) ? (A · С), ) (В ? С) = (A + ) B) ? (A + )
С), A + ) (В ? С) = (A + ) B) ? (A + )
С).
Обмежена сума (граничне об’єднання) A|+|B: µ A|+|B (x) = min {1, µ A (x)+µ B (x)}.
Обмежена різниця A|–|B: µ A|–|B = max {0, µ A (x) – µ B (x)}.
Обмежений добуток (граничне перетинання) A|·|B: µ A|·|B (x) = max {0, µ A (x)+µ B (x)–1}.
Драстичне перетинання (від англ. drastic — радикальний) A ? В: стивості: A · (A ? B) = (A · B) ? (A · С), A · (В ? С) = (A · B) ? (A · С), ) (В ? С) = (A + ) B) ? (A + )
С), A + ) (В ? С) = (A + ) B) ? (A + )
С).
Обмежена сума (граничне об’єднання) A|+|B: µ A|+|B (x) = min {1, µ A (x)+µ B (x)}.
Обмежена різниця A|–|B: µ A|–|B = max {0, µ A (x) – µ B (x)}.
Обмежений добуток (граничне перетинання) A|·|B: µ A|·|B (x) = max {0, µ A (x)+µ B (x)–1}.
Драстичне перетинання (від англ. drastic — радикальний) A ? В: A + ) (В ? С) = (A + ) B) ? (A + )
С), A + ) (В ? С) = (A + ) B) ? (A + )
С).
Обмежена сума (граничне об’єднання) A|+|B: µ A|+|B (x) = min {1, µ A (x)+µ B (x)}.
Обмежена різниця A|–|B: µ A|–|B = max {0, µ A (x) – µ B (x)}.
Обмежений добуток (граничне перетинання) A|·|B: µ A|·|B (x) = max {0, µ A (x)+µ B (x)–1}.
Драстичне перетинання (від англ. drastic — радикальний) A ? В:
Обмежена сума (граничне об’єднання) A|+|B: µ A|+|B (x) = min {1, µ A (x)+µ B (x)}.
Обмежена різниця A|–|B: µ A|–|B = max {0, µ A (x) – µ B (x)}.
Обмежений добуток (граничне перетинання) A|·|B: µ A|·|B (x) = max {0, µ A (x)+µ B (x)–1}.
Драстичне перетинання (від англ. drastic — радикальний) A ? В: A|+|B A B
Обмежена різниця A|–|B: µ A|–|B = max {0, µ A (x) – µ B (x)}.
Обмежений добуток (граничне перетинання) A|·|B: µ A|·|B (x) = max {0, µ A (x)+µ B (x)–1}.
Драстичне перетинання (від англ. drastic — радикальний) A ? В: µ A|+|B () = min {1, µ A ()+µ B ()}.
Обмежена різниця A|–|B: µ A|–|B = max {0, µ A (x) – µ B (x)}.
Обмежений добуток (граничне перетинання) A|·|B: µ A|·|B (x) = max {0, µ A (x)+µ B (x)–1}.
Драстичне перетинання (від англ. drastic — радикальний) A ? В:
Обмежена різниця A|–|B: µ A|–|B = max {0, µ A (x) – µ B (x)}.
Обмежений добуток (граничне перетинання) A|·|B: µ A|·|B (x) = max {0, µ A (x)+µ B (x)–1}.
Драстичне перетинання (від англ. drastic — радикальний) A ? В: µ A|·|B () = max {0, µ A ()+µ B ()–1}.
Драстичне перетинання (від англ. drastic — радикальний) A ? В: ? ? =µµ =µ ? ,1якщо),( )( BA AB BA x xx x ? ? ? =µµ =µµ =µ ? ,1якщо),( ,1)(якщо),( )( BA AB BA x xx x ? ? =µµ =µ ? ,0якщо),( )( BA AB BA x xx x ? ? ? =µµ =µµ =µ ? ,0якщо),( ,0)(якщо),( )( BA AB BA x xx x +?+ x BA ? µ= ?µ
А (x) + (1 – ?)µ B (x), де ? ? [0, 1].
Операція піднесення до степеня а нечіткої множини А записується як А а , де a — позитивне число, і визначена на основі опера+ ? ? ? [0, 1].
Операція піднесення до степеня а нечіткої множини А записується як А а , де a — позитивне число, і визначена на основі опера
Операція ?-суми А +? B: )( + x BA ? µ= ?µ
А (x) + (1 – ?)µ B (x), де ? ? [0, 1].
Операція піднесення до степеня а нечіткої множини А записується як А а , де a — позитивне число, і визначена на основі операції алгебраїчного добутку: )(=)(xx a A A a µµ. Окремими випадками піднесення до степеня є: 2 — операція концентрування (концентрації, ущільнення — сoncentration) зменшує ступінь нечіткості, її лінгвістичне значення — «дуже»;
0,5 — операція розтягування (dilation) — збільшує ступінь нечіткості, її лінгвістичне значення — «приблизно».
Операція інтенсифікації: ? СОN(A) = А 2 — операція концентрування (концентрації, ущільнення — сoncentration) зменшує ступінь нечіткості, її лінгвістичне значення — «дуже»;
0,5 — операція розтягування (dilation) — збільшує ступінь нечіткості, її лінгвістичне значення — «приблизно».
Операція інтенсифікації: ? DIL(A) = А
0,5 — операція розтягування (dilation) — збільшує ступінь нечіткості, її лінгвістичне значення — «приблизно».
Операція інтенсифікації: ? ? ? ?µ?µ ?µ?µ =µ .15,0,))(–1(2–1 ;5,0)(0,))((2 )(
2
2 )(INT AA AA A x xx x ся на число: µ аА () = µ
А (), де — позитивне число, таке, що ()
1max?µ ? x aA Ax .
Опукла комбінація нечітких множин А
1 , А
2 , ..., А n є узагальненням операції ?-суми: )()(2)(121 ...)...,,,(
21 xnxxnA n AAA xxx µµµ ?++?+?=µ, де А
1 , А
2 , ..., А n — нечіткі множини універсальної множини Е, Ex??, а ?
1 , ?
2 , ... ? n — позитивнi числа, сума яких дорівнює 1.ням операції ?-суми: )()(2)(121 ...)...,,,(
21 xnxxnA n AAA xxx µµµ ?++?+?=µ, де А
1 , А
2 , ..., А n — нечіткі множини універсальної множини Е, Ex??, а ?
1 , ?
2 , ... ? n — позитивнi числа, сума яких дорівнює 1.
За спільного використання операцій {?, ?, + ) , ·} справедливі властивості: A · (A ? B) = (A · B) ? (A · С), A · (В ? С) = (A · B) ? (A · С), A + ) (В ? С) = (A + ) B) ? (A + )
С), A + ) (В ? С) = (A + ) B) ? (A + )
С).
Обмежена сума (граничне об’єднання) A|+|B: µ A|+|B (x) = min {1, µ A (x)+µ B (x)}.
Обмежена різниця A|–|B: µ A|–|B = max {0, µ A (x) – µ B (x)}.
Обмежений добуток (граничне перетинання) A|·|B: µ A|·|B (x) = max {0, µ A (x)+µ B (x)–1}.
Драстичне перетинання (від англ. drastic — радикальний) A ? В: ? ? ? ? ? =µµ =µµ =µ ? .інакше,0 ,1якщо),( ,1)(якщо),( )( BA AB BA x xx x
Драстичне об’єднання A ? B: ? ? ? ? ? =µµ =µµ =µ ? .інакше,1 ,0якщо),( ,0)(якщо),( )( BA AB BA x xx x
Операція ?-суми А +? B: )( + x BA ? µ= ?µ
А (x) + (1 – ?)µ B (x), де ? ? [0, 1].
Операція піднесення до степеня а нечіткої множини А записується як А а , де a — позитивне число, і визначена на основі операції алгебраїчного добутку: )(=)(xx a A A a µµ. Окремими випадками піднесення до степеня є: ? СОN(A) = А 2 — операція концентрування (концентрації, ущільнення — сoncentration) зменшує ступінь нечіткості, її лінгвістичне значення — «дуже»; ? DIL(A) = А
0,5 — операція розтягування (dilation) — збільшує ступінь нечіткості, її лінгвістичне значення — «приблизно».
Операція інтенсифікації: ? ? ? ?µ?µ ?µ?µ =µ .15,0,))(–1(2–1 ;5,0)(0,))((2 )(
2
2 )(INT AA AA A x xx x
Множення на число a: приналежності елементів помножуються на число: µ аА (х) = аµ
А (х), де a — позитивне число, таке, що ()
1max?µ ? x aA Ax .
Опукла комбінація нечітких множин А
1 , А
2 , ..., А n є узагальненням операції ?-суми: )()(2)(121 ...)...,,,(
21 xnxxnA n AAA xxx µµµ ?++?+?=µ, де А
1 , А
2 , ..., А n — нечіткі множини універсальної множини Е, Ex??, а ?
1 , ?
2 , ... ? n — позитивнi числа, сума яких дорівнює 1.
Декартовий (прямий) добуток нечітких множин ??=
21 AAA є нечіткою підмножиною множини n EEEE???=...
21 із функцією приналежності: {} )(),...,(),(min),...,,(
2121
21 nAAAnA xxxxxx n µµµ=µ, де А
1 , А
2 , ..., А n — нечіткі підмножини універсальних множин Е
1 , Е
2 , ..., Е n відповідно.
Нормалізація непорожньої субнормальної множини: перераховують приналежності елементів за формулою: n A??...n EEEE???=...
21нкцією приналежності: {} )(),...,(),(min),...,,(
2121
21 nAAAnA xxxxxx n µµµ=µ, де А
1 , А
2 , ..., А n — нечіткі підмножини універсальних множин Е
1 , Е
2 , ..., Е n відповідно.
Нормалізація непорожньої субнормальної множини: перераховують приналежності елементів за формулою: нкцією приналежності: )(),...,(),(min),...,,(
2121
21 nAAAnA xxxxxx n µµµ=µ, де А
1 , А
2 , ..., А n — нечіткі підмножини універсальних множин Е
1 , Е
2 , ..., Е n відповідно.
Нормалізація непорожньої субнормальної множини: перераховують приналежності елементів за формулою: )(max )( )( x x x A Ex A A µ µ =µ ? .
Декартовий (прямий) добуток нечітких множин ??=
21 AAA n A??... є нечіткою підмножиною множини n EEEE???=...
21 із функцією приналежності: {} )(),...,(),(min),...,,(
2121
21 nAAAnA xxxxxx n µµµ=µ, де А
1 , А
2 , ..., А n — нечіткі підмножини універсальних множин Е
1 , Е
2 , ..., Е n відповідно.
Нормалізація непорожньої субнормальної множини: перераховують приналежності елементів за формулою: )(max )( )( x x x A Ex A A µ µ =µ ? .
Нечітка імплікація A ? B визначає причинно-наслідкове відношення між умовами та наслідками правил. Операції нечіткої імплікації можна поділити на три основні класи:
R-імплікація: µ
А?B (x) = sup{z [0, 1]| T(µ
А (x), z) ? µ B (x)}, T-імплікація: µ
А?B (x) = T{µ
А (x), µ B (x)}, де Т — оператор Т-норми.
Окремо виділяють нечіткі імплікації, які визначаються: за Заде: µ
А?B (x) = max{min{µ
А (x), µ B (x)}, (1 – µ
А (x))}; за Кліне-Дайєнісом: µ
А?B (x) = max{(1 – µ
А (x)), µ B (x)}; за Мамдані: µ
А?B (x) = min{µ
А (x), µ B (x)}; за Лукасевичем: µ
А?B (x) = min{1, 1 – µ
А (x) + µ B (x)} або µ
А?B (x) = max{0, µ
А (x) + µ B (x) – 1}; за Гогуеном: µ
А?B (x) = min{1, µ B (x) / µ
А (x)}, µ
А (x) > 0; за граничною сумою: µ
А?B (x) = min{1, µ
А (x) + µ B (x)}; за Ларсеном: µ
А?B (x) = µ
А (x)µ B (x); за Віллмоттом: µ
А?B (x) = min{max{1 – µ
А (x), µ B (x)}, max{µ
А (x), 1 – µ B (x), min{1 – µ
А (x), µ B (x)}}}; за Кліне-Дайєнісом-Лукасевичем-Рейхенбахом: µ
А?B (x) = 1 – – µ
А (x) + µ
А (x)µ B (x); за Ваді: µ
А?B (x) = max{µ
А (x)µ B (x), 1 – µ
А (x)}; )( )()( x ABA B xx µ ? µ=µ; T-імплікація: µ
А?B (x) = T{µ
А (x), µ B (x)}, де Т — оператор Т-норми.
Окремо виділяють нечіткі імплікації, які визначаються: за Заде: µ
А?B (x) = max{min{µ
А (x), µ B (x)}, (1 – µ
А (x))}; за Кліне-Дайєнісом: µ
А?B (x) = max{(1 – µ
А (x)), µ B (x)}; за Мамдані: µ
А?B (x) = min{µ
А (x), µ B (x)}; за Лукасевичем: µ
А?B (x) = min{1, 1 – µ
А (x) + µ B (x)} або µ
А?B (x) = max{0, µ
А (x) + µ B (x) – 1}; за Гогуеном: µ
А?B (x) = min{1, µ B (x) / µ
А (x)}, µ
А (x) > 0; за граничною сумою: µ
А?B (x) = min{1, µ
А (x) + µ B (x)}; за Ларсеном: µ
А?B (x) = µ
А (x)µ B (x); за Віллмоттом: µ
А?B (x) = min{max{1 – µ
А (x), µ B (x)}, max{µ
А (x), 1 – µ B (x), min{1 – µ
А (x), µ B (x)}}}; за Кліне-Дайєнісом-Лукасевичем-Рейхенбахом: µ
А?B (x) = 1 – – µ
А (x) + µ
А (x)µ B (x); за Ваді: µ
А?B (x) = max{µ
А (x)µ B (x), 1 – µ
А (x)}; )( )()( x ABA B xx µ ? µ=µ; за Заде: µ
А?B () = max{min{µ
А (), µ B ()}, (1 – µ
А ())}; за Кліне-Дайєнісом: µ
А?B (x) = max{(1 – µ
А (x)), µ B (x)}; за Мамдані: µ
А?B (x) = min{µ
А (x), µ B (x)}; за Лукасевичем: µ
А?B (x) = min{1, 1 – µ
А (x) + µ B (x)} або µ
А?B (x) = max{0, µ
А (x) + µ B (x) – 1}; за Гогуеном: µ
А?B (x) = min{1, µ B (x) / µ
А (x)}, µ
А (x) > 0; за граничною сумою: µ
А?B (x) = min{1, µ
А (x) + µ B (x)}; за Ларсеном: µ
А?B (x) = µ
А (x)µ B (x); за Віллмоттом: µ
А?B (x) = min{max{1 – µ
А (x), µ B (x)}, max{µ
А (x), 1 – µ B (x), min{1 – µ
А (x), µ B (x)}}}; за Кліне-Дайєнісом-Лукасевичем-Рейхенбахом: µ
А?B (x) = 1 – – µ
А (x) + µ
А (x)µ B (x); за Ваді: µ
А?B (x) = max{µ
А (x)µ B (x), 1 – µ
А (x)}; )( )()( x ABA B xx µ ? µ=µ; за Кліне-Дайєнісом: µ
А?B () = max{(1 – µ
А ()), µ B ()}; за Мамдані: µ
А?B (x) = min{µ
А (x), µ B (x)}; за Лукасевичем: µ
А?B (x) = min{1, 1 – µ
А (x) + µ B (x)} або µ
А?B (x) = max{0, µ
А (x) + µ B (x) – 1}; за Гогуеном: µ
А?B (x) = min{1, µ B (x) / µ
А (x)}, µ
А (x) > 0; за граничною сумою: µ
А?B (x) = min{1, µ
А (x) + µ B (x)}; за Ларсеном: µ
А?B (x) = µ
А (x)µ B (x); за Віллмоттом: µ
А?B (x) = min{max{1 – µ
А (x), µ B (x)}, max{µ
А (x), 1 – µ B (x), min{1 – µ
А (x), µ B (x)}}}; за Кліне-Дайєнісом-Лукасевичем-Рейхенбахом: µ
А?B (x) = 1 – – µ
А (x) + µ
А (x)µ B (x); за Ваді: µ
А?B (x) = max{µ
А (x)µ B (x), 1 – µ
А (x)}; )( )()( x ABA B xx µ ? µ=µ; за Мамдані: µ
А?B () = min{µ
А (), µ B ()}; за Лукасевичем: µ
А?B (x) = min{1, 1 – µ
А (x) + µ B (x)} або µ
А?B (x) = max{0, µ
А (x) + µ B (x) – 1}; за Гогуеном: µ
А?B (x) = min{1, µ B (x) / µ
А (x)}, µ
А (x) > 0; за граничною сумою: µ
А?B (x) = min{1, µ
А (x) + µ B (x)}; за Ларсеном: µ
А?B (x) = µ
А (x)µ B (x); за Віллмоттом: µ
А?B (x) = min{max{1 – µ
А (x), µ B (x)}, max{µ
А (x), 1 – µ B (x), min{1 – µ
А (x), µ B (x)}}}; за Кліне-Дайєнісом-Лукасевичем-Рейхенбахом: µ
А?B (x) = 1 – – µ
А (x) + µ
А (x)µ B (x); за Ваді: µ
А?B (x) = max{µ
А (x)µ B (x), 1 – µ
А (x)}; )( )()( x ABA B xx µ ? µ=µ; за Лукасевичем: µ
А?B () = min{1, 1 – µ
А () + µ B ()} або µ
А?B (x) = max{0, µ
А (x) + µ B (x) – 1}; за Гогуеном: µ
А?B (x) = min{1, µ B (x) / µ
А (x)}, µ
А (x) > 0; за граничною сумою: µ
А?B (x) = min{1, µ
А (x) + µ B (x)}; за Ларсеном: µ
А?B (x) = µ
А (x)µ B (x); за Віллмоттом: µ
А?B (x) = min{max{1 – µ
А (x), µ B (x)}, max{µ
А (x), 1 – µ B (x), min{1 – µ
А (x), µ B (x)}}}; за Кліне-Дайєнісом-Лукасевичем-Рейхенбахом: µ
А?B (x) = 1 – – µ
А (x) + µ
А (x)µ B (x); за Ваді: µ
А?B (x) = max{µ
А (x)µ B (x), 1 – µ
А (x)}; )( )()( x ABA B xx µ ? µ=µ; µ
А?B () = max{0, µ
А () + µ B () – 1}; за Гогуеном: µ
А?B (x) = min{1, µ B (x) / µ
А (x)}, µ
А (x) > 0; за граничною сумою: µ
А?B (x) = min{1, µ
А (x) + µ B (x)}; за Ларсеном: µ
А?B (x) = µ
А (x)µ B (x); за Віллмоттом: µ
А?B (x) = min{max{1 – µ
А (x), µ B (x)}, max{µ
А (x), 1 – µ B (x), min{1 – µ
А (x), µ B (x)}}}; за Кліне-Дайєнісом-Лукасевичем-Рейхенбахом: µ
А?B (x) = 1 – – µ
А (x) + µ
А (x)µ B (x); за Ваді: µ
А?B (x) = max{µ
А (x)µ B (x), 1 – µ
А (x)}; )( )()( x ABA B xx µ ? µ=µ; за Гогуеном: µ
А?B () = min{1, µ B () / µ
А ()}, µ
А () > 0; за граничною сумою: µ
А?B (x) = min{1, µ
А (x) + µ B (x)}; за Ларсеном: µ
А?B (x) = µ
А (x)µ B (x); за Віллмоттом: µ
А?B (x) = min{max{1 – µ
А (x), µ B (x)}, max{µ
А (x), 1 – µ B (x), min{1 – µ
А (x), µ B (x)}}}; за Кліне-Дайєнісом-Лукасевичем-Рейхенбахом: µ
А?B (x) = 1 – – µ
А (x) + µ
А (x)µ B (x); за Ваді: µ
А?B (x) = max{µ
А (x)µ B (x), 1 – µ
А (x)}; )( )()( x ABA B xx µ ? µ=µ; за граничною сумою: µ
А?B () = min{1, µ
А () + µ B ()}; за Ларсеном: µ
А?B (x) = µ
А (x)µ B (x); за Віллмоттом: µ
А?B (x) = min{max{1 – µ
А (x), µ B (x)}, max{µ
А (x), 1 – µ B (x), min{1 – µ
А (x), µ B (x)}}}; за Кліне-Дайєнісом-Лукасевичем-Рейхенбахом: µ
А?B (x) = 1 – – µ
А (x) + µ
А (x)µ B (x); за Ваді: µ
А?B (x) = max{µ
А (x)µ B (x), 1 – µ
А (x)}; )( )()( x ABA B xx µ ? µ=µ; за Ларсеном: µ
А?B () = µ
А ()µ B (); за Віллмоттом: µ
А?B (x) = min{max{1 – µ
А (x), µ B (x)}, max{µ
А (x), 1 – µ B (x), min{1 – µ
А (x), µ B (x)}}}; за Кліне-Дайєнісом-Лукасевичем-Рейхенбахом: µ
